精品解析：河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2025-2026学年高二上学期学业水平模拟数学试卷

长葛市第三实验高级中学2025-2026学年第一学期学业水平模拟试卷高二数学 一、单选题（每题3分，共15题） 1. 已知全集，，，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将全集进行化简，依次求出选项中的元素，即可得出答案. 【详解】由题可得，全集 对于选项A，，不符合题意； 对于选项B，，，不符合题意； 对于选项C，，不符合题意； 对于选项D，，符合题意； 故选：D. 2. 设，“复数是纯虚数”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充分必要条件； D. 既不充分也不必要条件. 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是， 故选：D 4. 已知函数的图象过点（8，3），则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：A. 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据解析式判断函数的单调性，再由零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由在上单调递增，而， 所以零点所在区间是. 故选：B 7. 下列函数中是奇函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 该函数是非奇非偶函数且在上为增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为，， 该函数为偶函数，当时，，故该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， 且满足，因此为奇函数，且在上为增函数，C满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 该函数在上为减函数，在上为增函数，D不满足要求. 故选：C. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，分别解不等式，即可求得答案. 【详解】当时，，令，即， 解得或，结合可知，此时； 当时，，令，解得， 综合上可知不等式的解集为， 故选：C 9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 10. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，结合两角和公式运算求解. 【详解】因为， 所以原式. 故选：A. 11. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解单调递减区间. 【详解】由题意函数的图象向左平移个单位长度后，得到 ， 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数 ， 的一个单调递减区间， 解得，当时，在上单调递减. 故选：B. 12. 一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对边的长为8，那么30º角所对边的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 用正弦定理即可求出 【详解】设30º角所对边的长为 由正弦定理得： 解得： 故选：B 【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单. 13. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】由题意，得，故. 故选:C 14. 若，，，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号， 故选：D 15. 在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解异面直线所成角的余弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 则 , 设异面直线与所成的角为，则， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共5题） 16. 某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先假设圆锥的高为，半径为，母线长为，利用体积公式求出半径，再利用高为，半径为，母线长为三者间的关系求出母线长，最后利用侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的高为，半径为 ,母线长为 ，则，得到； 母线长为 则该圆锥的侧面积是 故答案为： 17. 一个布袋中装有1个红球、2个黄球和3个蓝球，这6个球除颜色外完全相同，先从布袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图进行求解即可． 【详解】如图： 取两次球，总共36种情况，其中两次摸出的球颜色相同的有14种， 故概率为． 故答案为：． 18. 复数满足，则__. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】由 得 ，. 故答案为：. 19. 某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量_____. 【答案】12 【解析】 【分析】由分层抽样比相同即可求解. 【详解】由题意，得. 故答案为：12 20. 设，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方，结合平方关系计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 三、解答题（每题10分，共4题） 21. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】21. 22. 【解析】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【小问1详解】 ，可得 又 【小问2详解】 由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 22. 如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明: 因为，，平面， 所以平面. （2）20 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 23. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）300人 （3） 【解析】 【分析】（1）由所有频率之和为1求解； （2）由年龄在内的频率计算求解； （3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【小问1详解】 由题可知组距为， 则： 解得：. 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为： 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人. 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为： . 24. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为 ，且，              则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得，                               所以所求实数的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长葛市第三实验高级中学2025-2026学年第一学期学业水平模拟试卷高二数学 一、单选题（每题3分，共15题） 1. 已知全集，，，那么是（ ） A. B. C. D. 2. 设，“复数是纯虚数”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充分必要条件； D. 既不充分也不必要条件. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象过点（8，3），则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中是奇函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. （ ） A. B. C. D. 11. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 12. 一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对边的长为8，那么30º角所对边的长为（ ） A. 4 B. C. D. 13. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 14. 若，，，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 18 15. 在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共5题） 16. 某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是___________. 17. 一个布袋中装有1个红球、2个黄球和3个蓝球，这6个球除颜色外完全相同，先从布袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是___________． 18. 复数满足，则__. 19. 某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量_____. 20. 设，则___________ 三、解答题（每题10分，共4题） 21. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 22. 如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 23. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 24. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $