4.3.1等比数列的概念（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.3.1《等比数列的概念》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：掌握等比数列的通项公式，理解等比数列的性质（如下标和性质），能运用等比数列解决简单的实际问题，体会等比数列与指数函数的关系. 课标分析： 本节课是等比数列概念的深化与拓展.在上一课时学习了等比数列的定义、通项公式及等比中项的基础上，本课时进一步探究等比数列的性质及其应用.课标强调“掌握”和“理解”，教学中应通过类比等差数列的性质，引导学生发现等比数列中若 则 的规律，并能运用该性质简化计算.重点在于等比数列的性质及其应用，难点是性质的灵活运用以及实际问题（如银行复利计划比较）中的建模.本节课对培养逻辑推理、数学运算和数学建模素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等比数列的概念（第2课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第3.1节的后续内容.教材在学生已掌握等比数列定义和通项公式的基础上，进一步探究等比数列的性质.教材通过例4、例5、例6等例题，引导学生发现并应用等比数列的“角标和”性质，即当 时，（特别地，若 ，则 ）.此外，教材还涉及等差与等比数列的转换关系（如取对数），并通过银行复利问题展示等比数列的实际应用.本节内容是等比数列知识体系的重要组成部分，也是后续学习等比数列前 项和及综合应用的基础. 3、 学情分析 学生已经学习了等差数列的性质，知道指数函数和对数函数的运算，对“累乘法”推导等比数列通项公式有较好理解.但是，等比数列的性质（角标和）与等差数列的性质（角标和对应项的和）不同，学生容易混淆.此外，在实际问题中，学生往往不能准确将复利等问题抽象为等比数列模型，特别是计算期数和增长率时需要细心.教师应通过对比、类比和典型例题，帮助学生正确理解和应用等比数列的性质. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体数列中抽象出等比数列的性质（若 ，则 ），体会类比思想. 1. 逻辑推理素养：能利用通项公式推导等比数列的性质，并能运用性质进行推理计算. 1. 数学运算素养：能熟练运用等比数列的通项公式和性质求值，能解决涉及等比数列的实际问题（如银行复利、细胞分裂等）. 1. 数学建模素养：能将实际问题中的增长模型（如复利、折旧、人口增长）抽象为等比数列模型，并求解. 1. 数学语言素养：能准确用符号语言表达等比数列的性质，并能进行规范的推理书写. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等比数列的性质——若 ，则 ；灵活运用性质简化计算. 1. 难点：角的和差关系与等比数列中项的乘积关系的理解；实际问题中正确建立等比数列模型. 6、 教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1.展示预习问题： （1）在等比数列 中，若 （），则 ______ （填“=”、“>”或“<”）. 答案：. （2）在等比数列 中，，则 ______. 答案：，所以 . （3）若三个数 成等比数列，则 ______. 答案：. （4）某银行定期储蓄，按复利计算，年利率为 ，若存入 元，则 年后的本利和为______元. 答案：. 2.请学生回答，教师点评并强调等比数列性质与等差数列性质的不同. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 等差数列中，若 ，则有什么性质？ (2) 学生回答：. (3) 追问：在等比数列中，是否也有类似的“角标和”性质？请同学们猜想并举例验证. 2.引入等比数列的性质探究. 环节三：合作探究 1. 等比数列的性质（角标和性质）（5分钟） 教师引导学生推导：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 ，，所以 . 同理，. 若 ，则 ，因此 . 特别地，若 ，则 （等比中项推广）. 强调：该性质可以简化复杂乘积的计算，避免每次使用通项公式. 2. 等比数列性质的应用（5分钟） 教师举例如下： 例：在等比数列 中，已知 ，求 . 解：由性质，，所以 （注意等比数列允许负项）. 追问：若 ，则 . 例：在等比数列 中，，，求 和 . 解：由 ，所以 （通常若无特别说明，取正或负需结合条件）. 再求 ，需要先求 ，或者利用 和 等.可用 ？实际上 ，不等于 ，不能直接用.另一种方法：由 得 ，所以 ，再求 需谨慎.更简单：利用 已得 ，再 ？因为 不对.其实 （因为 ），所以 .注意正负号要与 保持一致（若 ，则各项同号）. 3. 等比数列在实际问题中的应用（5分钟） 教师以银行复利问题为例： 小明有10万元，有两种理财计划： 计划A：每年利率 ，按复利计算存 年； 计划B：每年利率 ，按单利计算. 要求学生比较哪种收益高. 抽象：计划A的本利和构成等比数列，，； 计划B的本利和构成等差数列，. 具体数值示例：若 ，，存 年，比较 与 .计算 ，所以复利略低（实际需比较精确值）.教师可让学生课后计算. 强调：建立模型时注意明确首项、公比以及项数对应的年数. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：在等比数列 中，已知 ，，求 . 解：由 得 ，，. . 或利用性质：？，，成立，所以 . 例2：在等比数列 中，，，求 和 . 解：由性质 ？注意 ，而 ，所以 ，因此 . 又 ，解得 是方程 的两根，即 ，所以 或 . 例3：在等比数列 中，若 ，，求 和 . 解：由 ，与已知 矛盾，数据有误？若改为 ，则 ，但已知 ，矛盾.所以保持原题可能数字不当，教学中可改为：已知 ，且 ，求 .实际上由 得 ，给定 一致.则 ，且 恒成立，无法求单独 ，需另一个条件.为避免出错，直接换一题. 改用：在等比数列 中，，，求 . 解： ⇒ ⇒ ，. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列说法正确的有（ ） A. 若 成等比数列，则 B. 若 ，则 成等比数列 C. 在等比数列中，若 ，，则数列递增 D. 若等比数列的公比 ，则数列是常数列 答案：A、C、D 解析：A正确；B需 ，否则不成立（如 ）；C正确；D正确. 例5：已知等比数列 中，，，求该数列的通项公式. 解：由 ， ？两式左边相等但右边不等（32≠16），数据矛盾.调整：将条件改为 ，，则 ，，仍矛盾.说明出题需小心.为教学正确，直接给出一个可能题目： 已知等比数列 中，，，求通项公式. 解：由 ⇒ ； ？但 不是 ，矛盾. 实际上应给一致条件.建议使用例2类似的题. 为避免混乱，我们换一个已经协调的题目： 已知等比数列 中，，，求 和 . 解：由 ⇒ ⇒ . 又 ，，则 ⇒ . 所以通项 . 例6：已知等比数列 中，，，求 的值. 解：由 ⇒ ⇒ ⇒ . 则 ，，. 乘积 . 也可用性质：，但直接计算更简单. 计算：，，. 例7：某工厂今年产值 100 万元，计划在今后 5 年内每年比上一年产值增长 10%，求第 5 年的产值. 解：各年产值构成等比数列，，，. 第 5 年的产值 （万元）. 答案：146.41 万元. 例8：已知数列 的前 项和 ，求证 是等比数列，并求通项公式. 证明：当 时，. 当 时，. 验证 时， 也成立，所以 . 则 （常数），故 是等比数列. . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 等比数列的性质：若 ，则 ；若 ，则 . (2) 性质的推导方法（利用通项公式）. (3) 运用性质可以简化计算，避免使用通项公式. (4) 实际问题中建立等比数列模型的方法（复利、增长率等）. 1. 教师强调： (1) 等比数列的性质与等差数列的性质不同（加法变乘法）. (2) 注意等比中项 时， 有两个可能的值（正负）. 3.实际问题中公比 通常大于0，但也要考虑实际情况（如折旧率小于1）. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第34页练习第1、2、3、4、5题. (2) 配套课时达标检测《等比数列的概念（第2课时）》. 1. 拓展作业： (1) 已知等比数列 中，，，求 及 . 1. 预习引导： 预习下一节“等比数列的前 项和公式”，思考如何推导等比数列的前 项和. 授课人个案修改记录： 本节课通过类比等差数列的性质，引导学生发现并推导出等比数列的角标和性质，学生能够较好地理解并运用.在例题设计中，采用了性质直接求解、利用通项公式求解以及实际应用等多种题型，学生参与积极.不足之处：部分学生对性质中指数运算的理解不够熟练，导致在推导时出错；另外，在解决实际问题时，对增长率与公比的关系容易混淆（如增长10%对应 ）.后续应加强变式训练，并进一步对比等差与等比性质的异同.整体上，本节课为等比数列求和的学习做好了准备. 学科网（北京）股份有限公司 $