4.1～4.2 平面直角坐标系与用方向和距离确定物体的位置 讲义 2025-2026学年 浙教版八年级上册数学

该初中数学讲义通过分模块梳理构建平面直角坐标系与位置确定的知识体系，以有序数对、坐标系概念、坐标平面划分及点坐标特征为核心框架，用要点解析呈现知识脉络，突出各知识点内在联系与重难点分布，培养学生抽象能力与空间观念。 讲义亮点在于练习设计覆盖选择、填空、解答题，含坐标符号判断、最短路径等题型，通过“点在坐标轴位置”“对称点坐标”实例培养推理意识与运算能力，基础题巩固概念，综合题提升应用，助力分层教学，为教师提供精准复习方向，支持学生自主构建知识网络。

4.1-4.2 平面直角坐标系与用方向和距离确定物体的位置 一、有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 要点： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 要点：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 四、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 一、单选题 1．下列数据中不能确定物体位置的是（　　） A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西37° D．东经130°，北纬54°的城市 2．如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2， 90°），目标B的位置为（4，210°），则目标C的位置为（    ） A．（3，30°） B．（3，150°） C．（-3，30°） D．（-3，150°） 3．如果点P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，则m＝(　　) A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．0 4．已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，学校（记作A）在爱棣家（记作B）西偏南的方向上，且与爱棣家的距离是，若，且，则超市（记作C）在爱棣家的（    ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．南偏东的方向上，相距 D．东偏南的方向上，相距 6．若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知A、B两点的坐标分别是和，下列结论错误的是（    ） A．点A在第二象限 B．点B在第一象限 C．线段平行于y轴 D．点A、B之间的距离为4 9．下列说法不正确的是（    ） A．点一定在第二象限 B．点到y轴的距离为2 C．若中，则P点在x轴上 D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上 10．如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（    ） A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0） 二、填空题 11．若电影院中“5排4号”记作，则表示的意义是____________． 12．如图，点A，B的位置分别表示为，，则点C的位置表示为______． 13．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为（5,3），（6,3）（7,3）（4,1）（4,4）请你把这个英文单词写出来或者翻译中文为______． 14．若，点为平面直角坐标系中的点，则点在第_______象限． 15．点在y轴上，则点P的坐标是______． 16．已知点和点，若点在坐标轴上，且的面积为6，则点的坐标是_____ 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是______． 18．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2022次变换后所得的A点坐标是___． 三、解答题 19．如图，是光明小区内的一幢商品房的示意图．若小赵家所在的位置用表示 （1）用有序数对表示小李、小张家的位置； （2），分别表示谁家所在的位置？ 20．在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接． （1），，，； （2），，，； 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ （2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其他点的坐标呢？ （3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有怎样的位置？ 21．已知点P（8﹣2m，m+1）． (1)若点P在y轴上，求m的值． (2)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求P点的坐标． 22．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值． (2)若点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标． 23．观察如图所示象棋棋盘，回答下列问题： （1）说出“将”与“帅”的位置； （2）说出“马3进4”（即第3列的“马”前进到第4列）后的位置． 24．已知平面直角坐标系内有4个点：A(0，2)，B(-2，0)，C(1，-1)，D(3，1)． (1)在平面直角坐标系中描出这4个点； (2)顺次连接A、B、C、D组成四边形ABCD，请用两种方法求出四边形ABCD的面积． 25．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则 (1)请你直接写出的“近距”______﹔ (2)在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．若在坐标轴上存在点E，使，请求出点E的坐标： 26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)点的“短距”为3，则m的值为__________． (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 27．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0 （1）求A，B两点的坐标 （2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标 （3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1-4.2 平面直角坐标系与用方向和距离确定物体的位置 一、有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 要点： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 要点：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 四、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 一、单选题 1．下列数据中不能确定物体位置的是（　　） A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西37° D．东经130°，北纬54°的城市 【答案】C 【提示】根据以坐标确定位置需要两个数据对各选项进行判断即可． 【解答】A．电影票上的“5排8号”，位置明确，故本选项不符合题意； B．小明住在某小区3号楼7号，位置明确，故本选项不符合题意； C．南偏西37°，位置不明确，故本选项符合题意； D．东经130°，北纬54°的城市，位置明确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解答本题的关键． 2．如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2， 90°），目标B的位置为（4，210°），则目标C的位置为（    ） A．（3，30°） B．（3，150°） C．（-3，30°） D．（-3，150°） 【答案】B 【提示】根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可． 【解答】解：因为目标B的位置为（4 ，210°），目标A的位置为（2 ，90°）且C的位置在A与B的中间一环上，故由图可知，目标C的位置为（3， 150°）． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标确定位置，读懂题目信息，理解位置坐标的实际意义是解题的关键． 3．如果点P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，则m＝(　　) A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．0 【答案】A 【提示】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】由P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，得 m+1＝0． 解得：m＝﹣1， 故选A． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用x轴上点的纵坐标等于零得出关于m的方程是解题关键． 4．已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【提示】根据条件可得：a＜0，b＜0，进而即可判断点P所在的象限． 【解答】∵， ∴a，b同号， ∵， ∴a＜0，b＜0， 故P点在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，各个象限的点的坐标特征，掌握各个象限的点的坐标特征，是解题的关键． 5．如图，学校（记作A）在爱棣家（记作B）西偏南的方向上，且与爱棣家的距离是，若，且，则超市（记作C）在爱棣家的（    ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．南偏东的方向上，相距 D．东偏南的方向上，相距 【答案】B 【提示】根据方向角的定义即可解答． 【解答】解：∵A在B西偏南的方向上，， ∴C在B的南偏东的方向上， ∵，， ∴km， ∴超市（记作C）在爱棣家的南偏东的方向上，相距． 故选：B． 【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 6．若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【答案】B 【提示】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案； 【解答】解：由在第二象限，得， 由，，得， 所以， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查了第四象限点坐标符号特点、化简绝对值，熟练掌握第四象限点坐标符号特点是解题关键． 7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【提示】线段轴，、两点横坐标相等，又，点在点上边或者下边，根据距离确定点坐标． 【解答】解：∵ABy轴， 、两点的横坐标相同， 又， 点纵坐标为：或， 点的坐标为：或． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标． 8．已知A、B两点的坐标分别是和，下列结论错误的是（    ） A．点A在第二象限 B．点B在第一象限 C．线段平行于y轴 D．点A、B之间的距离为4 【答案】C 【提示】根据点在平面直角坐标系中的位置直接判断即可． 【解答】解：∵A、B两点的坐标分别是和， ∴点A在第二象限，点B在第一象限，点A、B之间的距离为4，线段平行于x轴， 结论错误的是C选项，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的特征，解题关键是树立数形结合思想，明确点在平面直角坐标系中的位置． 9．下列说法不正确的是（    ） A．点一定在第二象限 B．点到y轴的距离为2 C．若中，则P点在x轴上 D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上 【答案】C 【提示】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、因为−a2−1＜0，|b|＋1＞0，所以点A（−a2−1，|b|＋1）一定在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意． B、点P（−2，3）到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意； C、若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意； D、若x＋y＝0，则x、y互为相反数，点P（x，y）一定在第二、四象限角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 10．如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（    ） A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0） 【答案】C 【提示】要使|PA−PB|最小让PA＝PB即可，根据两点间的距离公式，列出方程，即可求解． 【解答】解：根据题意要使|PA−PB|最小，则PA＝PB即可， 设P（x，0）， ∴，解得：x=0， ∴P（0，0） 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，根据题意确定PA＝PB时P点符合题意是解题的关键． 二、填空题 11．若电影院中“5排4号”记作，则表示的意义是____________． 【答案】6排1号 【提示】由“5排4号”记作可知，有序数对与排号对应，即可得出表示的意义为6排1号． 【解答】∵“5排4号”记作 ∴前一个数表示排数，后一个数表示号数， ∴表示的意义为6排1号． 故答案为：6排1号． 【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．如图，点A，B的位置分别表示为，，则点C的位置表示为______． 【答案】 【提示】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案． 【解答】解：如图，点A，B的位置分别表示为，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标是解题关键． 13．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为（5,3），（6,3）（7,3）（4,1）（4,4）请你把这个英文单词写出来或者翻译中文为______． 【答案】学习 【提示】根据每一个点的坐标确定其对应的位置，最后写出答案． 【解答】解：有序数对（5,3），（6,3）（7,3）（4,1）（4,4）对应的字母分别为S、T、U、D、Y， 组成的英文单词为study，中文为学习， 故答案为：学习． 【点睛】此题考查了有序数对，正确理解有序数对的定义，确定各数对对应的字母是解题的关键． 14．若，点为平面直角坐标系中的点，则点在第_______象限． 【答案】二 【提示】根据非负数的意义可求出m、n的值，再根据点A坐标的特征判定所在的象限． 【解答】解：∵ ∴m+2021=0，n-2020=0， 即m=-2021，n=2020， ∴点A（-2021，2020）， ∴点A在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查非负数的性质，点的坐标，理解绝对值，算术平方根的性质以及点的坐标的特征是正确解答的关键． 15．点在y轴上，则点P的坐标是______． 【答案】 【提示】根据直角坐标系中坐标的性质，得通过求解方程得到m的值，再代入到坐标中计算，即可得到答案． 【解答】解：∵点在y轴上， ∴点P的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角坐标系，一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中坐标的性质． 16．已知点和点，若点在坐标轴上，且的面积为6，则点的坐标是_____ 【答案】（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3） 【提示】分点C在x轴上，在y轴上两种情况讨论求解即可． 【解答】解：当点C在x轴上时， ∵△ABC的面积为6， ∴， ∴AC=4， ∵点A的坐标为（2，0）， ∴点C的坐标为（-2，0）或（6，0）； 当点C在y轴上时， ∵△ABC的面积为6， ∴， ∴BC=6， ∵点A的坐标为（0，3）， ∴点C的坐标为（0，9）或（0，-3）； 综上所述，点C的坐标为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）， 故答案为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是______． 【答案】(6,-5) 【提示】根据全等三角形的性质和点的坐标得出OA=OA′=6，OB=A′B′=5，即可得出答案． 【解答】解：∵A（-6，0），B（0，5），△OA′B′≌△OAB， ∴OA=OA′=6，OB=A′B′=5， ∴点B′的坐标是（6，-5）， 故答案为：（6，-5）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出OA=OA′=6，OB=A′B′=5． 18．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2022次变换后所得的A点坐标是___． 【答案】（－a，－b） 【提示】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限， 点A第二次关于y轴对称后在第三象限， 点A第三次关于x轴对称后在第二象限， 点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2022÷4=505…2， ∴经过第2022次变换后所得的A点与第2次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-a，-b）， 故答案为：（-a，-b）． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键． 三、解答题 19．如图，是光明小区内的一幢商品房的示意图．若小赵家所在的位置用表示 （1）用有序数对表示小李、小张家的位置； （2），分别表示谁家所在的位置？ 【答案】（1）  ；（2）小王，小周 【提示】（1）小赵家所在的位置用表示，结合图形可得：小赵在第列第行，从而可得小李与小张家的位置； （2）由表示第列第行，表示第列第行，从而可确定该位置表示谁的家，从而可得答案. 【解答】解：（1）小赵家所在的位置用表示， 结合图形可得：小赵在第列第行， 小李家在第列第行，所以可记为： 小张家在第列第行，所以可记为： （2）表示第列第行，是小王家， 表示第列第行，是小周家. 【点睛】本题考查的是利用有序实数对表示位置，正确理解有序实数对的含义是解题的关键. 20．在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接． （1），，，； （2），，，； 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ （2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其他点的坐标呢？ （3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有怎样的位置？ 【答案】连接起来的图形像“房子”；（1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都等于0；（2）线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同．线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3；（3）点F和点G的横坐标相同．线段FG与y轴平行． 【提示】在坐标系中描出各点，再顺次连接可得一个房子的图案； （1）结合图案分析，即可得出答案； （2）结合图案分析，即可得出答案； （3）结合图案分析，即可得出答案； 【解答】连接起来的图形像“房子”． （1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都等于0． （2）线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同．线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3． （3）点F和点G的横坐标相同．线段FG与y轴平行． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，作图的关键是根据点的坐标确定点在平面直角坐标系中的位置，并根据位置依次连接，形成题目中要求的图形． 21．已知点P（8﹣2m，m+1）． (1)若点P在y轴上，求m的值． (2)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求P点的坐标． 【答案】(1)4 (2)P（2，4）． 【提示】（1）直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值； （2）直接利用P点位置结合其到x，y轴距离得出点的坐标． （1） 解：∵点P（8﹣2m，m+1），点P在y轴上， ∴8﹣2m＝0， 解得：m＝4； （2） 解：由题意可得：m+1＝2（8﹣2m）， 解得：m＝3， 则8﹣2m＝2，m+1＝4， 故P（2，4）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键． 22．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值． (2)若点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【提示】（1）若点在y轴上，则M的横坐标为0，即m-1=0； （2）若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的横纵坐标互为相反数，即m-1=-2m-3． (1) 解：∵在y轴上， ∴， 解得：． (2) 解：∵点M在二、四象限的角平分线上， ∴， ∴， 所以． 【点睛】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键． 23．观察如图所示象棋棋盘，回答下列问题： （1）说出“将”与“帅”的位置； （2）说出“马3进4”（即第3列的“马”前进到第4列）后的位置． 【答案】（1）“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列；（2）第7行第4列 【提示】（1）根据已知点的位置即可确定行列表示的数据的顺序，进而得出答案； （2）根据“马”的位置，经过平移后得到新的位置，根据新的位置，确定行列表示的数据，进而得出答案． 【解答】（1）按照图中的表示数字，“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列； （2）第7行第4列． 【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，点的平移，掌握用有序数对表示位置是解题的关键． 24．已知平面直角坐标系内有4个点：A(0，2)，B(-2，0)，C(1，-1)，D(3，1)． (1)在平面直角坐标系中描出这4个点； (2)顺次连接A、B、C、D组成四边形ABCD，请用两种方法求出四边形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【提示】（1）根据平面直角坐标系描出点的坐标； （2）根据，求面积即可求解． （1） 解：如图所示：点A、B、C、D为所描的点． （2） 方法一：如图所示，作长方形EFGH： 则有 方法二：如图所示，将四边形ABCD分割为△ABP、△BCQ、△CMD、 △AND和正方形PQMN， 则有 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 25．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则 (1)请你直接写出的“近距”______﹔ (2)在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．若在坐标轴上存在点E，使，请求出点E的坐标： 【答案】(1)2 (2)点E坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，） 【提示】（1）根据P，Q两点的“近距”的定义求解即可； （2）分两种情况：当点E在x轴上时，设，则，可得，当点E在y轴上时，设，则，可得，求出m，n的值即可． （1） ∵，， 又∵， ∴， 故答案为：2； （2） 如图所示： ∵点D（3，4），， 当点E在x轴上时，设，， ∴， ∴或， 当点E在y轴上时，设，， ∴， ∴或， ∴点E坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及到平移变换，P，Q两点的“近距”的定义等知识，解题的关键是正确解读题意，学会利用分类讨论思想解决问题． 26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)点的“短距”为3，则m的值为__________． (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)7 (2)4或 (3)或 【提示】（1）根据点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7，结合定义即可求解； （2）根据定义可知，解绝对值方程即可求解； （3）点C到x轴的距离为，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为，到y轴距离为4，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程，解方程即可求解． （1） 解：点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7， ∴点B的“短距”为7． （2） 点的“短距”为3， 若，则 解得或 若，则“短距”为5，不符合题意， 故答案为：4或． （3） 点C到x轴的距离为，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为，到y轴距离为4， 当时，， ∴或， 解得或（舍）． 当时，， ∴或， 解得或（舍）． 综上，k的值为或． 【点睛】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键． 27．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0 （1）求A，B两点的坐标 （2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标 （3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，，， 【提示】（1）由平方数和绝对值的非负性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，从而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B两点的坐标． （2）过点Ｃ向轴作垂线，垂足为，结合已知条件可构造一线三等角模型，即可证明，则，，易得点C的坐标． （3）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则需分两种情况讨论：①则在B的左侧，；在右侧，；②，则易证，故． 【解答】解：（1）∵a、b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0． ∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0， ∴a＝3，b＝1， ∴A（0，3）、B（1，0）； （2）如图，过点C向轴作垂线，垂足为，则， ∵，， ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴，， ∴C（4，1）． （3）若为腰，则分两种情况讨论： ①当时， 若在B的左侧，则，∴； 若在的右侧，则，∴； ②当时， ∵，∴由等腰三角形三线合一可知， ∴． 综上所述，存在，，． 【点睛】本题考查点的坐标，等腰三角形的性质，掌握一线三等角证全等及等腰三角形的存在性的方法为解题关键 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $