精品解析：山东省威海市环翠中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

威海市环翠中学初三上期中检测试题 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，注意分解的结果要正确． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，右边几个整式积的形式，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的性质逐一判断各个选项即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 3. 若分式的值为，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为，分子为，分母不为，进行求解即可． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为，分子为，分母不为，是解答本题的关键． 4. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：分式方程变形得：， 去分母得：． 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，去分母之前要找对各分母的最简公分母． 5. 能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍进行分析即可． 【详解】解：A、符合完全平方公式特点，故此选项符合题意， B、三项，平方项为异号，不符合完全平方公式特点，故此选项不合题意， C、三项，平方项为异号，不符合完全平方公式特点，故此选项不合题意， D、三项，中间一项不符合完全平方公式特点，故此选项不合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，能否用公式法进行因式分解关键看是否符合相关公式的特点，熟记平方差公式，完全平方公式的结构是解题的关键． 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：把分式中的x，y都扩大3倍得， ∴分式的值不变， 故选B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 7. 已知多项式有一个因式为，则的值为（ ） A. B. 10 C. 5 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式的次数为2以及最高次项的系数为2，设多项式另一个因式为，则，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：根据题意，设多项式另一个因式为，则 ， 等式右边展开，得， ， ，， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题关键． 8. 下列各式：①；②；③；④，最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简分式的判断，需熟练掌握因式分解和相反数性质，注意常数因子的处理． 判断分式是否最简，需检查分子与分母是否有公因式． 【详解】解：最简分式指分子与分母无公因式的分式， ①分母，分子，无公因式，是最简分式； ②，原式化为，有公因式，不是最简分式； ③分子，分母，无公因式，是最简分式； ④分子，分母（π为常数），不是分数； ∴最简分式有①、③，共2个． 故选：A． 9. 若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵这组数据的众数为7， ∴x=7， 则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，5，7，7， 中位数为：5． 故选C． 10. 某文具店购进，两种款式的书包，其中种书包的单价比种书包的单价低10%.已知店主购进种书包用了810元，购进种书包用了600元，且所购进的种书包的数量比种书包多20个，设文具店购买种款式的书包个，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据购进两种款式书包数量间的关系可得出文具店购进A种款式的书包个，利用单价=总价÷数量，结合A种书包的单价比B种书包的单价低，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵文具店购进B种款式的个，且购进的A种书包的数量比B种书包多个， ∴文具店购进A种款式的书包个． 依题意得： 故选：B． 二、填空题 11. 如果，那么代数式的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式． 将代数式前三项变形为，利用计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：0． 12. 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 【答案】5或﹣7 【解析】 【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍． 【详解】解：依题意，得 （m+1）x=±2×3x， 解得：m=5或﹣7． 故答案为：5或﹣7． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 13. 如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：方程去分母得， 解得． ∵方程的解为非负数， ∴， 解得． 又，即， ∴， 解得． ∴的取值范围为且， 故答案为：且． 14. 已知：一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是______和______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平均数，方差的计算公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴平均数是； ∵ ∴ ， ∴方差是． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查平均数，方差的计算，同一组数据同时乘以一个相同非零数，再加或减去同一个数对平均数，方差的影响，掌握平均数，方差的计算方法是解题的关键． 15. 若关于x的方程无解，则a的值是___． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【详解】解：方程去分母，得：ax=4+x﹣2， 解得， ∴当a=1时，方程无解． 把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2． 综上所述，当a=1或2时，方程无解． 故答案为：1或2 16. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 三、解答题 17. 因式分解、解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）是增根，原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及解分式方程， （1）根据平方差公式和提公因式法分解因式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）根据解分式方程的步骤解方程即可； （4）根据解分式方程的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解． 18. 先化简，再求值： （1），再从，，0，1，2中取一个数代入求值； （2）已知为整数，且为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】（1）；当时，原式；当时，原式（计算其中一种情况即可） （2）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算； （2）首先把分式进行化简，然后根据x是整数，分式的值是整数的条件，确定x的值即可； 【小问1详解】 解： ， 由题意：、、， ∴， 故a取1或0， 当时，原式； 当时，原式； 【小问2详解】 解：原式 由为整数，原式结果为整数， ∴或， 解得：或或或，即或或或． 19. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶．比亚迪油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为96元；若完全用电做动力行驶，则费用为36元．已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元． （1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲乙两地的距离是多少千米？ （2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过60元，则至少需要用电行驶多少千米？ 【答案】（1）0.3元， 120千米 （2）72千米 【解析】 【分析】（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元，由题意可得，解方程并检验得，从而求得甲乙两地的距离即可； （2）设汽车用电行驶ykm，由题意可得：，解得：，故至少需要用电行驶72千米． 【小问1详解】 解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是千米； 答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是120千米． 【小问2详解】 解：汽车行驶中每千米用油费用为元， 设汽车用电行驶ykm， 可得：， 解得：， 答：至少需要用电行驶72千米． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题时注意解分式方程需要检验方程的解是否使得原分式方程的分母为零． 20. 已知、、是三边的长． （1）若、、满足，试判断的形状，并说明理由； （2）若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）等边三角形，理由如下 ， ， ， ， ， 且， ，即为等边三角形； （2）的形状是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， 即或， 当即时，是直角三角形 当即时，是等腰三角形 综上所述：的形状是等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理逆定理，等边三角形的判定． （1）整理后得到，根据平方的非负性得到且，则，即为等边三角形； （2）整理后得到，分情况判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. “感受数学魅力，提升数学素养”，我校在数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：； 八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 八年级 a 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级共有名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1） （2）七年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于于八年级，所以七年级的成绩更好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，分别比较中位数，众数和方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生的竞赛成绩为：； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好． 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数450人． 22. 发现：（1）；（2）；（3）；… 尝试：直接写出第个式子______；（用含的代数式表示） 应用：（1）若的值为，求正整数的值． （2）请利用上述规律解方程： 【答案】 尝试：； 应用（1）：7 应用（2）：无解 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 尝试：根据规律写出式子即可； （1）化简式子即可列方程求解； （2）根据规律解方程即可，注意检验． 【详解】解：尝试：第个式子：； 故答案为：； （1） = ， ∴， 解得：； （2） 左边 ， ∴， ∴， 解得：． ∵原式中存在和两项， ∴当时，这两项无意义，即原方程无意义， 故原方程无解． 23. 请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． （1）将分式化为带分式； （2）在（）问中，当取哪些数值时，分式的值也是整数； （3）当的值变化时，分式的最大值为 ． 【答案】（1）； （2）当取，，，，，时，分式的值也是整数； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了新定义的理解，分式的变形及分式的值，掌握求解是分式的值为整数时字母的值是解本题的关键. （）将分子变为，即可以把分式化为带分式； （）根据（）的结果，要使为整数，则必为整数，得到为的因数，分情况即可得到的值； （）分式要取最大值，则取最小值，据此可求出x的值，从而求出的最大值；熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（）得：， 要使为整数，则必为整数， ∴为的因数， ∴或或， 解得：，，，，，， ∴当取，，，，，时，分式的值也是整数； 【小问3详解】 ， 分式要取最大值，则取最小值， 故当时，取最小值， ∴最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威海市环翠中学初三上期中检测试题 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 4. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 7. 已知多项式有一个因式为，则的值为（ ） A. B. 10 C. 5 D. 20 8. 下列各式：①；②；③；④，最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 10. 某文具店购进，两种款式的书包，其中种书包的单价比种书包的单价低10%.已知店主购进种书包用了810元，购进种书包用了600元，且所购进的种书包的数量比种书包多20个，设文具店购买种款式的书包个，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如果，那么代数式的值是______． 12. 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 13. 如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围为______． 14. 已知：一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是______和______． 15. 若关于x的方程无解，则a的值是___． 16. 若，则______． 三、解答题 17. 因式分解、解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值： （1），再从，，0，1，2中取一个数代入求值； （2）已知为整数，且为整数，求所有符合条件的的值． 19. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶．比亚迪油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为96元；若完全用电做动力行驶，则费用为36元．已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元． （1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲乙两地的距离是多少千米？ （2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过60元，则至少需要用电行驶多少千米？ 20. 已知、、是三边的长． （1）若、、满足，试判断的形状，并说明理由； （2）若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 21. “感受数学魅力，提升数学素养”，我校在数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：； 八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 八年级 a 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级共有名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 22. 发现：（1）；（2）；（3）；… 尝试：直接写出第个式子______；（用含的代数式表示） 应用：（1）若的值为，求正整数的值． （2）请利用上述规律解方程： 23. 请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． （1）将分式化为带分式； （2）在（）问中，当取哪些数值时，分式的值也是整数； （3）当的值变化时，分式的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $