精品解析：海南省海口市2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题

海南省海口市2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题 满分：120分 时间：100分钟 考查范围：华师版九年级上册、二次函数 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 已知，则x为（ ） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故选C. 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞-2 B. x≥-2 C. x＜-2 D. x≤-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式与分式的性质即可求解. 【详解】依题意可得，可得x＞-2 故选A. 【点睛】此题主要考查函数自变量的取值，解题的关键是熟知二次根式与分式的有意义的条件. 3. 用配方法解一元二次方程，变形正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元二次方程的方法—配方法，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 则，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法是解题的关键． 4. 若线段满足，且线段，，则线段（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据比例的性质，由比例关系 可得是和的比例中项，即，代入数据计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 5. 如图，已知，，，是四个全等的等腰三角形，底边，，，在同一直线上，且，，连接交于点Q，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出BP，进而利用勾股定理求出AP的平方，即可求AI=8，最后判断出QG∥AC，即可通过全等得出结论． 【详解】解：如图，过点A作AP⊥BC垂足为P，     ∵AB=AC，BC=2， ∴BP=BC＝1，BC=CE=EG=GI=2， 在Rt△ABP中，根据勾股定理得，AP2=AB2-BP2= 42-12=15 ， 在Rt△API中，PI=，根据勾股定理得 ， ∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形， ∴∠ACB=∠QGC， ∴QG∥AC， ∴△IGQ∽△ICA， ∴ ， ∴， ∴QI= ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出AI是解本题的关键． 6. 在中，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意即可得出，设，则，利用勾股定理可求出的长，最后根据，代入数据求值即可． 【详解】解：如图， 根据题意可知，故可设，则， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角形函数和勾股定理．掌握正弦和正切的定义是解题关键． 7. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（ ） A. 4m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是明确坡比是坡角的正切值． 根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ． 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 9. 已知关于x的二次函数的图像与x轴总有交点，则实数m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4且m≠﹣3 B. m≥﹣4且m≠﹣3 C. m＞﹣4 D. m≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】把求二次函数与x轴交点的问题转化成一元二次方程解的问题来求解即可． 【详解】解：∵关于x的二次函数的图像与x轴总有交点， ∴△= = =≥0 解得：m≥﹣4 又∵m+3≠0 ∴m≠-3 ∴实数m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，掌握相关知识是解题的关键． 10. 抛物线的与的部分对应值如下表： … 0 … … 0 3 3 … 则下列判断错误的是（ ） A. 该抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而减小 C. D. 该抛物线与轴只有一个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先根据当和当时的函数值相同，得到对称轴为直线，则由对称性可得，当时，，据此可判断D；再由增减性即可判定A、B；根据当时，，即可判断C． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴由对称性可得，当时，， ∴抛物线与轴有两个交点，故D说法错误，符合题意； ∵且， ∴在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴抛物线开口向下，故A说法正确，不符合题意 ∴当时，随的增大而减小，，故B说法正确，不符合题意 ∴当时，，故C说法正确，不符合题意； 故选：D． 11. 如图，在▱ABCD中，AEAD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是9，则△BCF的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AEF∽△CBF，又由点E是AD中点，△AEF的面积为9，即可求得△BCF的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEF∽△CBF， ∵AEAD， ∴， ∴， ∵△AEF的面积为9， ∴S△BCF＝36． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 12. 如图，有一块三角形木料，，，，工人师傅准备将其加工成如图所示的矩形，且点在上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可设，，由矩形的性质可得，，，进而得出，在由相似三角形的性质可得，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∵四边形矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 在等腰中，，、的长是关于的方程的两根，则的值是_______． 【答案】24或25##25或24 【解析】 【分析】等腰中，可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．