精品解析：浙江省杭州市拱墅区文澜中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若的半径是，点在圆外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 2. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（ ） A. 盒子里一定都是红球 B. 他第6次摸到的一定还是红球 C. 他第6次摸到的可能还是红球 D. 盒子里一定还有其他颜色的球 3. 二次函数与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，四边形内接于，点E为上一点，连结，．若，则（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 8. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图，是菱形的对角线，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，b，则的值为______． 12. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 13. 如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为______． 14. 如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 _____． 15. 如图，是边长为6的等边三角形，点D、E、F分别在的三边上，将沿进行折叠，使点C与点D重合，若，则______． 16. 如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 18. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）求当时，的取值范围． 19. 中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分． （1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是______． （2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率． 20. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点A，B，C均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母，不需要写作法和理由） （1）在图1中，在线段上找一点M，使得． （2）在图2中，在三角形内寻找一格点N，使得． 21. 已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M， （1）求证：； （2）求证：AM＝DM． 22. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 23. 已知，二次函数（为常数）． （1）若，判断点是否在此函数的图象上； （2）若此函数图象经过点，求的值； （3）若此函数图象经过点，，求证：． 24. 如图，内接于，点为弦的中点，连接、，延长交弦的延长线于点，与弦交于点，与交于点，已知． （1）求的半径； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若的半径是，点在圆外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系判断方法求解即可． 【详解】解：的半径是，点在圆外， ∴， 故选：D． 2. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（ ） A. 盒子里一定都是红球 B. 他第6次摸到的一定还是红球 C. 他第6次摸到的可能还是红球 D. 盒子里一定还有其他颜色的球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性，根据可能性大小逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 盒子里不一定都是红球，故该选项不正确，不符合题意； B. 他第6次摸到的不一定还是红球，故该选项不正确，不符合题意； C. 他第6次摸到的可能还是红球，故该选项正确，符合题意； D. 盒子里不一定还有其他颜色的球，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 二次函数与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数与轴的交点坐标，令求出的值即可得解． 【详解】解：在中，当时，， 故二次函数与y轴的交点坐标是， 故选：D． 4. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 5. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和C选项，根据B选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 6. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，点E为上一点，连结，．若，则（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再结合可得，最后根据圆周角定理的推论即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等等知识点 ，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 8. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为2x，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比． 【详解】解：如图，设圆的圆心为O，过A作AD⊥BC于于D，则AD必过点O，且AO=2OD； △ABC的边长为2x，则BD=x，，， ∴正方形的边长为，面积为，三个正方形的面积和为， △ABC的面积为， ∴等边三角形与三个正方形的面积和的比值为． 故选A． 【点睛】本题考查的是等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答本题的关键． 9. 如图，是菱形的对角线，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质． 连接，先证，得出，进而即可求解 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∴， ∴， ∴． ∴ 故选C． 10. 已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意，得到，，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的符号由的符号决定， 当时，，当时，．故B选项错误， ∴． ∵（二次函数中），且， ∴．故C选项正确，D选项错误； 无法判断的符号；故A选项错误； 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，b，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知等式 出发，通过代数变形求解 的值． 【详解】解：，且 ． 将等式两边同时除以 ，得： 再将等式两边同时除以 3，得： 故答案为 ． 12. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 13. 如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．根据，设，则，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，求解即可． 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 14. 如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出点的坐标，根据函数的顶点式即可求解． 【详解】解：当点为原点时，，解得， ∴， 当选取点为坐标原点时，顶点坐标为，此时值不变， 抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握函数的顶点式是解题的关键． 15. 如图，是边长为6的等边三角形，点D、E、F分别在的三边上，将沿进行折叠，使点C与点D重合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质． 根据折叠的性质可得，再由等边三角形的性质可得∠，，，从而得到，进而得到，再由，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ，即， ∵等边的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为： 16. 如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接，首先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 点的运动轨迹为以为直径的，连接， ， ∴当点D在的延长线上时，的值最大， 是的直径，， ， 是等边三角形， ， 取的中点Q，连接， 则， 在中，， ， ， 则的最大值为． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 18. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）求当时，的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中． （1）将点，两点代入求出、即可； （2）根据函数的增减性，结合，写出函数值取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，函数值最小， 当时， 当时，，当时，， ∴当时，． 19. 中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分． （1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是______． （2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率． 【答案】（1） （2）概率为 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式求概率，画树状图法求等可能事件的概率等知识点， （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可； 掌握画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． 【小问1详解】 ∵从“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》中随机抽取一本， ∴抽取的恰好是《红楼梦》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 把《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 两本是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，即，， 所以P（两本是《水浒传》和《西游记》）． 20. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点A，B，C均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母，不需要写作法和理由） （1）在图1中，在线段上找一点M，使得． （2）在图2中，在三角形内寻找一格点N，使得． 【答案】（1） 解：点M即为所求作， （2） 如下图即为所求作． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，相似三角形判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）取格点，连接交于点M，根据，则，得出，则； （2）取格点N，连接，得出点N为外接圆的圆心，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取格点N，连接， ∵， ∴点N为外接圆的圆心， ∴． 21. 已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M， （1）求证：； （2）求证：AM＝DM． 【答案】（1） 证明：∵在⊙O中，AB＝CD， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接AC，BD， ∵， ∴AC＝BD， 在△ACM和△DBM中， ， ∴△ACM≌△DBM（ASA）， ∴AM＝DM． 【解析】 【分析】（1）由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得，继而可证得； （2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 22. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 23. 已知，二次函数（为常数）． （1）若，判断点是否在此函数的图象上； （2）若此函数图象经过点，求的值； （3）若此函数图象经过点，，求证：． 【答案】（1）时，点在此函数的图象上； （2）或； （3） 解：点，在上， ∴对称轴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像和二次函数的性质，掌握运用二次函数求最值的方法是解答本题的关键． （）把代入二次函数（是常数）得，直接将点的坐标代入即判断； （）把代入列关于的方程求解即可． （）利用对称轴公式构造方程，得，把代入二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把代入二次函数（是常数）得， 当时，， ∴时，点在此函数的图象上； 【小问2详解】 解：把代入得 ， 解得或； 【小问3详解】 略 24. 如图，内接于，点为弦的中点，连接、，延长交弦的延长线于点，与弦交于点，与交于点，已知． （1）求的半径； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：延长交于点，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得到，设半径为，再利用勾股定理即可求得； （2）延长交于点，连接，利用圆周角定理及直角三角形的性质即可论证： （3）连接，利用相似三角形的判定及性质求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定及性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵点为的中点，， ∴， 设的半径为， 则， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，关键是灵活应用知识点解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $