4.3.1等比数列的概念（1）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、定义、公比、等比中项及通项公式，通过古巴比伦数列、庄子“一尺之棰”、细菌分裂、复利计算等现实情境导入，类比复习的等差数列性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以多领域实例培养数学眼光，类比等差数列探究过程发展数学思维，累乘法推导通项公式体现推理能力。课堂小结对比表格系统呈现异同，助学生用数学语言精准表达。学生增强应用意识，教师可高效衔接新旧知识。

4.3.1 等比数列的 概念（1） 设 等差数列{an}的前n项和为Sn，那么 性质1：数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数) 是等差数列. 性质3：在等差数列{an}中连续的n项和构成的数列Sn， S2n－Sn, S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列． 性质2：数列 复习回顾 设 等差数列{an}的前n项和为Sn，那么 性质4：若项数为奇数2n+1项， 性质5： 性质4：若项数为偶数2n项， 复习回顾 方法总结 求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1：由 利用二次函数的对称轴求得取得最值时的n的值及最值 (在离对称轴最近的正整数处取得). 方法2：利用an的符号： ①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值, 由 an≥0，an+1≤0 ，求n. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值, 由 an ≤0，an+1 ≥ 0，求n. 情景导入 学习了等差数列后，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 例1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版记录了下面的数列： 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ; ① 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ 请看下几个问题中的数列： 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 5 情景导入 例2：《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 6 情景导入 例3： 在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是： 2, 4, 8, 16, 32, 64, ‧‧‧ . ⑤ 例4： 某人存入银行ɑ元钱，存期为5年，年利率是r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)4, a(1+r)5. ⑥ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 7 新知探究 9, 92, 93, ‧‧‧ , 9l0 ; ① 思考：类比等差数列的研究, 上述数列的每一项与它前一项之间有什么关系？ 第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 如果用{an}表示数列① ，则有： 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 8 新知探究 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)5, a(1+r)6. ⑥ 数列②~⑥，也有这样的取值规律： 第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 思考：类比等差数列的研究, 上述数列的每一项与它前一项之间有什么关系？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 9 概念形成 1. 等比数列的定义： 一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 2. 等比数列定义的符号语言： 这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母 q (q≠0) 表示. ( q≠0，n≥2 )，其中q为常数. （ q≠0，n∈N* ），其中q为常数. 或 新知探究 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ; ① 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)5, a(1+r)6. ⑥ q = 9 q = 100 q = 5 q = q =(1+r) 思考 数列② ~ ⑥，公比都分别等于多少？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 11 注意： (1) 等比数列{an}中， an≠0，q≠0 . (2) 公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求. (3) 若q＝1，则该数列为常数列. (4)常数列 a, a , a , a , …, a≠0时，既是等差数列，又是等比数列， a＝0时，只是等差数列，不是等比数列. 概念形成 概念形成 注意：公比q可以是正数、负数，不可为0. 当q >0时,等比数列的各项符号相同. 当q<0时,等比数列的各项符号正负交替，但所有的奇数项 (或偶数项)的符号相同. 当0＜q＜1，a1＞0时,等比数列为递减数列; a1＜0时,等比数列为递增数列; 当 q ＞1 ，a1＞0时,等比数列为递增数列; a1＜0时,等比数列为递减数列; 当q＝1时,等比数列为非零常数列. 练习 1. 判断下列数列是否为等比数列,如果是,求出公比q. (1) 3，9，15，21，… (2) 5， 5， 5， 5，… (3) 4，-8，16，-32，… (4) 1，0，1，0，… (5) 0，0，0，0，… (6) 1, a, a2, a3 , … (7) x0, x, x2, x3 , … 是，q = 1 不是 不是 不是 是，q = -2 不一定 是，q = x 是, 等比数列辨析 概念形成 3. 等比中项： 由三个数a，G，b组成等比数列，G 叫做a和b的等比中项. 这三个数满足关系式：G2=ab (ab>0)，即 由等差数列的定义，有：＝，所以G2=ab. 追问 任意两个实数a，b都有等比中项吗？ 若a，b异号则无等比中项. 若a，b同号(且均不为0)则有两个等比中项. 1. 在等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则a2= . 牛刀小试 2. 在等比数列{an}中，若a1，a5是方程x2﹣5x+4=0的两根，则a3的值为(　　) ±2 A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ±2 A 等比中项及应用 思考：若一个等比数列{an},它的首项为a1, 公比是q，那么这个数列的通项公式是什么？ 新知探究 a2=a1q a3=a2q=(a1q )q=a1q2 a4=a3q=(a1q2 )q=a1q3 … an=an-1q=a1qn-1 (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴ an=a1qn-1 方法1：由等比数列的定义得 等比数列的通项公式 新知探究 上述各式两边同时相乘，得 累乘法 ∴ an=a1qn-1 方法2：由等比数列的定义可得 个 又∵当n=1时，上式也成立 ∴ an=a1qn-1 等比数列的通项公式 概念形成 4. 等比数列通项公式： 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为： an＝a1qn－1 (n∈N* ). 推导公式：任意两项an和am之间的关系: an＝am qn－m a1、q、n、an中 知三求一 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 法一： 书P29 等比数列的基本量运算 ① ② ②的两边分别除以①的两边，得 ，则 或 两个，需对其分类讨论 把代入①，得 此时==384=24 把代入②，得 此时== -384 = -24 因此，的第5项是24或-24 . 基本量法 例题分析 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 法二： 书P29 等比数列的基本量运算 例题分析 因为是和的等比中项，所以 因此，的第5项是24或-24 == 所以 中项法 例3 数列{an}共有5项, 前三项成等比数列, 后三项成等差数列, 第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136, 第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 解： 书P30 例题分析 注意设法 2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处 填入适当的数. a1 a3 a5 a7 q 　　　 　　 　　 书P31 等比数列的基本量运算 练习 3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 书P31 等比数列的基本量运算 练习 3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 书P31 等比数列的基本量运算 练习 概念形成 5. 等比数列与指数型函数的关系： 因为 ， 所以 当q＝1时，an＝a1 (a1≠0)是常函数； 当q＞0且≠1时，an是指数型函数 当x＝n ， (n∈N*)时的函数值，即an＝f (n). an=a1qn-1 指数式的底数即为公比q, 可以直接从通项公式看出公比q的值. 概念形成 5. 等比数列与指数型函数的关系： a1＝f(1)＝ka，a2＝f(2)＝ka2，...，an＝f(n)＝kan，... 所以，数列{an}是以ka为首项，a为公比的等比数列. 得到的数列an＝kan，n∈N* 概念形成 等比数列 的图像： an=a1qn-1 从图象上看，表示等比数列{an} 中的 各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点. 等比数列 名称 等差数列 概念 常数 通项 公式 中项 性质 an=am+(n-m)d 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 公差(d ) d 可正、可负、可零 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 公比(q ) q可正、可负、不可零 an=am qn-m an＝a1qn－1 (q≠0，n∈N* ) an＝a1+(n－1)d (n∈N* ) 等比中项 等差中项 课堂小结 下课! $