4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、等比中项及通项公式，通过类比等差数列，结合古巴比伦泥版数列、庄子“一尺之棰”、细菌分裂等现实情境导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生发现数量关系。 其亮点在于以多情境素材培养数学眼光，通过迭代法累乘法推导通项公式发展数学思维，课堂小结用表格对比等差数列与等比数列强化数学语言。例如复利计算情境让学生抽象数列模型，典例分析中用等比中项法求第5项展示思维多样性。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并理解其与函数的关系.(重点) 4.正确判断并证明一个数列是等比数列.(难点) 刘雨萌 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ l 导语 请看下面几个问题中的数列. 刘雨萌 新知探究 情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ，， ① ，，， ② ，，，. ③ 情境2：《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 情境3：在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是，， ⑤ 情境4：某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 . ⑥ 刘雨萌 l l 问题1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律. 如果用表示数列①，那么有 这表明，数列①有这样的规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9. 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律. 新知探究 刘雨萌 思考：等比数列是如何定义的？对比等差数列概念有何异同？  1.等比数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等差数列的公比，公比通常用字母表示. 等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的每一项和公比都不为0. 常数列一定是等差数列，公差为0； 非零常数列是等比数列，公比为1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. 知识梳理 刘雨萌 2.等比数列的符号表示： 等差数列的符号表示： 为等比数列 刘雨萌 典例分析 学习笔记21页例1 判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； 不是等比数列； (2)，，，，…； 是等比数列，公比为； (3)1，0，1，0，1，0，…； 不是等比数列； (4)1，-4，16，-64，256，…. 是等比数列，公比为-4. 判断一个数列是不是等比数列的方法：验证，…是否等于同一常数. 刘雨萌 学习笔记22页跟踪训练1 (多选)以下条件中，不能判定数列是等比数列的有 A.数列1，2，6，18，… B.数列{an}满足=2，=2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列{an}中，=q(q≠0)，其中n∈N* 跟踪训练 √ √ √ A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列； B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； C中，当a=0时，不是等比数列； D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 刘雨萌 问题二：等比中项如何定义？任意两个实数都有等比中项吗？  如果三个数a, G, b组成 ， 那么G叫做a和b的 . 等比数列 等比中项 等比中项定义： 如果有，有几个？  若a，b异号（或有数为0）则无等比中项. 若a，b同号(且均不为0)则有两个等比中项. 与的等比中项即 一个等比数列从第2项起， 每一项an是它的前一项an－1与后一项an+1的等比中项. 刘雨萌 知识梳理 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，此时， . 等比中项 G2=ab 注： (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 刘雨萌 典例分析 (课本29页例1) 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 方法一　由a4=48，a6=12，得 ②的两边分别除以①的两边，得q2=. 解得q=或-. 把q=代入①，得a1=384.此时a5=a1q4=384×=24. 把q=-代入①，得a1=-384.此时a5=a1q4=-384×=-24. 因此，{an}的第5项是24或-24. 作比消元 刘雨萌 (课本29页例1) 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 典例分析 方法二　因为a5是a4与a6的等比中项，所以=a4a6=48×12=576. 所以a5=±=±24. 因此，{an}的第5项是24或-24. 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记22页例2 -2和+2的等差中项与等比中项分别为 A.，±2 B.2，±C.，±1 D.1，± √ -2和+2的等差中项为=， -2和+2的等比中项为±=±1. 跟踪训练2 在等差数列{an}中，a3=0.如果ak是a6与ak+6的等比中项，那么k=　. 9 设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3=a1+2d=0，∴a1=-2d.又∵ak是a6与ak+6的等比中项，∴=a6ak+6，即[a1+(k-1)d]2=(a1+5d)·[a1+(k+5)d]，即[(k-3)d]2=3d·(k+3)d，解得k=9或k=0(舍去). 刘雨萌 问题三：如何推导等比数列通项公式？  迭 代 法 累乘 法 不完全归纳法 a2= a1q a3= a2q = a1q2 a4= a3q= a1q3 an= a1qn-1 (n≥2). n=1 时也成立 an= a1qn-1 (n∈N*) an= a1qn-1 (n∈N*)是一个指数型函数 a1, q, n, an知三求一 刘雨萌 l l 类比于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数 ()当时的函数值，即(如图所示). 反之，任给函数(为常数，，，且)，则，，，，构成一个等比数列，其首项为，公比为. 问题四：观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 刘雨萌 l l 思考：类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性. 指数函数的单调性 单调递减 单调递增   等比数列的单调性 单调递减 单调递增 不变 等比数列的 单调性 单调递减 单调递增 不变 单调递增 单调递减 不变 问题五：等比数列一定具有单调性吗？  刘雨萌 知识梳理 1.首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an= . 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即 . (2)任给函数f(x)=kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . a1qn-1 an=f(n) ka a 刘雨萌 (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q=1时，数列{an}为常数列. (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列，奇数项符号相同，偶数项符号相同. 知识梳理 刘雨萌 典例分析 学习笔记22页例3 　在等比数列{an}中： (1)a1=1，a4=8，求an； 设{an}的公比为q，因为a4=a1q3，所以8=q3，所以q=2，所以an=a1qn-1=2n-1. (2)a4=625，q=5，求a1； a1===5，故a1=5. (3)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 设{an}的公比为q， 因为 由，得q=，从而a1=32. 又an=1，所以32×=1，即26-n=20，故n=6. 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记23页跟踪训练3 若一数列为a-6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2 022是这个数列的 A.不在此数列中 B.第337项 C.第338项 D.第339项 √ 数列为a-6，1，a6，a12，a18，…，记此数列为{bn}，则它是首项为a-6，公比为a6的等比数列，于是得数列{bn}的通项为bn=a-6·(a6)n-1=a6n-12，由6n-12=2 022得n=339，所以a2 022是这个数列的第339项. 刘雨萌 问题六：类比等差数列证明的常用方法，等比数列证明方法有哪些？  判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：= (n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：=_______(n∈N*且n≥2，an≠0). (3)通项公式法：an=______=·qn=A·qn(A≠0). q an-1an+1 a1qn-1 刘雨萌 典例分析 例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(an-1)(n∈N*). (1)求a1，a2； 由S1=(a1-1)，得a1=(a1-1)，所以a1=-. 又S2=(a2-1)，即a1+a2=(a2-1)，得a2=. (2)求证：数列{an}是等比数列. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)， 得=-.又a1=-， 所以{an}是首项为-，公比为-的等比数列. 刘雨萌 跟踪训练4 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3，…).证明：数列是等比数列. 由a1=1，an+1=Sn，得an>0，Sn>0. 由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn， 得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)， 整理，得nSn+1=2(n+1)Sn， 所以=2·=2. 因为==1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 刘雨萌 等差数列 等比数列 通项公式 推导方法 累加法 累乘法 迭代法（不完全归纳法） 定义式 公差/公比 通项公式 等差/比中项 公差d可正、可负、可为零 公比q可正、可负、不可为零 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.已知等比数列{an}的通项公式an=-2×3n，则数列{an}的公比为 A.3 B.2 C.-3 D.-6 √ 因为{an}为等比数列且通项公式为an=-2×3n，所以公比q===3. 2.(多选)已知a是1，2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab等于 A.6 B.12 C.-6 D.-12 √ √ 3.在递减等比数列{an}中，若a3=1，a2+a4=，则a1等于 A.9 B.3 C. D. √ 4.已知正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q=　. 3 刘雨萌 1.基础性作业 课本P31 1，2，3，4 课本P40 习题4.3 第1题（其中（1）改为求q与an） 课本P55 8（2） 2.拓展性作业 练透97页作业7 1-10必做，11-14选做，15拓展研究 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 $