精品解析：贵州省贵阳市长郡贵阳高级中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性测试数学试题

长郡贵阳高级中学高一数学12月阶段性测试 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设集合，，则从到的函数可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 求值：______． 13. 已知函数，则的定义域为___________． 14. 设函数，的值域是______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知幂函数在上单调递增，函数. （1）求的值； （2）记集合，集合，若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值，判断在上的单调性并说明理由； （2）已知，求实数的取值范围. 18. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下： ①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与 游玩时间（单位：小时）满足关系式：； ②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，直接写出函数的解析式； （3）在(2)的条件下，若，当时，求的最小值. 19. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡贵阳高级中学高一数学12月阶段性测试 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的运算求出. 【详解】依题意，，而，所以. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3. 设集合，，则从到的函数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义判断D，利用特殊值判断A、B、C. 【详解】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又， 所以为从到的函数，故D正确. 故选：D 4. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 5. 在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合对数运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为关于的二次方程有两个相等的实根， 则，可得， 则，即，可知角C为直角，即直角三角形. 故选：B. 6. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由f(x)为奇函数可知， ＝<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. 当x>0时，f(x)<0＝f(1)； 当x<0时，f(x)>0＝f(－1)． 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x<1，或－1<x<0. 选D 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合二次函数性质列出关于a的不等式组即可计算求解. 【详解】函数是上的增函数， 所以. 故选：B 8. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数， 且幂函数在上是减函数，故A正确； B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数， 且，则其在上单调递减，故B正确； C选项中，设，其定义域为，则， 故是偶函数，且函数在上单调递减, 函数在定义域上为增函数， 所以在 上单调递减,故C正确； D选项中，设，是， 且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得，由得.对于A，利用作差法判断；对于B，由对数运算法则计算判断；对于C，由基本不等式可得，结合对数运算法则计算判断；对于D，解法一：利用基本不等式“1”的妙用，计算判断，解法二：用权方和不等式计算判断. 【详解】由得，由得. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，，则，当且仅当时等号成立， 因为，故等号不成立，即， 则，故C正确； 对于D，解法一：易知，， 当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以， 解法二：若用权方和不等式，则有，当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 求值：______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 13. 已知函数，则的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知函数的解析式得的定义域，进而可得的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得或. 所以函数的定义域为. 所以要使函数有意义，则或，即或. 故函数的定义域为. 故答案为： 14. 设函数，的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】对于分段函数的值域，两段分别求出值域，然后求解并集即可. 【详解】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 故答案为：. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知幂函数在上单调递增，函数. （1）求的值； （2）记集合，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求的值； （2）由函数的单调性，求和在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数的取值范围. 【小问1详解】 为幂函数且在上单调递增， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，，在上单调递增， 当时，，即； 在R上单调递增， 当时，，即， ， 解得，即实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）或 【解析】 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值，判断在上的单调性并说明理由； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递减，理由为： 任取，且， 则， ，，， ，， 即，故在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数为上的奇函数，由求得，再根据函数的单调性定义证明其单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为， ，即， 此时，有，满足为奇函数，符合题意； 在上单调递减，理由略 【小问2详解】 因， 是奇函数，， 在上单调递减，， 解得，即的取值范围为. 18. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下： ①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与 游玩时间（单位：小时）满足关系式：； ②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，直接写出函数的解析式； （3）在(2)的条件下，若，当时，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可列得分段函数，根据分段函数可求得累计经验值； （2）根据题意得到关系式； （3）将值代入，用均值不等式及基本函数单调性求的最小值，再做比较. 【小问1详解】 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； 【小问2详解】 【小问3详解】 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 综合两个区间，由于在区间上的最小值为25，， 所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 19. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，即，解得： 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $