4.3.2 等比数列的前n项和公式(2) 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式性质，涵盖“片段和”成等比、奇偶项和关系及S_{n+m}=S_n+q^n S_m等核心内容，通过性质证明、题型应用到实际问题解决，构建“性质-题型-应用”学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学眼光，如通过“片段和”性质推导培养推理能力，垃圾处理问题结合等比与等差数列求和体现实际建模，课堂小结梳理重难点。学生提升逻辑推理与应用能力，教师可直接使用系统题型与实例，优化教学效果。

等比数列的前n项和公式的性质 已知等比数列{an}的公比 q≠－1,前n项和为Sn , 证明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，并求这个数列的公比 性质1、“片段和”仍成等比(q≠-1) 题型一、“片段和”性质应用 B 题型一、“片段和”性质应用 变式、已知等比数列{an} 的前n项和为Sn，公比为q，若Sm=a，Sp=b，求Sm+p 题型一、“片片和”性质应用 (1){an}是公比不为－1的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(片片和仍成等比) (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm. 等比数列的前n项和性质： 思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ➱ ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ ➱ 性质2、奇数项和与偶数项和的关系 性质2、奇数项和与偶数项和的关系 题型二、性质三的应用 题型二、性质三的应用 例5 如图，正方形 的边长为，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解：设第一个正方形的面积为，后续面积依次为,,则=25, 由于第个正方形的顶点是第个正方形各边的中点，所以= 因此{} 是以25为首项，为公比的等比数列. 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 设{}的前项和为. (1)=== 所以,前10个正方形的面积之和为c. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和 而== 随着的无限增大,将趋近于0,将趋近于50. 所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 例6 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 = = =() 解：假设从今年起每年生活垃圾的总量{}，每年环保方式处理垃圾量{}， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ，则 =20, =6+1.5 当时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 例7 某牧场今年初牛的存栏数为1200, 预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 (1)写出一个递推公式, 表示与之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成 的形式, 其中, 为常数； (3)求=的值(精确到1). 分析: (1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系； (2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 (2)将 化成= ② 比较①②的系数，可得得 (3)由(2)可知，数列{-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则 = 解：(1)由题意，得并且 ① 所以，(1)中的递推公式可以 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 题型三、等比数列前n项和公式的实际应用 课堂小结 1、知识点 2、题型与方法 3、重难点、易错点 [例1]在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解　易知等比数列{an}的公比不等于－1， 因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以S3n＝eq \f(S2n－Sn2,Sn)＋S2n＝eq \f(60－482,48)＋60＝63. [训练1]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　)． A．32 B．64 C．72 D．216 解析　易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，又S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64. (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则 ①在数列{an}的前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q； ②在数列{an}的前(2n＋1)项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)． [例2]一个项数为偶数的等比数列，所有项的和为偶数项的和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． 解　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，奇数项的和、偶数项的和分别记为S奇，S偶，由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 因为数列{an}的项数为偶数， 所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(1,3). 又a1·a1q·a1q2＝64， 所以aeq \o\al(3,1)·q3＝64，解得a1＝12. 故所求通项公式为an＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*. [训练2]一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． 解　设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－q2n,1－q2)＝85，①,\f(q1－q2n,1－q2)＝170.②)) 由②÷①，得q＝2， 所以eq \f(1－4n,1－4)＝85,4n＝256，所以n＝4. 故公比为2，项数为8. [训练3]某地区为完成国家退耕还林计划，截止到2021年年底还需要退耕还林的土地面积为6370万亩，2022年该地区退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的土地面积按12%递增．试问到哪一年年底该地区才能完成退耕还林计划？(结果精确到1年)(参考数据：1.128≈2.476,1．127≈2.211,1亩≈666.7 m2)． 解　设从2023年起，每年退耕还林的土地面积(单位：万亩)依次为a1，a2，a3，…，an，…， 则a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，…，an＝515×(1＋12%)n， 令a1＋a2＋…＋an ＝eq \f(515×1＋0.121－1.12n,1－1.12)＝6370－515＝5855， 即515×1．12×(1．12n－1)＝5855×0.12， 解得1．12n≈2.218. 又因为n∈N*,1．127<2.218<1．128， 所以到2030年年底该地区才能完成退耕还林计划． $