4.3.2 等比数列的前n项和公式(1) 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列的前n项和公式 情景导学 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 如何解决这个问题？请你建立恰当的数学模型。 建模：求这个等比数列的前64项的和，即：=？ 探究新知 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前项 的和？ 思路一：因为 Sn＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋…＋ an－1 ＋ an， 所以 qSn ＝ a2 ＋ a3 ＋…＋ an－1 ＋ an ＋ an+1 ， 两式相减可得 Sn－qSn＝a1－ an+1 ， 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前项的和？ 上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. (1)当q＝1时，Sn＝na1. 新知探究 新知探究 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以 Sn＝a1＋qSn－1 ⇒Sn＝a1＋q(Sn－an) ⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力， 在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本， 又能使问题得到解决. 新知探究 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一 Sn＝________________ 公式二 Sn＝________________ 知识点一、等比数列的前n项和公式 知识点一、等比数列的前n项和公式 问题2　同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？ ＝18 446 744 073 709 551 615，按资料换算，总质量超过7000亿吨. 然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年. 如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 知识点一、等比数列的前n项和公式 题型一、公式的简单应用 [规律方法]　等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧． 题型一、公式的简单应用 题型一、公式的简单应用 题型一、公式的简单应用 题型二、公式的函数特征 题型二、公式的函数特征 变式、1.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝____. 题型三、利用错位相减法求前n项和 题型三、利用错位相减法求前n项和 课堂小结 1、知识点 2、题型与方法 3、重难点、易错点 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， (2)当q≠1时, Sn＝. ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念， ＝＝…＝＝q， ＝. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得： ＝q， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝， 提示　S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1 例1.已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求. [例2]数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列． － 3、若{an}是等比数列，且前n项和Sn＝3n－1＋t，则t＝　 　. －eq \f(1,3) 2.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·n－1＋5，则实数a＝_____. [例3]已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项和为eq \f(n,2n＋1). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 练习、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求an，bn； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. $