当是底边时，，则方程有两个相等的实根，即，即可得到关于的方程，求得的值；当是腰时，则方程一定有一个解是，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边即底边，与的值． 【详解】解：在方程中，， 当这两边是等腰三角形的腰时，有， ∴， 当有两个边的长都为4时，有， ∴， ， ∴或25． 故答案为：24或25． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14. 外出旅游是假期休闲的一种方式，它可以陶冶人的情操．今年五一节期间，小明一家三口计划外出旅游，妈妈让小明从杭州、西安、北京、上海四个城市中选择两个城市，小明选择西安和上海的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明选择西安和上海的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设A、B、C、D分别表示杭州，西安，北京，上海这四个城市， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明选择西安和上海的结果数有2种， ∴小明选择西安和上海的概率为， 故答案为：． 15. 如图，观察二次函数的图像可知：①；②；③；④；⑤，上述判断中正确的是_____（填序号）． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图像与二次函数系数之间的关系，学会利用对称轴以及交点坐标求出二次函数系数的关系是解答本题的关键． 根据二次函数图像开口向下可判断出，根据对称轴位置判断b的取值范围，根据与y轴的交点坐标判断c的取值范围，根据二次函数图像与x轴有两个交点，可判断根判别式取值范围；根据时，， 对称轴，分别带入上述结论即可． 【详解】解：∵二次函数图像开口向上， ∴． ∵对称轴， ∴． 故①错误． ∵二次函数图像交y轴负半轴， ∴． 故②错误． ∵二次函数图像与x轴有两个交点， ∴． 故③正确． ∵由图像可知：时，， ∴． 故④正确． ∵对称轴， ∴． ∴． 故⑤错误． 故答案为：③④． 16. 如图，在中，，，．P、Q分别为、上的动点，点P从点A出发沿方向作匀速移动的同时，点Q从点B出发沿方向向点C作匀速移动，移动的速度均为，设P、Q移动的时间为t（）．（1）当时，t的值为______．（2）当的面积等于时，t的值是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）勾股定理求得，根据，，即可判断，代入比例式计算即可； （2）过点P作于E，则，则，得出，根据的面积等于，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：在中， ， ∵ ，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴，即∴， 解得：； 过点P作于E，则（如图5）， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴， ∵的面积等于， ∴， 解得：，， 故答案为：；或． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，含特殊角的三角函数值计算，熟练掌握运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （）根据二次根式的除法，乘法运算，二次根式的性质化简，然后合并即可； （）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学，根据“经过两节课全班49人恰好都会做这个实验了”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学， 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每个人一节课教会6名同学． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）面积是__________； （2）以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； （3）点是内的一点，则点P在内部的对应点的坐标是__________； （4）__________； （5）请用无刻度直尺在边上画一点，使得，并保留作图痕迹． 【答案】（1）4 （2） 即为所求： （3） （4） （5） 点Q即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）先画出点A、B、C三点的对应点、、，再依次连接即可； （3）由位似的性质，将的横、纵坐标乘以，即可解答； （4）过点B作于点H，由得到，，根据即可求得，再根据正弦的定义即可求解； （5）如图，取点，连接，交点Q，点Q即为所求． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与关于原点O对称，且的相似比为， ∴点P的对应点的坐标为． 故答案为：． 【小问4详解】 解：过点B作于点H， ∵， ∴， ， ∵，即， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 【小问5详解】 解：如图，取点，连接，交点Q， ∵，， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则点Q即为所求． 【点睛】本题主要考查了画位似图形，中心对称图形的坐标变化，勾股定理的应用，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中画位似图形的方法和步骤，以及相似三角形的判定及性质． 20. 如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，测得点与观测点的距离为海里． （1）如图填空： 度； （2）求观测点与之间的距离； （3）有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】（1）； （2）观测点与点之间的距离为海里； （3）救援船到达点需要的最少时间是小时． 【解析】 【分析】（）由点位于观测点的北偏西方向上，则有，再通过角度和差即可求解； （）过作于，分别在和中，解直角三角形即可求解； （）过作，交延长线于，求得四边形为矩形，在中，利用勾股定理即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 ∵点位于观测点的北偏西方向上， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， ∴（海里）， ∵， ∴（海里）， ∴（海里）． 答：观测点与点之间的距离为海里； 【小问3详解】 如图，作于点， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 在中，根据勾股定理，得 （海里）， ∴（小时）， 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 21. 如图，如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求：①抛物线的解析式；②直线的解析式； （2）求：①的面积最大值；②点E的坐标； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）① ② （2）①最大值为 ② （3）或或或 【解析】 【分析】（1）①根据待定系数法求二次函数解析式即可；②根据二次函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）①过点作轴交于，设 则，表示的面积，运用二次函数的性质求出最大值即可；②求出抛物线的对称轴，代入一次函数求出点E的坐标； （3）分三种情况进行讨论：当时；当 时；当时； 进而得出答案． 【小问1详解】 解：①将代入得: ，解得 ， ； ②令 则， 解得或 ， ∴， 设直线的解析式为代入得： ，解得 ， ； 【小问2详解】 解：①过点作轴交于， 设，则， ， ， ∴当时, 的面积有最大值，最大值为； ②抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 存在点,使得为等腰三角形，理由如下： 设, ∵点E的坐标为， ， 当时，， 解得(舍)或 ， ； 当时， ， 解得 或 ， 或 ； 当 时, 解得 ， ∴； 综上所述: 点坐标为或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合-面积问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 22. 如图1，四边形是矩形，对角线平分，点是的中点，点在线段上（不与端点重合），连接，点在边的延长线上，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）求证：； （3）的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， 又对角线平分 ， 矩形是正方形； （2） 证明：是正方形， ， ， ， 又， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先由矩形的性质得，因为平分，所以，则，即可作答． （2）根据正方形的性质，证明，结合得出，然后根据等边对等角，即可作答． （3）过点作交于点，则，根据角的等量代换得，，则是等腰直角三角形，结合勾股定理列式，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作交于点，如图， ， ． ∴ ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， ． ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题 满分：120分 时间：100分钟 考查范围：华师版九年级上册、二次函数 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 已知，则x为（ ） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞-2 B. x≥-2 C. x＜-2 D. x≤-2 3. 用配方法解一元二次方程，变形正确的是( ) A. B. C. D. 4. 若线段满足，且线段，，则线段（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，是四个全等的等腰三角形，底边，，，在同一直线上，且，，连接交于点Q，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 6. 在中，，则的值是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（ ） A. 4m B. m C. m D. m 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的二次函数的图像与x轴总有交点，则实数m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4且m≠﹣3 B. m≥﹣4且m≠﹣3 C. m＞﹣4 D. m≥﹣4 10. 抛物线的与的部分对应值如下表： … 0 … … 0 3 3 … 则下列判断错误的是（ ） A. 该抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而减小 C. D. 该抛物线与轴只有一个交点 11. 如图，在▱ABCD中，AEAD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是9，则△BCF的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 36 12. 如图，有一块三角形木料，，，，工人师傅准备将其加工成如图所示的矩形，且点在上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 在等腰中，，、的长是关于的方程的两根，则的值是_______． 14. 外出旅游是假期休闲的一种方式，它可以陶冶人的情操．今年五一节期间，小明一家三口计划外出旅游，妈妈让小明从杭州、西安、北京、上海四个城市中选择两个城市，小明选择西安和上海的概率是________． 15. 如图，观察二次函数的图像可知：①；②；③；④；⑤，上述判断中正确的是_____（填序号）． 16. 如图，在中，，，．P、Q分别为、上的动点，点P从点A出发沿方向作匀速移动的同时，点Q从点B出发沿方向向点C作匀速移动，移动的速度均为，设P、Q移动的时间为t（）．（1）当时，t的值为______．（2）当的面积等于时，t的值是______． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）面积是__________； （2）以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； （3）点是内的一点，则点P在内部的对应点的坐标是__________； （4）__________； （5）请用无刻度直尺在边上画一点，使得，并保留作图痕迹． 20. 如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，测得点与观测点的距离为海里． （1）如图填空： 度； （2）求观测点与之间的距离； （3）有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 21. 如图，如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求：①抛物线的解析式；②直线的解析式； （2）求：①的面积最大值；②点E的坐标； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图1，四边形是矩形，对角线平分，点是的中点，点在线段上（不与端点重合），连接，点在边的延长线上，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）求证：； （3）的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $