精品解析：江苏省南京市2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学模拟试卷

2025-2026学年江苏省南京市九年级（上）第二次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知中，，若以点A为圆心，以为半径作圆，则点C在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 内或外 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：点和圆有三种位置关系：在圆内、在圆外、在圆上．用和的半径比较即可得出结果． 【详解】解：中，， 以点为圆心，长为半径作圆， 点在上， 故选：B． 2. 若二次函数有最大值，则“”中可填的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 先设处为，然后根据二次函数的性质得，最后根据可得中可填的数是． 【详解】解：设处为，由题意得二次函数为， ∵二次函数有最大值， ∴二次函数的图象开口向下即， ， ∴可以是， ∴中可填的数是． 故选：D． 3. 一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是（ ） A. 极差是12 B. 众数是9 C. 中位数是7 D. 平均数是8 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 【详解】解：∵7，5，9，3，9，15这组数据的最大值是15最小值是3 ∴这组数据的极差是：15﹣3＝12， 选项A正确，不符合题意； ∵这组数据中9出现了2次，最多， ∴众数为9， ∴选项B确，不符合题意； ∵7，5，9，3，9，15这组数据排列顺序后是：3，5，7，9，9，15， ∴这组数据的中位数是 ∴选项C不正确，符合题意； 这组数据的平均数是： ． ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4. 如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后得到，，证明出，是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A是优弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是圆的直径， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴圆的直径为， ∴圆的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，勾股定理等知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 5. 如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 在二次函数中，与的部分对应值如下表所示： 则下列结论： ①图象的顶点坐标是； ②在的范围内，随的增大而增大； ③； ④是方程的一个根． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，根据解析式判定各项式子的关系是关键． 利用表中点求二次函数解析式，得，再逐一验证各结论． 【详解】解：∵ 时，， ∴， ∵ 时，， ∴，代入得， ∵时，， ∴ ，代入得 ， 联立方程组得，， 解得， ∴ 二次函数为， ① 顶点横坐标，纵坐标， ∴顶点为，故错误； ② ∵，对称轴 ，在 时y随x增大而增大，包含在内，故正确； ③ ，故正确； ④ 方程化为， 整理得，， 因式分解得 ， 解得， 或， ∴是方程的根，正确； ∴ 正确结论为②③④， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，共20分． 7. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，直接应用公式底面半径母线长求解． 【详解】圆锥的侧面积． 故答案为． 8. 已知二次函数图象的顶点在y轴上，则k的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确在轴上的点的横坐标都为0． 根据二次函数的图象的顶点在轴上，可知该函数图象顶点的横坐标为0，然后即可求得的值． 【详解】解：二次函数的图象的顶点在轴上， ， 解得， 故答案为：0． 9. 若函数的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是_____． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当时，是二次函数， ∵函数与x轴有一个公共点， ∴， ∴． 故答案为：或4． 10. 关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据得到，得到，根据三角形的内角和列式计算即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，， 度数为， 故答案为：． 12. 若二次函数的最大值是2024，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数得最值，先根据已知二次函数的最大值求出a、b的相关关系，再分析所求二次函数的最值． 【详解】解：∵对于二次函数，其最大值为2024，二次函数有最大值， ∴， 二次函数得顶点纵坐标公式为，， ∴，即， 等式两边同时乘以得：， 移项可得，即， ， ∵， ∴，该二次函数图象开口向上，有最小值， 根据二次函数顶点纵坐标公式（这里中，，，，最小值为， 化简得，， ∵， ∴． 故答案：． 13. 如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积公式．通过分析点C运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积． 【详解】解：已知为半圆的直径，， ∴半圆的半径为1， ∵是等腰直角三角形，且为高， ∴，， 将点的运动转化为旋转轨迹分析：点D是点A绕点C逆时针旋转的结果，点E是点A绕点C顺时针旋转的结果， 当点C在半圆上从A运动到B时： 点D的轨迹：将原半圆绕点A逆时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 点E的轨迹：将原半圆绕点A顺时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 当点沿半圆从运动到点时，可知扫过的面积是一个半圆的面积， 即、各扫过的面积是一个半圆的面积， 即线段扫过的面积是一个半径为1的圆的面积，即． 故答案为：． 14. 如图所示，半径为1的圆心角为 的扇形纸片 在直线 上向右做无滑动的滚动. 且滚动至扇形 处，则顶点 所经过的路线总长是_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O到所经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当切直线l于点B时，有，此时O点绕不动点B转过了； 第二段：到，O点绕动点转动，而这一过程中始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长的弧长； 第三段：到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了． 所以，O点经过的路线总长． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的交于点E，则长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接、、，由为直径可得，则，最后由可得当三点共线时最小，再计算即可． 【详解】解：取中点，连接、、， ∵为直径， ∴， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴在中， ∵中， ∴当三点共线时最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆直径所对圆周角90度，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形三边关系等知识点，解题的关键是确定什么时候最小． 16. 已知二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为，点与点关于对称轴对称，直线与轴交于点，直线与直线交于点，当点在第一象限，且时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，正切的定义，得出是解题的关键． 根据题干描述得出，则，根据得出，作于点G，设，根据，进而即可求解． 【详解】解：， 令，解得， ， ， 对称轴为直线， ，， 点与点关于对称轴对称， ， ， ，， ， 如图所示， 作于点G，则是等腰直角三角形， 设， ， 点与点关于对称轴对称， ， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可； （2）先展开方程，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 四、解答题：本题共11小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为．求b，c的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，考虑平移后的顶点坐标，逆推出原抛物线的顶点坐标，即可求出解析式． 把平移后的抛物线顶点向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移5个单位长度后得到原抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出原抛物线相应的函数表达式． 【详解】解：把点向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为， 即二次函数图象的顶点坐标为， 所以原抛物线相应的函数表达式为，即． ∴． 19. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ①____________ 乙 丙 ②____________ （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则____________．（填“”或“”或“”） 【答案】（1）①9；②8.8 （2）选甲，方差最小最稳定 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． （1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， 甲得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为， 故答案为：9，； 【小问2详解】 解：选甲更合适． 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差为， ， 故答案为：． 20. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【小问1详解】 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为. 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 21. 如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切． 要求：（1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：过点A作l的垂线，垂足为P．作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O．方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线．过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O． 【详解】方法一：过点A作l的垂线，垂足为P． 作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O． 以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O． 方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线． 过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O． 以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O． 【点睛】本题主要考查了利用尺规作图画圆，熟练掌握线段垂直平分线性质，切线的性质是解题的关键． 22. 已知二次函数（a为常数，且）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点，在函数图象上，比较与的大小； （3）若点，在二次函数的图象上，且，则a的取值范围是______． 【答案】（1）证明见解析 （2）当或时，；当时，；当时， （3）或 【解析】 【分析】（1）令，则，解得，，再根据可得，于是可知方程有两个不相等实数根，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）将，代入，得，，进而可得，然后分类讨论即可解答； （3）将，代入，得，，进而可得，由可得，然后分四种情况讨论，分别求解一元一次不等式组，汇总即可得出的取值范围． 【小问1详解】 证明：令，则， 或， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与轴总有两个公共点； 【小问2详解】 解：点，在函数图象上， 当时，， 当时，， ， 当或时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 【小问3详解】 解：点，在二次函数的图象上， 当时，， 当时，， ， ， ， ， ， 分四种情况讨论： ， 该不等式组无解； ， 该不等式组无解； ， 解得：； ， 解得：； 综上，的取值范围是：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，因式分解法解一元二次方程，不等式的性质，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，有理数乘法运算律，解一元一次不等式组等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 23. 为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个． （1）求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个”可得函数解析式； （2）由（1）及题意可进行求解； （3）由题意可得，然后根据（2）及二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ； 【小问2详解】 解：由（1）及题意得： ； 【小问3详解】 解：由题意可得， 解得：， 由（2）可知， ∵，即开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当x=30时，所获利润最大，最大利润为； 答：销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键． 24. 【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点． （1）　　　　，　　　　（用含有的代数式表示）； （2）求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个不同的公共点； （3）设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）2； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点与一元二次方程根的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）把，代入求解即可； （2）令，则一元二次方程为，求出的值即可解答． （3）根据解析式可得二次函数过定点或，进而分和两种情况，分别画出函数图象，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ， 解得 ， 故答案为：2，． 【小问2详解】 证明：二次函数的表达式为， 令，则一元二次方程为， 根的判别式， ∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何值，该函数图像与轴有两个公共点． 【小问3详解】 解：二次函数的表达式为，对称轴为直线 当时，则 当时，，当时， ∴二次函数过定点或 当时， ①当时，即，如图， 此时抛物线与轴的有一个交点，满足，符合题意， ②当时，如图所示，此时对称轴为， ∴抛物线与轴的有一个交点，满足，符合题意， 当时，对称轴 此时抛物线与轴有一个交点，满足，符合题意， 综上所述，的取值范围为 26. 如图，内接于，是上一点，过点作，交的延长线于点．连接、，． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，的半径为，且，则______． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，得出，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据等角对等边，即可得出结论； （2）连接并延长交于点，连接、，根据线段垂直平分线的判定定理，得出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论； （3）令与相交于点，延长交于点，连接，如图，证明，利用勾股定理表示出，即可解答． 【小问1详解】 证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接并延长交于点，连接、，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：令与相交于点，延长交于点，连接，如图， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， 在中，， ∴， 解得，， 解得，， ∴或， ，且， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等角对等边、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 27. 已知二次函数（m是常数）． （1）若该函数图象与x轴有且仅有一个公共点，则 ； （2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上； （3）是该二次函数图象上的点，当时，都有，则m的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）见详解 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数的图象与x轴交点问题. （1）函数图象与轴有有且仅有一个公共点即方程有两个相等的实数根，由判别式即可求得的值； （2）先有二次函数解析式求出顶点坐标，再把，代入直线解析式即可得证； （3）当时，都有，说明随的增大而减小，抛物线开口向下所以对称轴，要使恒成立，则，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， ，，， ， 函数图象与x轴有且仅有一个公共点， 方程有且仅有一个实数根， ，即， 解得：， 时该函数图象与轴有且仅有一个公共点； 【小问2详解】 证明：二次函数， 得顶点坐标为， 将代入得：， 不论为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上； 【小问3详解】 解：由（2）可知抛物线的顶点为，对称轴为直线， 当时，都有， 当时，随的增大而减小， 又抛物线开口向下， ，且 ∴, ∴ 解②得：或， ∴或， 综上所述：或． 故答案为：或． 28. 数学概念 经过初中的数学学习，我们知道图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离．一般地，P为图形A上任意一点，Q为图形B上任意一点，则称PQ长的最小值叫做图形A与图形B的距离，记作d（A，B）． 概念理解 （1）如图①，在四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，则d（AD，BC）是（ ）． A．AB的长 B．AE的长 C．DF的长 D．DC的长 知识运用 （2）如图②，在中，，，P是平面内的一点，． ①直接写出d（P，BC）的取值范围； ②以P为圆心，1为半径作圆，当⊙P在的内部，且与其一边相切时，求⊙P与另两边的距离． 问题解决 （3）如图③，某广场有一个边长为12m的菱形花坛，现准备绕着花坛铺设一条封闭的健身跑道，使靠近花坛的跑道内沿与花坛的距离为2m，则所铺设的健身跑道内沿的长度的最小值为________m． 【答案】（1）B；（2）①；②当⊙与AB相切时，⊙到BC的距离为，⊙到AC的距离为；当⊙与AC相切时，⊙到BC的距离为，⊙到AB的距离为；当⊙与AC相切时，⊙到AB、AC的距离为；（3）． 【解析】 【分析】（1）是AD与BC的距离； （2）分三种情况，情况一：当⊙与AB相切时；当⊙与AC相切时；当⊙与AC相切时，分别进行求解； （3）将跑道分为两个部分，分别表示出来即可求解． 【详解】（1）是AD与BC的距离， ∵，A点到BC上B点的长度最小， 故答案为：B． （2）①如图，过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当P在外部， ， 当P在外内部， ， ∴； ②情况一：当⊙与AB相切时，过作交AB于、过作交AC于M，过作交BC于、交AB于，连接，如图1： 在中， ∴ ∵是等腰直角三角形，∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴，∴ ∴，∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴⊙到BC的距离为，⊙到AC的距离为 情况二：当⊙与AC相切时，过作交AC于、过作交AB于N，过作交BC于，如图2： 同理可得：到BC的距离为， ⊙到AB的距离为 情况三：当⊙与AC相切时，过作交AB于，过作交AC于，过作交BC于，如图3： ⊙到AB、AC的距离为 （3）由图可知，菱形的长度为：， 四个角的跑道恰为一个半径为2的圆，周长为， 故健身跑道内沿的长度的最小值为． 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，属于综合题目，读懂题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市九年级（上）第二次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知中，，若以点A为圆心，以为半径作圆，则点C在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 内或外 2. 若二次函数有最大值，则“”中可填数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是（ ） A. 极差是12 B. 众数是9 C. 中位数是7 D. 平均数是8 4. 如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在二次函数中，与的部分对应值如下表所示： 则下列结论： ①图象的顶点坐标是； ②在的范围内，随的增大而增大； ③； ④是方程的一个根． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共10小题，共20分． 7. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______． 8. 已知二次函数图象的顶点在y轴上，则k的值为________． 9. 若函数的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是_____． 10. 关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 11. 如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为______． 12. 若二次函数的最大值是2024，则的最小值为______． 13. 如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是______． 14. 如图所示，半径为1的圆心角为 的扇形纸片 在直线 上向右做无滑动的滚动. 且滚动至扇形 处，则顶点 所经过的路线总长是_______. 15. 如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的交于点E，则长的最小值为______． 16. 已知二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为，点与点关于对称轴对称，直线与轴交于点，直线与直线交于点，当点在第一象限，且时，______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 四、解答题：本题共11小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为．求b，c的值． 19. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ①____________ 乙 丙 ②____________ （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则____________．（填“”或“”或“”） 20. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 21. 如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切． 要求：（1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 22. 已知二次函数（a为常数，且）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点，在函数图象上，比较与的大小； （3）若点，在二次函数的图象上，且，则a的取值范围是______． 23. 为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个． （1）求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间函数关系式； （2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 24. 【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点． （1）　　　　，　　　　（用含有的代数式表示）； （2）求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个不同的公共点； （3）设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 26. 如图，内接于，是上一点，过点作，交延长线于点．连接、，． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，的半径为，且，则______． 27. 已知二次函数（m是常数）． （1）若该函数图象与x轴有且仅有一个公共点，则 ； （2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上； （3）是该二次函数图象上的点，当时，都有，则m的取值范围是 ． 28. 数学概念 经过初中的数学学习，我们知道图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离．一般地，P为图形A上任意一点，Q为图形B上任意一点，则称PQ长的最小值叫做图形A与图形B的距离，记作d（A，B）． 概念理解 （1）如图①，在四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，则d（AD，BC）是（ ）． A．AB的长 B．AE的长 C．DF的长 D．DC的长 知识运用 （2）如图②，在中，，，P是平面内一点，． ①直接写出d（P，BC）取值范围； ②以P为圆心，1为半径作圆，当⊙P在的内部，且与其一边相切时，求⊙P与另两边的距离． 问题解决 （3）如图③，某广场有一个边长为12m的菱形花坛，现准备绕着花坛铺设一条封闭的健身跑道，使靠近花坛的跑道内沿与花坛的距离为2m，则所铺设的健身跑道内沿的长度的最小值为________m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $