期末重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期末重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 4章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（    ） A．38 B．42 C．43 D．45 2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏扬州·模拟预测）阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）定义新运算： 若， 则x的值为 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是 11．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，圆形拱门所在圆的半径长为，拱门高为 ． 12．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 组别（） 人数 5 37 43 15 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是 ． 13．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 14．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）云南省某中学为弘扬民族文化，组织“非遗剪纸”社团活动．如图是甲，乙两个班级次剪纸作品获一等奖数量的条形统计图（单位：件），则两个班级作品获一等奖数量的稳定性更强的是 班．    15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 16．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下表：（单位：分） 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 学生甲 93 93 89 90 学生乙 94 92 94 86 (1)甲成绩的众数是 分，乙成绩的中位数是 分； (2)如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？ 21．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 22．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 23．（25-26九年级上·江苏南京·期中） 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 24．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 26．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． (1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） (2)求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， （ ）（填推理的依据）， ． 27．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 4章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（    ） A．38 B．42 C．43 D．45 【答案】D 【分析】本题考查了众数．根据众数是一组数据中出现次数最多的数值．通过统计每个数据的出现次数，比较后即可得出众数． 【详解】解：∵ 数据序列为：38， 42， 42， 43， 45， 45， 45； ∴ 38出现1次，42出现2次，43出现1次，45出现3次； ∴ 45的出现次数最多，故众数为45． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查方程的解的问题，把方程的根代入方程即可求解． 【详解】解：把代入方程：， 解得 ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据圆周角定理可知，进而根据平角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率，摸到红球的概率约为，利用概率公式可得袋子里红球、白球的总数，即可求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∴袋子里红球、白球的总数为， ∴袋子里红球的个数估计是． 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】A、 与不一定相等，符合题意；     B、 ∵直径， ∴，故不符合题意； C、∵直径， ∴，故不符合题意； ∴，故D不符合题意， 故选：A． 6．（2025·江苏扬州·模拟预测）阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握题干中给出的方程的表示方法，是解题的关键，根据题意，将一元三次方程，表示为，然后将左边展开，进行判断即可． 【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，， ∴方程可表示为：， ∴， ∴， ∴，，；故选项C正确，选项B，D错误； ∵， ∴；故选项A错误； 故选C． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设设房价比定价 元增加元，根据利润房价的净利润入住的房间数可得． 【详解】设房价比定价 元增加元，根据题意得， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）定义新运算： 若， 则x的值为 【答案】或 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法的应用，根据新运算的定义，将代入公式得到方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：由新运算定义，， 根据题意，， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是 【答案】8 【分析】本题考查了求平均数． 根据平均数的定义，原数据之和为50，新数据每个加3，和增加30，再求平均数． 【详解】解：由题意，原数据平均数为5，故数据之和为． 新数据之和为． 新数据的平均数为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，圆形拱门所在圆的半径长为，拱门高为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键．连接，根据垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， 得． 故答案为：9． 12．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 组别（） 人数 5 37 43 15 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率．根据概率公式解答即可． 【详解】解：因为身高不小于的人数为，总人数为100， 所以概率为． 故答案为． 13．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）云南省某中学为弘扬民族文化，组织“非遗剪纸”社团活动．如图是甲，乙两个班级次剪纸作品获一等奖数量的条形统计图（单位：件），则两个班级作品获一等奖数量的稳定性更强的是 班．    【答案】甲 【分析】本题考查方差的定义和意义，条形统计图，利用方差的定义求出甲和乙的方差，再比较即可，方差越小越稳定，熟练掌握求方差的方法和方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由统计图可知，甲次的数量为，，，，， ∴平均数为， ∴方差为， 乙次的数量为，，，，， ∴平均数为， ∴方差为， ∵， ∴甲稳定， 故答案为：甲． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查切线的性质，圆的切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，熟练掌握定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，即可求出的周长，即可完成求解． 【详解】解：∵、分别切于、， ∴， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：16． 16．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解方程即可； （2）根据配方法求解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确列表或画出树状图． 先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：画出树状图， 共有9种情况，其中甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”有4种， 所以甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率为． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下表：（单位：分） 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 学生甲 93 93 89 90 学生乙 94 92 94 86 (1)甲成绩的众数是 分，乙成绩的中位数是 分； (2)如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？ 【答案】(1)93，93 (2)甲的数学综合素质成绩为92分，乙的数学综合素质成绩为91.8分 【分析】本题考查了众数、中位数以及加权平均数，熟练掌握众数、中位数以及加权平均数的定义是解题的关键． （1）由众数和中位数的定义即可求解； （2）由加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：甲成绩的众数是93分， 乙成绩排序为86，92，94，94， ∴乙成绩的中位数是（分）， 故答案为：93，93； （2）解：甲的数学综合素质成绩为（分）， 乙的数学综合素质成绩为（分）． 21．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 22．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 【答案】(1) (2)不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键； （1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解； （2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可． 【详解】（1）解：列表如下： A      B 2 3 4 1 3 事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种， 则甲获胜的概率为． 答：甲获胜的概率为． （2）解：不公平； 理由如下： 由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种， 则乙获胜的概率为． 而甲获胜的概率小于乙获胜的概率， 所以游戏不公平． 把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 23．（25-26九年级上·江苏南京·期中） 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根，   ，， ； （3）解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． 24．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查圆锥的几何性质． （1）求出底面周长即为这个圆锥的侧面展开图中弧的长度 （2）侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离． 【详解】（1）解：弧的长度=底面圆的周长； （2）解：设的度数为n． ， 解得， 所以，的度数为； （3）解：连接，过B作于D， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即这根绳子的最短长度是 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点； （3）以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦即可． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，弦即为所求； 理由：， ； （2）解：如图，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，弦和即为所求； 理由：， ； （3）解：如图，以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦，弦即为所求． 理由： 连接，由作法可得， ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， 同理， ， ， ， ． 26．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． (1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） (2)求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， （ ）（填推理的依据）， ． 【答案】(1)见解析； (2)，垂直， 【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：（1）如图所示：、即为所求． （2）证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ， ． 故答案为：，垂直，． 27．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【答案】(1)B (2)图见解析，，，，， (3) 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据题意可得， ，进而根据阅读材料构造大正方形，即可求解． 【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B； （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （3）， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $