4.3.2 等比数列的前n项和公式(2) 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式的应用，先通过复习公式、性质及“知三求二”思想搭建学习支架，再结合几何图形、生活实例展开，衔接旧知与新知，引导学生逐步掌握公式应用。 其亮点是以现实情境问题驱动教学，如正方形面积求和、垃圾处理总量计算等实例，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（运算推理）和数学语言（模型意识）。采用例题分层递进与练习结合的方法，助力学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

4.3.2 等比数列的 前n项和公式(2) 等比数列{an}的前n项和的公式： 当q=1时，Sn=na1 当q≠1时， “知三求二” (方程思想) 公式中涉及 五个量 通项公式： 注意：等比数列求和时应考虑q=1与q≠1两种情况. 复习回顾 1. 性质1： 当q≠1时， 2. 性质2： Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …也是等比数列，公比为qn. (其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …均不为0) 3. 性质3： 若项数为2n，则 等比数列前n项和的性质： 4. 性质4： 数列{an}是等比数列 (A≠0, q≠0, q≠1 ) . Sn= Aqn - A 复习回顾 例题分析 书P38 例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 由于第个正方形的顶点是第个正方形 各边的中点，所以 = 因此{}是以25为首项，为公比的等比数列 . 解：设第一个正方形的面积为，后续面积依次为,,则=25, 你能说明理由吗？ 例题分析 书P38 解:正方形的面积构成首项为25，为公比的等比数列. 设数列{}的前项和为 （1）= == 所以，前10个正方形的面积之和为c. 1. 首项? 2. 公比? 3. 问题的数学模型? 25 求前项和问题 例题分析 书P38 (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和 ， 而= = . 随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. ①25 ②25 ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 数学直观 {an}是等比数列Sn= Aqn - A 例题分析 书P38 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨). 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 例题分析 书P38 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}， n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则 = 20 (1.05+1.052+…+1.05n )(7.5+9+…+6+1.5n) 由题意可知 {an}为等比数列，a₁=20，q=1+5%，则an=20(1+5%)n， {bn}为等差数列，b₁=7.5，d=1.5，则bn=6+1.5n， 分组求和法 例题分析 书P38 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的 计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1) 写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为 常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 分析： (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立 cn+1与cn的关系； (2) 这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组； (3) 利用(2)的结论可得出解答. 例题分析 书P38 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的 计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1) 写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为 常数; 构造等比数 列法求通项 例题分析 书P38 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的 计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 练习 书P40 1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度 都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 练习 书P40 1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度 都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 练习 书P40 下课! = 当n =5时，S5 ≈ 63.5. 所以,从今年起5年内, 通过填埋方式处理的 垃圾总量约为63.5万吨. (2)将cn+1-k= r(cn-k)化为 ：cn+1=rcn-rk + k ② 比较①②的系数可得: 所以(1)中的递推公式可以化为: cn+1-1250=1.08( cn-1250) 解: (1)由题意, 得c1=1200, 并且 cn＋1＝1.08cn-100. ① ≈ 1250×10-724.3 = 11775.7 ≈ 11776. 则 (c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+ … +(c10-1250) ∴ S10 = c1+c2+c3+…+c10 = (c1+c2+c3+…+c10)-10×1250 (3) 由(2)可知 {cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列， ∵Sn = 2an+1，∴Sn+1 = 2 an+1 +1 ∴Sn+1 = 2(Sn+1 - Sn) +1 ∴2Sn =Sn+1 +1 则2Sn -2= Sn+1 -1 ∴2(Sn -1) = Sn+1 -1 ∴ =2 又∵S1 = 2 a1 +1 ∴ S1 = -1 ∴ S1-1 = -2 ， 则数列{ Sn -1}是以首项为-2,公比为2的等比数列 ∴ Sn -1=-2×2 n-1 则 Sn = -2n+1 3.已知等比数列{an}的前n项和Sn,若Sn = 2an+1,求Sn. 解: 等比数列{an}的前n项和Sn , 当n≥2时, an = Sn- Sn-1 $