精品解析：云南省永胜县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

云南省永胜县第一中学2025-2026学年高二年级上学期期中考试 数学试卷 (试卷满分120分，考试时间150分钟) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为( ) A. 9,12 B. 9,36 C. 11,12 D. 11,36 4. 已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点M作圆的切线.当的横纵截距相等时，的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ） A. B. C. D. 5 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 表示复平面上对应的点到点的距离 11. “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下 列结论正确的是（ ） A. 月跑步里程逐月增加 B. 月跑步里程最大值出现月 C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数 D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的最小值为_________. 13. 已知i虚数单位，则_________． 14. 已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． （1）求的值及的解析式； （2）若，求实数值． 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为． （1）求乙投球次的命中率； （2）若甲、乙两人各投球次，求两人共命中次的概率． 17. 如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形． （1）证明：． （2）若，求与平面所成角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在轴上的圆经过两点和，直线的方程为. （1）求圆方程； （2）当时，为直线上的定点，若圆上存在唯一一点满足，求定点的坐标； （3）设点A，B为圆上任意两个不同的点，若以AB为直径的圆与直线都没有公共点，求实数的取值范围. 19. 椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． （1）若直线的斜率为1，求直线的方程． （2）求点P的轨迹方程． （3）求四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省永胜县第一中学2025-2026学年高二年级上学期期中考试 数学试卷 (试卷满分120分，考试时间150分钟) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 2. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出的值，再由奇函数化简所求即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 又因为，， 所以， 所以， 故选：B 3. 已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为( ) A. 9,12 B. 9,36 C. 11,12 D. 11,36 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差. 【详解】由题意结合平均数，方差的性质可知： 数据的平均数为：，方差为. 故选:D. 4. 已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点M作圆的切线.当的横纵截距相等时，的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，直线经过一、二、四象限，所以，再依据直线与圆相切，且在坐标轴上的截距相等，即可求得直线方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，所以设过点的切线方程为，因为的横纵截距相等， 所以，，又因直线与圆相切，所以，所以， 所以直线方程为. 故选：D 5. 已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量为，则到平面的距离，即可得出答案. 【详解】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 所以， ， 设面的法向量为， ， 所以， 令，则， 所以， ， 所以到平面的距离， 故选：C. 6. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将实数满足的方程理解为动点的轨迹方程，即圆的方程，把看成圆上点与点连线的斜率，考虑直线与圆相切情况，结合图形即得结论. 【详解】由配方得，可得点的轨迹是圆心在,半径为1的圆， 而可看成圆上点与点连线的斜率,如图， 由图可知过点A与圆相切的直线斜率一定存在， 设过点的圆的切线方程为：， 由圆心到切线的距离为，解得， 依题意，需使或，即得的取值范围是. 故选：B. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求得直线方程，继而求得点，利用勾股定理建立方程，解出即可. 【详解】设，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 直线的方程为． 令，得，即． 因为， 所以，解得． 故选：B. 8. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系得到答案. 【详解】A选项，若，，则或，故A错误； B选项，若，，则，又因为，则，故B正确； C选项，若，，则或与相交，故C错误； D选项，若，，，则或异面，故D错误. 故选：B 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】ABD 【解析】 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，方程组的解为，不是整数， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为. 故选：ABD. 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 表示复平面上对应的点到点的距离 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数运算公式，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】A.设，，，即，得，故A正确； B.若，则，则，故B正确； C.若，得或，故C错误； D. 表示复平面上对应的点到点的距离，故D正确. 故选：ABD. 11. “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下 列结论正确的是（ ） A. 月跑步里程逐月增加 B. 月跑步里程最大值出现在月 C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数 D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性. 【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误. 根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确. 一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确. 根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D选项正确. 综上所述，正确的选项为BCD. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的最小值为_________. 【答案】##4.5 【解析】 【分析】根据实数满足，利用“1”的代换得到，再利用基本不等式求解. 【详解】因为实数满足， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 13. 已知i是虚数单位，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出代数形式，然后再求模. 【详解】， 则， 故答案为：. 14. 已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． （1）求的值及的解析式； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）1；；（2）， 【解析】 【分析】（1）首先根据图像计算的值，再利用待定系数法求解析式即可. （2）根据，分类讨论求的值即可. 【详解】（1）根据图象可知，所以， 当时，设， 因为过点和点代入可得：，，即. 当时，，， 因为过点，，代入可得：. 所以；. （2）因为， 所以或，解得或. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像和函数值，同时考查了待定系数法求函数的解析式，属于简单题. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为． （1）求乙投球次的命中率； （2）若甲、乙两人各投球次，求两人共命中次的概率． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式求乙两次都没有命中的概率，列方程求可得结论； （2）求出甲只有一次命中、乙2次都命中的概率，再求出乙只有一次命中、甲2次都命中的概率，把这两个概率相加，即为所求． 小问1详解】 设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件， 由已知，， 则乙投球2次均未命中的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙投球次的命中率为. 【小问2详解】 事件甲、乙两人各投球2次，两人共命中3次，可表示为事件甲只有一次命中、乙2次全部命中，与事件乙只有一次命中、甲2次全部命中的和事件． 而甲只有一次命中、乙2次全部命中的概率为， 而乙只有一次命中、甲2次全部命中的概率为， 故两人共命中3次的概率为． 所以甲、乙两人各投球次，两人共命中次的概率为. 17. 如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形． （1）证明：． （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质证得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得，从而得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，从而利用空间向量法求线面角即可得解. 【小问1详解】 连接，因为底面和侧面均为正方形， 所以，则四边形为菱形，则， 由底面和侧面均为正方形，得． 因为平面，所以平面， 又，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 因为平面ABCD和平面均为正方形，所以， 又，，所以， 又因为，则，所以为正三角形， 取中点E，连接AE，则， 以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得，，， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在轴上的圆经过两点和，直线的方程为. （1）求圆的方程； （2）当时，为直线上的定点，若圆上存在唯一一点满足，求定点的坐标； （3）设点A，B为圆上任意两个不同的点，若以AB为直径的圆与直线都没有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 ；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设圆的方程为，列方程解得即可； （2）根据题意，利用得点的轨迹方程为，再利用两圆相切解得即可. （3）记以为直径的圆为圆，设，得圆的半径，利用，表示出动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的内部(含边界)，再利用点C到直线l的距离，解得即可. 【详解】（1）设圆的方程为，将M，N坐标带入， 得： ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，，由，即， 化简得， 由题意，此圆与圆C相切，故，解得， 所以或 （3）记以AB为直径的圆为圆M，设圆M上有一动点， 设，则圆M的半径，于是 ，其中为的夹角，. 因为，所以. 故点在以为圆心，为半径的圆的内部(含边界)， 所以点C到直线l的距离，即，解得. 【点睛】本题考查圆与方程，直线与圆的位置关系，阿波罗尼斯圆，隐圆问题，属于中档题. 19. 椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． （1）若直线的斜率为1，求直线的方程． （2）求点P的轨迹方程． （3）求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及过的定点，即可求解直线方程； （2）根据，转化为坐标运算，即可求点的轨迹方程； （3）首先分直线的斜率为0或不存在，以及直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，利用对角线的长度表示四边形的面积，利用函数关系求取值范围. 【小问1详解】 由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； 【小问3详解】 依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $