精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角大小不可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 已知点,,,是坐标原点，若,在上的投影向量相等，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 6 5. 设，则是的（ ）条件． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，满足，且，则有序实数组可能是（ ） A B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若曲线与恰有一个交点，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面满足，直线满足，且与不重合，则下列结论正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为 D. 点是所在平面内任一点，若，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 13. 方程的实数解的个数为__________． 14. 已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，是函数（，）的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. （1）求解析式； （2）若在区间上有且仅有2个零点，求m的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，，分别为，中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求点到平面的距离. 17. 设数列前n项和为，已知． （1）求的值和数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，求证：． 18. 已知函数. （1）若，且是增函数，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当成立，求b的取值范围. 19. 如图，已知点，，，在球的同一大圆上，点，，，，在球的另外一个大圆上，其中，为球的直径，大圆面，，，，连接，，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，是否存在这样的，使得平面与平面夹角的余弦值小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】图中阴影部分表示，先求出集合，然后计算即可. 【详解】由图中阴影部分表示， 因为或， 所以， 故选：C. 2. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下： 由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下： 由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下： 由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 3. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，则轴为该函数图象的一条对称轴； 由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数的图象， 则是函数的一个对称中心. 所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心， 由，则，所以. 故选：D. 4. 已知点,,,是坐标原点，若,在上投影向量相等，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】运用投影向量的公式进行计算. 【详解】 则在上的投影向量为， 在上的投影向量为. 所以由题得，解得. 故选：C. 5. 设，则是的（ ）条件． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取，则，；当时，，根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设，，取，则，， 所以得不到； 当时，即， ， 所以能得到, 综上所述：是的必要不充分条件. 故选：B 6. 若，，满足，且，则有序实数组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令且，应用指数、对数关系及换底公式、对数运算性质有，即可得. 【详解】令且，则， 所以，则， 结合各选项知、、不符合，符合. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由、可得，根据同角的平方关系、商数关系和两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 则. 由， 得. 故选：C 8. 设函数，若曲线与恰有一个交点，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，即，令，由均为偶函数，则交点在轴上，得出，即可求得，再验证只有一个交点即可. 【详解】令，即，可得， 令， 由于均为偶函数，且两曲线只有一个交点，所以该交点只能在轴上， 可得，即，解得． 若，令，可得， 设，则， 又设，则， 即函数单调递增， 又，所以时，；时，， 所以，当且仅当时，取得最小值为， 即方程有一个解，所以符合题意． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面满足，直线满足，且与不重合，则下列结论正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理即可判断； 对于B，根据平面与平面的位置关系即可判断； 对于C，D，根据面面垂直的性质定理即可判断； 【详解】对于A，因为，， 假设，又，则，这与题设与不重合矛盾，所以， 所以，又，， 所以由线面平行的性质定理得，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以根据平面与平面的位置关系可得，故B正确； 对于C，因为，，，， 所以根据面面垂直的性质定理可得， 又所以，故C正确； 对于D，根据面面垂直的性质定理可知，当时 ，可能，也可能，也可能相交，故D错误； 故选：ABC 10. 已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分为正偶数、为正奇数两种情况，分别化简，利用增减性将问题转化为恒成立问题，即可求出的取值范围. 【详解】当为正偶数时，，则， 因为递增数列，则对任意的正偶数恒成立， 则，解得， 当为正奇数时，，则， 因为递减数列，则对任意的正奇数恒成立， 则，解得， 所以取值范围是，故的可能取值为，． 故选：CD 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为 D. 点是所在平面内任一点，若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理可判断A；利用正弦定理、倍角公式、余弦函数的单调性及值域可判断B；在上取点，使得，取中点为，设直线交于点，设，利用三点共线的性质及三角形面积关系可判断C；取中点为，连接，利用向量的数量积运算及线性运算求解可判断D. 【详解】对于A：，由正弦定理得， 故或， 当时，因为，所以， 但，故，所以不符合要求，所以，故A正确； 对于B：由知，，， 其中， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故B正确； 对于C：在上取点，使得，取中点为， 则，设直线交于点，设， 所以，即， 因为三点共线，所以，解得， 所以，所以与的面积比为，故C错误； 对于D：取中点为，连接，则，且， 则， 由于点是所在平面内的任一点，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题证明方法，构造函数，根据定义域，对函数解析式进行参变分离，求出参数范围. 【详解】设， ，即，在上有解， 则，由变形得， 当时，，根据有解，得. 故答案为：. 13. 方程的实数解的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，则方程的实数解个数等价于的实数根个数，借助导数求出函数的单调性，即可得出结果. 【详解】设， 因为 ，所以是偶函数， 当时， 因为，所以时，恒成立. 因此，在上单调递增. 因为； . 由单调性可知，在上有且仅有一个零点. 因为是偶函数，图像关于轴对称， 所以时也有一个零点. 因此共有个实数根. 综上，方程的实数解个数为. 故答案为： 14. 已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】设BC的中点为O. 因为动点满足，所以, 即点P落在以O为球心，以为半径的球上. 因, 所以. 因为正四面体的棱长为， 所以， 在三角形中，,. 取AD的中点为E,OE⊥AD， 所以在上的投影向量的模为， 所以. 设， 所以. 因为， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，是函数（，）的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. （1）求的解析式； （2）若在区间上有且仅有2个零点，求m的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）答案详见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）可选择条件①与条件②，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件②，由极值点定义计算可得；或条件①与条件③，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件③计算可得；不能选择条件②与条件③，结合极值点定义计算可得，但使用条件③时会导致多解； （2）结合正弦型函数性质计算即可得. 【小问1详解】 ； 若：选择条件①：与条件②：： 由，则的最小正周期，则，即； 由为极值点，可得， 则，则，又，则， 故； 若：选择条件①：与条件③：： 由，则的最小正周期，则，即； 又，则，即， 故； 不能选择条件②与条件③，理由如下： 若：选择条件②：与条件③：： 由为极值点，可得， 则，则，又，则， 由，则，有， 故或，， 则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一； 【小问2详解】 当时，， 由在区间上有且仅有2个零点， 则，解得. 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出方向向量及法向量，利用空间向量夹角公式即可得解． （3）求出的坐标，再利用求解即可. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点， ， 又在平面，在平面 平面； （2）如图建立空间直角坐标系，因为， 则，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，， 设平面的法向量为，则，可取， 设直线与平面所成角为，则 (3)求得 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 17. 设数列的前n项和为，已知． （1）求的值和数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）； ， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推关系求出，再给出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而写出数列的通项公式； （2），由裂项相消法求出前n项和为，即可求证． 【小问1详解】 数列中，， 当时，，而，则； 当时，，所以． ， 当时，， 两式相减，得， 即，整理，得． 又因为， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即． 【小问2详解】 因为， 所以 18. 已知函数. （1）若，且是增函数，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当成立，求b的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析可知，求出可求的最小值； （2）根据题意可证，即可得结果； （3）分析可知为的一个解，即可得，结合对称性可知原题意等价于在内恒成立，设，构建函数，可得在上恒成立，求导，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 若时，， 可知的定义域为，且， 若是增函数，即在内恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 即，则，解得， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为的定义域为， 且， 所以图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当成立， 结合（2）所得对称中心，知为的一个解， 即，可得，关于点对称， 根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立， 即为在上恒成立， 设，则，得上恒成立， 设，可知在上恒成立， 则， 因为，则，可得， 当，， 故恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意； 当，当时，， 可知在内单调递减，故，不合题意； 综上所述：b的取值范围为. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 19. 如图，已知点，，，在球的同一大圆上，点，，，，在球的另外一个大圆上，其中，为球的直径，大圆面，，，，连接，，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，是否存在这样的，使得平面与平面夹角的余弦值小于. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直，再利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）利用空间向量求二面角的三角函数值，再转化为二次不等式能成立的问题求解. 【小问1详解】 因为，大圆面，故可以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系. 不妨设，则，，， 因为，所以. 因为，所以，所以，， 因为，所以. 又大圆面，平面，所以， 平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 当时，. 又，为中点，所以，， 所以. 设平面的法向量为， 则 ，令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则. 【小问3详解】 当，时，，此时， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设平面的法向量为，， 则，令，可得. 所以. 由. 对方程，因为，所以方程有两个不等实根， 设为，，则，，所以，. 而，所以，所以不等式对恒成立. 即不存在，使得平面与平面夹角的余弦值小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $