精品解析：北京市三帆中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

北京三帆中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 初三数学 注意：（1）时间120分钟，满分100分； （2）请将答案填写在答题纸上． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，的半径为5，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 5. 如图，圆的两条弦，相交于点E，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中： ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是______． 10. 若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为___________． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为__________ ． 13. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是__________． 15. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 16. 如图，的直径弦CD于点F，，，点为上一动点，直线AE于点..，连接OP，点在上运动的过程中，线段OP长的最大值为__________． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、21、22、23题每题5分，第20、24、25、26题每题6分，第27、28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 19. 如图，是等边三角形，点D是边上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 20. 已知二次函数． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）填表，并画出此函数的图象； x … … y … … （3）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 21. 2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？ 22. 三等分角问题、倍立方体问题和化圆为方问题被称为古希腊三大尺规作图难题．小岩对三等分角问题很感兴趣．于是，他利用所学的数学知识，发明了一个三等分角器． 三等分角器的制作方法： 1．准备好薄铁片； 2．按图1所示制作：三等分角器分别由两条矩形铁片和一个半圆铁片构成．其中满足：点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，与半圆的半径相等，与半圆相切于点B． 三等分角器的使用方法：如图2，要将三等分．首先将的顶点F放在三等分角器的BD上，然后调整点F的位置使角的一边经过点A，另一边与半圆相切，最后连接，则，即完成了的三等分． 请完成以下三等分角器的原理的证明． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，，与半圆相切于点B，与半圆相切，连接． 求证：． 证明： 为半圆的直径，点为半圆的圆心，与半圆相切于点， （__________）．（填推理依据） 又， 垂直平分． __________． 又， __________． ，与半圆相切， __________（__________）．（填推理依据） ． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 24. 如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． （1）①请直接写出水流的最高处的坐标_________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围． 25. 如图，的直径与弦交于点E，，过点作射线使得． （1）求证：与相切于点； （2）延长交射线的反向延长线于点，若，，求的半径长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点（不与重合），连接．已知在点从点运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在等边中，点是边上一点，且，点关于所在直线的对称点是，连接，，在上取一点使得，与交于点． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示与的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于半径为1的，线段及直线l，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段是的弦，则称线段为关于直线的引入弦． （1）如图1，点，，，，，，线段，，中，是关于某条直线的引入弦的为__________． （2）如图2，点，，点C在直线上，若线段，和中，至少有一条线段是的引入弦，直接写出点的纵坐标的取值范围． （3）如图3，线段是关于直线的引入弦，且．以点，，，为顶点的正方形与线段有公共点，请直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京三帆中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 初三数学 注意：（1）时间120分钟，满分100分； （2）请将答案填写在答题纸上． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，的半径为5，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再与的半径比较即可． 【详解】解：点， 的半径为5， 点在圆上， 故选：B． 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且． 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义． 5. 如图，圆的两条弦，相交于点E，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．由等弧所对的圆周角相等可知，再利用三角形外角定理求． 【详解】解：， ． ． 故选：C． 6. 如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，核心是利用抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合特殊点的函数值，判别式分析代数式的符号． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质，逐一分析选项即可． 【详解】解：已知抛物线经过，对称轴是，结合图象开口向下，因此， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， ，故A错误； 抛物线与轴有2个交点，说明一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式，即，故B错误； 当时，函数值为， 根据图象可得，当时，，故C错误； 对称轴公式，整理，即，故D正确． 故选：D． 7. 如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，，再根据三角形周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵、分别切于、两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选A． 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中： ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到，的范围，从而判断选项是否错误是解题关键． 结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：①：若经过点，则有， 又∵， ∴有， 解得， ，故函数必有最大值，①正确； ②：可取反例，当时，，， 则此时当时，随的增大而减小， ∴②错误； ③：若经过点，则有， ∵， ∴有， 解得， ， 令， 解得或， ，结合图象可知， ∴不等式的解集为或， ∴③选项正确； ④：由，即， ∴可知二次函数经过定点， 方程的其中一根为， ∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴④错误， 综上所述，①③正确， 故选：A． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论． 【详解】解：设二次函数的解析式为． ∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴． 取，时，二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键． 10. 若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：该扇形的面积为． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键；先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 ，抛物线开口向上， 且，， ∴点横坐标离对称轴的距离小于点横坐标离对称轴的距离， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于，连接，由点的坐标可得，，进而由垂径定理得，即得，又根据切线的性质可得四边形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于，连接，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称性，由点和点纵坐标相同，求得对称轴，再利用对称轴求点的对称点，从而得到方程的解． 【详解】解：由二次函数可知，当时，，故点在函数图象上． 由表可知，当时，，故点也在函数图象上． 点和点纵坐标相同， ∴函数图象的对称轴为直线． ∵点在函数图象上，其关于对称轴的对称点为， ∴当时，． 因此方程的解为或． 故答案为：，． 16. 如图，的直径弦CD于点F，，，点为上一动点，直线AE于点..，连接OP，点在上运动的过程中，线段OP长的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，过点作于点，如图，利用勾股定理先计算出，再计算出，根据垂径定理得到，接着利用直角三角形斜边上的中线性质得到，然后利用勾股定理得到，最后利用三角形三边的关系得到，所以的最大值为． 【详解】解：连接、，过点作于点，如图， ， ， 在中，，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， 在中，， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形三线合一，三角形三边关系定理，圆半径相等，掌握相关知识是解决问题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、21、22、23题每题5分，第20、24、25、26题每题6分，第27、28题每题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个实数根，得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据为正整数，得到或，分别解一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ∵该方程有两个实数根， ， 解得． 【小问2详解】 由（1）知：， ∵为正整数， ∴当时， 方程化为：， 解得，， ∵方程的根都为正整数， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，符合题意， ，此时方程的根为． 19. 如图，是等边三角形，点D是边上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ∵将线段绕点B逆时针旋转得到线段， ，， ， ，即， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，，由旋转得到，，推出，然后证明出； （2）过点作于点，由等边三角形得到，，求出，利用勾股定理求出，然后由全等得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点． 是等边三角形，， ，， ， ，， 中，，， ， ∴， ，， ，， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 已知二次函数． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）填表，并画出此函数的图象； x … … y … … （3）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 解：列表如下： x … 0 … y … 3 0 0 3 … 函数图像如下所示： （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）根据函数图像求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图像可知，当时，或． 21. 2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？ 【答案】组成正八边形的相邻两架飞机的距离是20米． 【解析】 【分析】本题考查了正八边形的性质，连接，根据正八边形的性质求得，再得到，设米，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ，均为正八边形的一个内角， ， ， 设米， ∴， 解得：，（舍去） ∴组成正八边形的相邻两架飞机的距离是20米． 22. 三等分角问题、倍立方体问题和化圆为方问题被称为古希腊三大尺规作图难题．小岩对三等分角问题很感兴趣．于是，他利用所学的数学知识，发明了一个三等分角器． 三等分角器的制作方法： 1．准备好薄铁片； 2．按图1所示制作：三等分角器分别由两条矩形铁片和一个半圆铁片构成．其中满足：点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，与半圆的半径相等，与半圆相切于点B． 三等分角器的使用方法：如图2，要将三等分．首先将的顶点F放在三等分角器的BD上，然后调整点F的位置使角的一边经过点A，另一边与半圆相切，最后连接，则，即完成了的三等分． 请完成以下三等分角器的原理的证明． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，，与半圆相切于点B，与半圆相切，连接． 求证：． 证明： 为半圆的直径，点为半圆的圆心，与半圆相切于点， （__________）．（填推理依据） 又， 垂直平分． __________． 又， __________． ，与半圆相切， __________（__________）．（填推理依据） ． 【答案】圆的切线垂直于经过切点的半径；；；；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、认识立体图形、线段垂直平分线的性质、垂径定理、圆周角定理、切线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合题意以及切线的判定与性质填空即可． 【详解】证明：∵为半圆的直径，点O为半圆的圆心，与半圆相切于点B， ∴（圆的切线垂直于经过切点的半径）． 又∵， ∴垂直平分． ∴． 又∵， ∴． ∵，与半圆O相切，为半径， ∴（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角） ∴． 故答案为：圆的切线垂直于经过切点的半径；；；；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】（1）该函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解不等式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，，再分和两种情况，根据当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值可确定a的一个取值范围；再求出当时，，分和两种情况，根据当时，函数的值大于0，即可确定a的取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数的表达式为； 【小问2详解】 当时， 则， 若，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0， ∴这种情况不成立； 当，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， 解得； 当时，， 若，则， ∵当时，函数的值大于0， ∴， ∴， ∴此时； 若，则， ∵当时，函数的值大于0， ∴这种情况不成立； 综上所述，． 24. 如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． （1）①请直接写出水流的最高处的坐标_________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据题意得：点的横坐标为1，纵坐标为，即可求解； ②依据题意，设抛物线的解析式为，由点坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （2）设抛物线的解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，求出的取值范围，进而求出的取值范围即可． 【小问1详解】 ①，， ∴点的横坐标为1，纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． ②由题意，点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得， 喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式为． 【小问2详解】 ∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线的解析式为， ∵水流最大竖直高度大于， ， 当时，，解得， （负值舍去）， ∵水流离喷水池中心的最远水平距离不超过， ， ， ， ． 当时，， ． ， ， 25. 如图，的直径与弦交于点E，，过点作射线使得． （1）求证：与相切于点； （2）延长交射线的反向延长线于点，若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 的直径与弦交于点E，， ， ， ， ， 即， ∴半径于点， 与相切于点； （2）的半径长为 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的判定定理，能综合运用相关知识是解决问题的关键． （1）连接，根据垂径定理得到，由，得到，因为，已知，则可证，即，可证得结论； （2）设的半径，得到，，由勾股定理表示，，在中勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径长为r， ，， ，，， 中，， ， ∵， ∴， 中，， ， 中，， ， ， ， 的半径长为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点（不与重合），连接．已知在点从点运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①点B的横坐标为7；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． （1）将点和点代入二次函数解析中求解即可； （2）①联立直线和抛物线进行解方程求解即可；②分两情况：当时和当时，进行讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与轴的交点为 ， ； 【小问2详解】 解：①∵直线与抛物线交于两点， 解得， ∵点B是右侧交点， ∴点B的横坐标为7； ②当时，设过点作轴的垂线，交直线于点， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点N， ，， ∴当时， ， 设为底边的高，为底边的高， 则点B的横坐标的值， ∴的面积 ， ∵， ∴， ∵由题意得，， ∴关于的面积的二次函数开口向下， ∴当时，关于的面积的二次函数随t变大， ， ， ； 当时，如图，假设点B在x轴上， 由图象可知，x轴上方的面积为定值，x轴下方的面积也在随点从点运动到点过程中增大， ∴的面积一直随OP的长的增大而增大， 综上，或． 27. 如图，在等边中，点是边上一点，且，点关于所在直线的对称点是，连接，，在上取一点使得，与交于点． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示与的数量关系并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形 （2） （3）， 证明：过点作交于点，连接， 是等边三角形 ． ， ． ， ． ， ． ∵点关于BC所在直线的对称点是， ． ． 在和中 ． ，． ∵点M关于所在直线的对称点是N， ，． ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ． ． 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形； （2）由对称得，设，由等边三角形的性质，等腰三角形的定义，结合角的关系可得结论； （3）过点作交于点，连接．先证，可得，，证明四边形是平行四边形可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点关于BC所在直线的对称点是， ． 设， 是等边三角形 ． ，， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28. 在平面直角坐标系中，对于半径为1的，线段及直线l，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段是的弦，则称线段为关于直线的引入弦． （1）如图1，点，，，，，，线段，，中，是关于某条直线的引入弦的为__________． （2）如图2，点，，点C在直线上，若线段，和中，至少有一条线段是的引入弦，直接写出点的纵坐标的取值范围． （3）如图3，线段是关于直线的引入弦，且．以点，，，为顶点的正方形与线段有公共点，请直接写出b的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线段长度不大于圆直径判断即得；（2）设点，根据长不大于圆直径计算判断，即得；；（3）分当点M在点E的位置时，，或当点M在点G的位置时，，或解答即可． 【小问1详解】 解：设的弦为d， ∵点，，，，，， ∴线段，，， ∵的半径为1， ∴直径为2， ∴d应满足， ∴是关于某条直线的引入弦的为，； 【小问2详解】 解：∵点C在直线上， ∴设点， ∵点，， ∴，，， ∴，不是的引入弦， 当时，， 化简，得， 解得， ∴； ∵是的引入弦， ∴， ∴； 当时，， 化简，得， 解得， ∴， 同理，， 综上，点的纵坐标的取值范围为； 【小问3详解】 解：对， 令，则， 解得； 令，则， ∴直线交x轴于点，交y轴于点， ∴直线与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形， 当点M在点E的位置时，， 点M关于直线的对称点为，此时直线在第一第三象限角平分线上， 直线垂直平分线段，设垂足为P， ∵点在上， ∴， 设， 则， ∴， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； 当点M在点G的位置时，，直线在第一第三象限角平分线上， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； ∴： 当点M在点E的位置时，， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； 当点M在点G的位置时，， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； ∴； 综上，b的取值范围为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，分类讨论，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $