精品解析：山东省威海市文登区三校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期初三数学考试卷 一、选择题 1. 下面是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组式子中，没有公因式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 在，，，，，中，是分式的有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A. 4 B. C. 0 D. 9 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 7. 计算的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 下列结论：①无论为何实数，都有意义；②当时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且．其中错误的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列说法中正确的有（　　） ①描述一组数据的平均数只有一个； ②描述一组数据的中位数不仅仅有一个； ③描述一组数据的众数只有一个； ④描述一组数据的平均数、中位数和众数都一定是这组数据里的数； ⑤一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数、众数和中位数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 11. 如果把分式：中的都扩大10倍，那么分式的值___________． 12. 对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则___________，___________． 13. 若的三边长a，b，c满足，则是___________三角形． 14. 若是一个完全平方式，则___________． 15. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是___________． 16. 一组数据，，的平均数是90，方差是13.5，则，，，的平均数是___________，方差是___________．如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差___________（“变大”、“变小”或者“不变”）？ 三、解答题 17. 因式分解： （1） （2） （3） 18. 计算： （1） （2）． （3）化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值． 19. 解方程： （1） （2） 20. 若关于的分式方程的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数的值之和． 21. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 22. 2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． （1）该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 23. 我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，；，，……，请用观察到的规律解方程，该方程解是多少？ 24. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． （1）上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：，求的值． （2）已知，，，求的值． 25. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式①___________． 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 根据图3中的几何体的体积和图4中几何体的体积得到关于的等式为___________．（结果写成整式的积的形式） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期初三数学考试卷 一、选择题 1. 下面是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意， B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意， C、，分解错误，故此选项不符合题意， D、，分解错误，故此选项不符合题意， 故选：A． 2. 下列各组式子中，没有公因式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 3. 在，，，，，中，是分式的有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，，的分母中都含有字母，都是分式， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的判断，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫做分子，叫做分母．特别注意：判断一个代数式是不是分式，不能将原代数式进行变形后再判断，而必须按照原来的形式进行判断，不能认为分母含有的式子是分式． 4. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接判断分子和分母在因式分解后有没有公因式即可． 【详解】解：A选项中分子和分母有公因式，所以A选项不符合题意； B选项中分子和分母有公因式，所以B选项不符合题意； C选项中分子和分母有公因式x，所以C选项不符合题意； D选项中的分子和分母没有公因式，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式，解题关键是掌握最简分式的定义． 5. 若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A. 4 B. C. 0 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，通过分类讨论x在不同取值范围时中位数的值，令平均数等于中位数，解方程得到x的可能值，从而找出不可能的值． 【详解】平均数为， 当时，排序后中位数为3， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为x， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为5， 根据题意得，， 解得，符合条件． ∴x的可能值为、4、9． 选项中0不在其中，故x的值不可能是0． 故选：C． 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 7. 计算的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 8. 下列结论：①无论为何实数，都有意义；②当时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且．其中错误的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，分式的除法运算，分式值为0的条件以及分式值的符号判断．①中要求；②中分母为0时无意义；③需排除；④分式有意义则分母不为0． 【详解】∵①中要求，时无意义，∴①错误； ∵②当时，分母，分式无意义，∴②错误； ③， ∵，当时，需即，但时分式为0不为负， ∴结论漏，∴③错误； ∵ ④有意义需分母不为0，即且，， ∴且，，∴④错误． ∴错误的个数是4． 故选：D． 9. 下列说法中正确的有（　　） ①描述一组数据的平均数只有一个； ②描述一组数据的中位数不仅仅有一个； ③描述一组数据的众数只有一个； ④描述一组数据的平均数、中位数和众数都一定是这组数据里的数； ⑤一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数、众数和中位数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数和众数的基本概念，需理解其唯一性和是否属于原数据． 根据平均数、中位数和众数的定义，逐一判断各说法的正误． 【详解】∵平均数是通过所有数据之和除以数据个数得到的，对于一组数据，平均数唯一，∴ ①正确； ∵中位数是将数据排序后位于中间的数（或中间两数的平均数），对于一组数据，中位数唯一，∴ ②错误； ∵众数是出现次数最多的数据，一组数据中众数可能有多个，∴ ③错误； ∵平均数和中位数不一定为原数据中的数（如数据1，3的平均数为2，2不在原数据中），而众数必为原数据中的数，∴ ④错误； ∵数据变化后，平均数一定改变，但众数和中位数可能不变（如变化非众数数据或中间位置数据未变），∴ ⑤错误． 综上，只有①正确，故正确的个数为1个． 故选：A． 10. 一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题有两个等量关系： ①平时逆水航行时间：顺水航行时间； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，得： ∴，即， 解得：，经检验，符合题意且符合实际应用， ∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了． ∴， 解得：． 答：甲，乙两港相距． 故选D． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，注意找好两个未知量之间的关键．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 二、填空题： 11. 如果把分式：中的都扩大10倍，那么分式的值___________． 【答案】不变 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是根据分式基本性质分析分子分母的变化． 将和都扩大10倍后，代入分式计算，分子和分母均扩大100倍，比值不变． 【详解】∵将中的都扩大10倍， ∴扩大后分式为， 与原分式相等，故分式的值不变． 故答案为：不变． 12. 对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则___________，___________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 13. 若的三边长a，b，c满足，则是___________三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 将方程移项后因式分解，得到，根据三角形三边为正，得出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 14. 若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或者 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方式的结构，常数项可表示为，因此中间项系数应与相等，从而求解． 【详解】∵ ∴ 解得或． 故答案为：或． 15. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知分式方程的解求参数， 设“？”代表的数为m，将分式方程转化为整式方程，利用增根使分母为零且满足整式方程的性质，代入求解m． 【详解】设“？”代表的数为m，则原方程为． 去分母得， ∵方程的增根是， ∴把代入得， ∴ 故答案为：． 16. 一组数据，，的平均数是90，方差是13.5，则，，，的平均数是___________，方差是___________．如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差___________（“变大”、“变小”或者“不变”）？ 【答案】 ①. 190 ②. 121.5 ③. 变小 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，利用平均数和方差的计算方法求新数据的平均数和方差；通过计算加数后的新方差与原方差比较变化． 【详解】∵一组数据，，的平均数是90， ∴ ∴ ∴，，，的平均数是190； ∵一组数据，，的方差是13.5， ∴ ∴ ∴ ∴，，，的方差是121.5， 如果这组数据再加上一个数90， ∴平均数为 ∴ ∴这11个数的方差变小． 故答案为：190，121.5，变小． 三、解答题 17. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）先根据平方差公式分解因式，再计算两括号里的加减，最后提取公因式即可； （2）先计算多项式的乘法，再根据完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2）． （3）化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值． 【答案】（1） （2） （3）；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算括号里的加减，再计算除法，最后合并同类项即可； （3）先计算除法，再计算加法，最后选取符合要求的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 可知，即， 当时，原式． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．注意：解分式方程要检验． （1）方程两边同时乘，化简并求出x的值，再检验即可． （2）方程两边同时乘，化简并求出x的值，再检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘， 得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘， 得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 20. 若关于的分式方程的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数的值之和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 21. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）7.5，7， （2） 解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7，； 【小问2详解】 略 22. 2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． （1）该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【答案】（1）第一批进价40元，第二批进价50元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用及不等式的实际应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是y元，通过利润率不低于列不等式，求解范围即可． 【小问1详解】 设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元； 由题意得， 解得， 经检验为分式方程的解且符合题意， ， 答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元； 【小问2详解】 设每件T恤衫的标价是y元， 第一次购进件，第二次购进件， 利润为：， 利润率不低于， 则 解得， 答：每件T恤衫的标价至少是元． 23. 我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，；，，……，请用观察到的规律解方程，该方程解是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可． 【详解】解： 原方程化简为：， 即， 方程两边同乘， 得：， 解得． 经检验是原方程的解， ∴原方程的解为． 24. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． （1）上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查运用“倒数法”求分式的值以及分式的混合运算， （1）根据材料提示的“倒数法”将变形为，由此即可求解； （2）将，，利用“倒数法”变形为，，，将利用“倒数法”变形为，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵的倒数为， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式①___________． 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 根据图3中的几何体的体积和图4中几何体的体积得到关于的等式为___________．（结果写成整式的积的形式） 【答案】【知识再现】；【知识迁移】 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． [知识再现]根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； [知识迁移]图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式． 【详解】解：[知识再现]：图1阴影部分的面积为、图2阴影部分的面积为， ∴可以得到一个关于的等式， 故答案为：； [知识迁移]：如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $