2026年中考数学解答题专题复习：解直角三角形的应用

2026年中考数学解答题专题复习：解直角三角形的应用 1．太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图，这是一个太阳能面板及其侧面示意图，是的中点，．当太阳光与面板垂直时．太阳面板吸收光能的效率最高，且太阳光与地面的夹角为，求此时支架端离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 2．每逢九月、十月，万州中学的三角梅花瀑便成为校园一景，吸引着众多师生课间打卡．如图，点、、、在同一平面内．某日小庆和小阳两人同时从点出发前往打卡地点处，点在点南偏东方向，由于、两地间正在举行活动不能直接通行，所以他们沿不同路线前往．小庆先从点向北偏东方向步行到点，再从点向南偏西方向步行到点；小阳先从点出发步行到点，已知点在点的北偏东方向，再从点向正东方向步行600米到点．（参考数据：，，，）． (1)求、两地间的距离（结果保留根号）； (2)小庆步行速度是每分钟60米，小阳步行速度是每分钟80米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达打卡地点？请通过计算说明． 3．小明约小华去某景点爬山，该景点的东门在西门的正东方向，从西门处有一条索道可以直达景点，爬升角，如果要步行上山，可从东门出发，先经过一条坡度的石板路到达景点，再从景点经过丛林穿越到达景点，从景点观测景点，仰角为，已知距离，距离（，，，，） (1)求西门到东门的距离（结果保留一位小数） (2)小明从处坐索道前往处，小华从处骑车前往处，两人同时出发，已知索道速度是小华骑车速度的4倍，小华和小明手里各有一部对讲机，接收信号距离最远为，请问当小华从西门骑行多远时，对讲机开始接收信号？（结果保留两位小数） 4．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值； (2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 5．如图，港口在货物集散地的南偏东度方向的海里处，在货物集散地的南偏西度方向上，且位于的正西方向上，小镇位于的西北方向，且在的北偏东度方向上．（参考数据：，，） (1)求的距离（结果保留小数点后一位）； (2)现在，货船都停靠在港口，其中货船甲要将集散地的货物运往小镇，货船乙要将集散地的货物运往小镇，已知货船甲的速度是海里每小时，货船乙的速度是海里每小时，两货船同时出发，不计装货时间，请问哪艘货船先到达小镇（结果保留小数点后两位）？ 6．为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） (1)求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 7．“苏州之眼”是坐落于苏州工业园区金鸡湖右岸核心商圈的文旅地标建筑，其128米高度位列亚洲最大水上摩天轮，采用全球第八座回转式太空舱设计，可360度俯瞰金鸡湖全景．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即米），以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计） (1)求摩天轮的最低处到地面的距离的长； (2)求摩天轮圆轮直径的长． 8．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 9．2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 10．2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 11．如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离为米，小普在甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为． (1)问：甲楼比乙楼高多少米？ (2)如果小普在两幢大楼之间的点处（点在同一条直线上），分别测得甲楼顶部处的仰角为，乙楼顶部处的仰角为，求甲楼的高度． （参考数据：，） 12．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 13．东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图①是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图②所示．在垂直地面的这座塔前阶梯下有一平台，小张在平台处测得塔顶端的仰角为，，走上阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． (1)求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离； (2)求这座塔的高度． （参考数据：，，，，结果均保留整数） 14．某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 15．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学解答题专题复习：解直角三角形的应用》参考答案 1．24 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 过点C作，根据题意算出，再结合线段的中点得，运用直角三角形的两个锐角互余得，然后根据，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图： ∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高， ∴， ∵点C是的中点，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(1)、两地间的距离为． (2)小庆先到达打卡点．见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． （1）过点作于点，先计算出，，，则为等腰三角形，可得，利用余弦的定义可计算出即可； （2）过点作于点，先计算出，，再利用为等腰直角三角得到，利用正切的定义得到，根据速度公式计算出小庆步行到点所需时间和小阳步行到点所需时间，然后比较两个时间可判断谁先到达打卡地点． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得：，， ， 在中，， ， 答：、两地间的距离为． （2）解：小庆先到达打卡点，理由如下： 如图，过点作于点， ， 在中，，， ， 在中，， ，， 分钟， ， 分钟， 小庆先到达打卡点． 3．(1) (2)当小华从西门骑行时，对讲机开始接收信号 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解题意，构造直角三角形． （1）过点作于点，过点作于点，过点作于点，解中，求出，，解， 求出，，则，解，求出，最后再由求解即可； （2）设小华从西门骑行到达点时，对讲机开始接收信号，则此时设索道到达点，由题意得，时，过点作于点，由题意得，，解得，，则，最后在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：设小华从西门骑行到达点时，对讲机开始接收信号，则此时设索道到达点，由题意得，时，过点作于点， 由题意得，， 在中， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴ 整理得，， 解得，， ∵索道从点到达点时，小华骑车到达处， ∴， 故舍， ∴， 答：当小华从西门骑行时，对讲机开始接收信号． 4．(1) (2)建筑物的高为80米 (3)飞机再飞160米可使点看飞机的仰角为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形并解直角三角形． （1）根据给出的公式计算即可得出答案； （2）过点作于点，求出和的长即可得出答案； （3）延长交于点，作交于点，并使，根据角的正切可得，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 如图，延长交于点， 由题意可得 米， 米 米 米 米； （3）解：延长交于点，作交于点，并使， 米 由（2）得：米， ， 米，. 米， 答：飞机再飞160米可使点看飞机的仰角为． 5．(1)54.6海里 (2)货船乙先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数和边长关系进行计算． （1）过点作，分别在和中，利用三角函数求出、，进而求出的距离； 过点A作，设，分别在和中表示出、，结合的长度求出，再分别计算货船甲、乙的路程和时间，比较时间判断哪艘货船先到达． 【详解】（1）解：过点作于点．构造如图所示， 解：由题意，海里，作。交于点， 在中，， ， ， ， ，， ， ， 又， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的距离为54.6海里． （2）过点作于点． 由题意，，，设海里， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ，， ， 由（1）得， ， ， 货船乙先到达． 6．(1) (2)甲班先到 【分析】（1）过点C作于点F，过点D作于点E，根据特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，解直角三角形即可； （2）分别求出两个班用的时间，比较后即可得到结论． 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是关键． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点D作于点E， ∵点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向． ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据（1），得， 甲选择①，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 乙选择②，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 故甲先到达． 7．(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答此题的关键是此题的两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条边． （1）首先分析图形根据题意构造直角三角形．在中，利用角的三角函数关系可以求得的长； （2）在中，根据角的三角函数可求的长，再减去的长从而得出答案． 【详解】（1）根据题意可得：， ∴（米）， 摩天轮的最低处到地面的距离的长为米． （2）∵， ∴（米）， ∴（米）， 即摩天轮圆轮直径的长为米． 8．(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 9．(1)米 (2)小陈先到达体育场D处 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， 【详解】（1）解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答：的长度为米． （2）解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 10．千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，再在Rt△ABD中，根据求出，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， ∴（千米）， 在中，， ∴， ∴千米， ∴（千米）， 答：的长为千米． 11．(1)米 (2)米 【分析】（）过点作于，则米，，再解求出即可求解； （）设米，则米，分别解和，得，，进而得到，解方程求出的值即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则米，， 由题意得，， 在中，， ∴米， ∴甲楼比乙楼高米； （2）解：设米，则米， 由题意得，，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：甲楼的高度为米． 12．(1)海里 (2)甲货轮先到达港 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． （2）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 13．(1)阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为 (2)这座塔的高度约为 【分析】本题考查了坡度的概念、三角函数的应用以及矩形的判定和性质，解题的关键在于 理解坡度的含义和运用三角函数求解高度． （1）和的延长线相交于点，过点作于M点，如图，先根据坡度的定义得到，则可设则，然后求出x即可； （2）先在中利用正弦计算出，再利用四边形为矩形得到，然后计算即可． 【详解】（1）解：和的延长线相交于点，过点作于， 阶梯的坡度， ， 设，， ， ， 解得， 答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为； （2）在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 答：这座塔的高度约为． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 15．(1)点到的距离的长为米． (2)轿车能驶入小区，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． （2）解：由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $