重庆市徐悲鸿中学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3 3．点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2） 4．下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3 5．如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2，直接判定△ABD≌△ACD的理由是（　　） A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS 6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 8．要使（x2+ax+1）（x﹣2）的结果中不含x2项，则a为（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 9．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　　） A．AD+BC＝AB B．∠AOB＝90° C．与∠CBO互余的角有2个 D．点O是CD的中点 10．已知整式，其中a0为自然数，n，a1，a2，…，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．根据测算，1粒芝麻重0.000004克，数0.000004可用科学记数法表示为　 　 ． 12．已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　 　 ． 13．已知：m﹣n＝6，mn＝1，则m2+n2＝　 　 ． 14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 　 　 ． 15．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积为 　 　 ． 16．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　 　 度． 三、解答题（本题共9小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分） 17．（1）计算：； （2）化简：（x﹣1）2+x（x+2）． 18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线，分别交AB、BD、BC于点E、O、F，连接DE；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） （2）求证：DE＝BF，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵①　 　 ， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∠BOE＝∠BOF＝90° ∴在△BEO 和△BFO 中， ∴△BEO≌△BFO（③　 　 ）． ∴④　 　 ． ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴⑤　 　 ． ∴DE＝BF． 19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：DE＝DF； （2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数． 20．先化简，再求值：（2），其中a＝2． 21．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0≤x＜30 4 B 30≤x＜60 16 C 60≤x＜90 a D 90≤x＜120 b E x≥120 2 请根据图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有　 　 人，a+b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数； （3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数． 22．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE． （1）求∠DBE的大小； （2）求证：AD＝2BE． 24．“若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值” 解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340 （1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值 （2）若x满足（2015﹣x）2+（2013﹣x）2＝4032，求（2015﹣x）（2013﹣x）的值 （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值） 25．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），点D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E，点P为x轴上一动点，点P关于DE的对称点为点Q，连接DP、DQ、AQ． （1）点B的坐标为 　 　 ； （2）若点P的坐标为（﹣2，0），延长PD交AQ于点F．当PF⊥AQ时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以AP为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2025-2026学年上学期八年级期中数学 参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D A D B D C C 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此解答即可． 【解答】解：A、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形是轴对称图形，符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键． 2．使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3 【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：由分式有意义，得 x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选：A． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键． 3．点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2） 【分析】点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），然后将题目已经点的坐标代入即可求得解． 【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质，属于对一般知识性内容的考查，难度不大，学生做的时候要避免主观性失分． 4．下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3 【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可． 【解答】解：∵（a2）3＝a6， ∴选项A不符合题意； ∵a4•a2＝a6， ∴选项B不符合题意； ∵a6÷a3＝a3， ∴选项C不符合题意； ∵（ab）3＝a3b3， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 5．如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2，直接判定△ABD≌△ACD的理由是（　　） A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS 【分析】由于∠B＝∠C，∠1＝∠2，再加上公共边AD，则可根据“AAS”判断△ABD≌ACD． 【解答】解：在△ABD≌ACD中， ， ∴△ABD≌ACD（AAS）． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） 【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、是单项式乘多项式的运算，不是因式分解，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）属于因式分解，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查因式分解的定义．熟练掌握该知识点是关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC＝30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，从而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，从而得解． 【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2BC＝2×1＝2， ∵∠C＝90°，∠A＝15°， ∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键． 8．要使（x2+ax+1）（x﹣2）的结果中不含x2项，则a为（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x2项确定出a的值即可． 【解答】解：原式＝x3+（a﹣2）x2+（1﹣2a）x﹣2， 由结果中不含x2项，得到a﹣2＝0， 解得：a＝2， 故选：D． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　　） A．AD+BC＝AB B．∠AOB＝90° C．与∠CBO互余的角有2个 D．点O是CD的中点 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD＝AE，BC＝BE，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD＝OE，∠AOE＝∠AOD，同理可得OC＝OE，∠BOC＝∠BOE，然后求出∠AOB＝90°，然后对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点， ∴AD＝AE，BC＝BE， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AD+BC，故A选项结论正确； 在Rt△AOD和Rt△AOE中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）， ∴OD＝OE，∠AOE＝∠AOD， 同理可得OC＝OE，∠BOC＝∠BOE， ∴∠AOB180°＝90°，故B选项结论正确； 与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误； ∵OC＝OD＝OE， ∴点O是CD的中点，故D选项结论正确． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 10．已知整式，其中a0为自然数，n，a1，a2，…，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据题意逐项分析，对a0进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【解答】解：整式，其中a0为自然数，n，a1＝2，a2，…，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4． 当n＝1时，a0+a1＝4， 当a0＝0，a1＝4时，整式M为4x， 当a0＞0时，整式M不可能为单项式， 当n＞1时， ∵a1，a2，…，an为正整数， ∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当n＝3时，a0+a1+a2+a3＝4， 当a0＝0时，a1+a2+a3＝4， 则a1，a2，a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3， 当a0＝1时，a1+a2+a3＝3， 则a1＝a2＝a3＝1故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3， 当a0＞1时，a1+a2+a3＜3，与a1＝2，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误； ∵多项式为二次三项式， ∴n＝2， ∴a0+a1+a2＝4， 因为多项式为三项式，故a0≠0， 当a0＝1时，a1+a2＝3， 则有1+x+2x2，1+2x+x2两种， ∵，1+2x+x2＝（x+1）2＞0， ∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件， 当a0＝2时，a1+a2＝2， 则有2+x+x2一种， ∵， ∴2+x+x2满足条件， 当a0＞2时，a1+a2＜2，与a1＝2，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 故选：C． 【点评】本题综合考查了整式与配方法，正确进行计算是解题关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．根据测算，1粒芝麻重0.000004克，数0.000004可用科学记数法表示为　4×10﹣6 ． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000 004＝4×10﹣6， 故答案为：4×10﹣6． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12．已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　24　 ． 【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案． 【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝4×6 ＝24． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键． 13．已知：m﹣n＝6，mn＝1，则m2+n2＝　38　 ． 【分析】根据完全平方公式（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn即可解题． 【解答】解：∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn， ∵36＝m2+n2﹣2， ∴m2+n2＝38， 故答案为38． 【点评】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是正确运用（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn． 14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 　55°　 ． 【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE． 15．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积为 　7　 ． 【分析】先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得． 【解答】解：解不等式， 去分母得：3x﹣1≤2x+6， 移项合并同类项得：x≤7， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a， ∴a≤7； 解分式方程：， 分式方程去分母，得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2， 移项合并同类项得：3y＝a+2， 系数化为1得：， ∵分式方程有正整数解， ∴y≠2， ∴a≠4， ∵a≤7， ∴满足条件的整数a可以取7，1， 其积为7×1＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点． 16．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　30　 度． 【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题． 【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH． ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH， ∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°， ∵AM＝CN，AB＝BC＝CH， ∴△ABM≌△CHN（SAS）， ∴BM＝HN， ∵BN+HN≥BH， ∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵△ABM≌△CHN， ∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠DBM＝15°， ∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°， ∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°， 故答案为30． 【点评】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题共9小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分） 17．（1）计算：； （2）化简：（x﹣1）2+x（x+2）． 【分析】（1）利用绝对值的性质，零指数幂，负整数幂计算后再算加减即可； （2）利用完全平方公式，单项式乘多项式计算后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣1+2 ＝1+2 ＝3； （2）原式＝x2﹣2x+1+x2+2x ＝2x2+1． 【点评】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线，分别交AB、BD、BC于点E、O、F，连接DE；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） （2）求证：DE＝BF，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵①BD平分∠ABC ， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∠BOE＝∠BOF＝90° ∴在△BEO 和△BFO 中， ∴△BEO≌△BFO（③ASA ）． ∴④BE＝BF ． ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴⑤BE＝DE ． ∴DE＝BF． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵①BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴∠BOE＝∠BOF＝90°， ∴在△BEO 和△BFO 中， ， ∴△BEO≌△BFO（③ASA）． ∴④BE＝BF． ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴⑤BE＝DE． ∴DE＝BF． 故答案为：BD平分∠ABC，ASA，BE＝BF，BE＝DE． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：DE＝DF； （2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论． （2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED与△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF； （2）解：∵∠BDE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠C＝50°， ∴∠BAC＝80°． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握． 20．先化简，再求值：（2），其中a＝2． 【分析】先将分式进行化简，然后代入值即可求解． 【解答】解：原式 • ， 当a＝2时，原式1． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简． 21．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0≤x＜30 4 B 30≤x＜60 16 C 60≤x＜90 a D 90≤x＜120 b E x≥120 2 请根据图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有　50　 人，a+b＝　28　 ，m＝　8　 ； （2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数； （3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数． 【分析】（1）根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值； （2）利用360°乘以对应的比例即可求解； （3）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解． 【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%＝50（人）， 则b＝50×16%＝8，a＝50﹣4﹣16﹣8﹣2＝20， A组所占的百分比是8%，则m＝8． a+b＝8+20＝28． 故答案为：50，28，8； （2）扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°144°； （3）每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数估计是1000560（人）． 【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【分析】（1）设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线，根据“更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入（m+5）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值，再将其代入10（m+5）+20m﹣70中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线， 根据题意得；， 解得：． 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线； （2）设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入（m+5）万元， 根据题意得：， 解得：m＝45， 经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意， ∴10（m+5）+20m﹣70＝10×（45+5）+20×45﹣70＝1330． 答：还需投入1330万元资金更新生产线的设备． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE． （1）求∠DBE的大小； （2）求证：AD＝2BE． 【分析】（1）求出∠CAD，再证明∠DBE＝∠CAD即可． （2）先证明△AEB≌△AEG，推出BE＝EG，再证明△ACD≌△BCG，推出AD＝BG，由此即可证明． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝45°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAD∠BAC＝22.5°， ∵AE⊥BE， ∴∠BED＝90°， ∴∠ACD＝∠BED＝90°，∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠CAD＝22.5°． （2）延长AC、BE交于点G． ∵AE⊥BG， ∴∠AEB＝∠AEG＝90°， 在△AEB和△AEG中， ， ∴△AEB≌△AEG， ∴BE＝EG， 在△ACD和△BCG中， ， ∴△ACD≌△BCG， ∴AD＝BG＝2BE， ∴AD＝2BE． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 24．“若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值” 解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340 （1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值 （2）若x满足（2015﹣x）2+（2013﹣x）2＝4032，求（2015﹣x）（2013﹣x）的值 （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值） 【分析】（1）根据举例进行解答即可； （2）设（2015﹣x）＝c，（2013﹣x）＝d，则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2＝c2+d2＝4032，c﹣d＝（2015﹣x）﹣（2013﹣x）＝2，所以2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4032﹣22＝4028，可得cd＝2014，即可解答； （3）根据正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，所以DE＝（x﹣10），DG＝x﹣20，得到（x﹣10）（x﹣20）＝500，设（x﹣10）＝a，（x﹣20）＝b，从而得到ab＝500，a﹣b＝（x﹣10）﹣（x﹣20）＝10，根据举例求出a2+b2，即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：（1）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n， 则（30﹣x）（x﹣20）＝mn＝﹣10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10， ∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣10）2﹣2×（﹣10）＝120； （2）设（2015﹣x）＝c，（2013﹣x）＝d， 则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2＝c2+d2＝4032，c﹣d＝（2015﹣x）﹣（2013﹣x）＝2， 2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4032﹣22＝4028， cd＝2014， ∴（2015﹣x）（2013﹣x）＝cd＝2014． （3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20， ∴DE＝（x﹣10），DG＝x﹣20， ∴（x﹣10）（x﹣20）＝500， 设（x﹣10）＝a，（x﹣20）＝b， ∴ab＝500，a﹣b＝（x﹣10）﹣（x﹣20）＝10， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝102+2×500＝1100， ∴阴影部分的面积为：a2+b2+2ab＝1100+2×500＝2100． 【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化运用． 25．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），点D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E，点P为x轴上一动点，点P关于DE的对称点为点Q，连接DP、DQ、AQ． （1）点B的坐标为 　（1，0）　 ； （2）若点P的坐标为（﹣2，0），延长PD交AQ于点F．当PF⊥AQ时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以AP为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先根据∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），得AC＝BC＝5，OC＝6，进而得OB＝OC﹣BC＝1，据此可得点B的坐标； （2）设PF于AC交于点H，先证∠DAQ＝∠ADQ，从而得AQ＝DQ＝PD，进而可证△ACQ和△PED全等，从而得AC＝PE＝5，然后根据点P（﹣2，0），点B（1，0），得OP＝2，OB＝1，则OE＝PE＝OP＝3，BE＝OE﹣OB＝2，最后证△BDE为等腰直角三角形，得DE＝BE＝2，据此可得点D的坐标； （3）过点A作AN⊥OM轴于点N，证△POM和△MNA全等，得OP＝MN，OM＝AN，再证四边形ACON为矩形，得AN＝6，ON＝5，由此可求出OP＝MN＝OM﹣ON＝1，据此可得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5）， ∴AC＝BC＝5，OC＝6， ∴OB＝OC﹣BC＝6﹣5＝1， ∴点B的坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）． （2）设PF于AC交于点H，如图1所示： ∵PF⊥AQ，∠ACB＝90°， ∵∠CAQ+∠AHF＝90°，∠1+∠3＝90°， 又∵∠AHF＝∠3， ∴∠CAQ＝∠1， ∵点P，Q关于DE对称， ∴PD＝DQ， ∴∠1＝∠2， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴∠DAQ＝∠BAC+∠CAQ＝45°+∠1， ∵∠ADQ＝∠ABC+∠2＝45°+∠1， ∴∠DAQ＝∠ADQ， ∴AQ＝DQ， ∴AQ＝PD， ∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴∠QCA＝∠DEP＝90°， 在△ACQ和△PED中， ， ∴△ACQ≌△PED（AAS）， ∴AC＝PE＝5， ∵点P（﹣2，0），点B（1，0）， ∴OP＝2，OB＝1， ∴OE＝PE＝OP＝5﹣2＝3， ∴BE＝OE﹣OB＝3﹣1＝2， ∵DE⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴DE＝BE＝2， ∴点D的坐标为（3，2）； （3）存在． ∵点M在y轴上， ∴有以下两种情况讨论如： ①当点M在y轴的正半轴上时， 过点A作AN⊥OM轴于点N，如图2所示： ∵△AMP是以AP为斜边的等腰直角三角形， ∴PM＝AM，∠AMP＝90°， ∴∠AMN+∠PMO＝90°， ∵AN⊥OM， ∴∠MAN+∠AMN＝90°， ∴∠PMO＝∠MAN， ∵AN⊥OM，PO⊥OM， ∴∠POM＝∠MNA＝90°， 在△POM和△MNA中， ， ∴△POM≌△MNA（AAS）， ∴OP＝MN，OM＝AN， ∵∠ACB＝90°，∠CON＝90°，AN⊥OM， ∴四边形ACON为矩形， 又∵点A（6，5）， ∴AN＝6，ON＝5， ∴OM＝AN＝6， ∴OP＝MN＝OM﹣ON＝6﹣5＝1， ∴点P的坐标为（﹣1，0）． ②当点M在y轴的正半轴上时， 过点A作AN⊥OM轴于点N，如图3所示： 同理可证：OM＝AN＝6，ON＝5， ∴OP＝MN＝OM+ON＝6+5＝11， ∴点P的坐标为（﹣11，0）． 综上所述：点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣11，0）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页（共1页） 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