期末复习10圆期末复习冲刺必备讲义（3）(知识梳理+题型精析+备考强化通关)2025-2026学年人教版数学九年级上册

期末复习10 圆期末复习冲刺必备讲义（3） 期末必备 知识点梳理 1.直线与圆的位置关系 2.切线的判定定理 3.切线的性质定理及推论 4.切线长定理 5.三角形的内切圆与内心 6.核心考点与易错点 常考题型 精讲精炼 1.直线与圆的位置关系判定 2.由直线和圆的位置关系确定圆的半径范围 3.直线成为圆的切线的条件 4.圆的切线的证明方法 5.圆的切线的性质定理及应用 6.圆的切线的性质和判定的综合题型 7.切线长定理的实际应用 8.直角三角形中周长.面积与内切圆半径的关联 9.三角形内心的性质及应用 10.圆和圆的位置关系判定 11.圆与三角形的综合题型 期末备考 强化通关 (15题) 【知识点01.直线与圆的位置关系】 1.三种位置关系定义与特征 位置关系 公共点个数 直线名称 圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 相交 2 个 割线 d < r 相切 1 个 切线（唯一公共点叫切点） d = r 相离 0 个 无 d > r 2. 判定与性质 判定方法：①看公共点个数；②比较 d 与 r 的大小。 性质：可根据位置关系反推 d 与 r 的关系，如直线与圆相切，则 d = r。 【知识点02.切线的判定定理】 1. 定理内容 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 *几何语言：如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l⊥OA 于点 A，则 l 是⊙O 的切线。 *关键：“过半径外端” 和 “垂直于半径” 两个条件缺一不可。 2. 常见辅助线做法 *已知直线与圆有公共点：连半径，证垂直（如已知点 A 在圆上，连接 OA，证明 OA⊥直线 l）。 *未知直线与圆公共点：作垂直，证半径（过圆心 O 作直线 l 的垂线，垂足为 A，证明 OA = r）。 【知识点03.切线的性质定理及推论】 一、切线的性质定理 1.定理内容 圆的切线垂直于过切点的半径。（核心逻辑：切线与圆只有一个公共点，若半径不垂直于切线，则半径延长线会与切线有另一个交点，与切线定义矛盾） 2. 几何语言表达 若直线 l 是 ⊙O 的切线，切点为 A，连接 OA（OA 为半径），则 OA⊥l。 3. 定理应用场景 *证明两条线段垂直（切线与过切点的半径）； *构造直角三角形（切线、半径、圆外点与圆心的连线构成直角三角形），结合勾股定理计算线段长度； *结合圆周角定理、等腰三角形性质等进行角度推导。 二、切线性质的两个重要推论 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 1. 内容解读 若一条直线满足两个条件：① 经过圆心；② 垂直于切线，则这条直线必然经过切线与圆的切点。（可理解为：过圆心作切线的垂线，垂足就是切点） 2. 几何语言表达 若直线l⊙O的切线，直线m经过圆心O且m⊥l，垂足为A，则A是直线l与⊙O的切点。 3. 应用场景 *已知切线和圆心，求切点位置（作圆心到切线的垂线，垂足即为切点）； *证明某点为切点（证明该点在切线上，且连接圆心与该点的线段垂直于切线，或证明过圆心且垂直于切线的直线经过该点）。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 1. 内容解读 若一条直线满足两个条件：① 经过切点；② 垂直于切线，则这条直线必然经过圆心。（可理解为：在切点处作切线的垂线，这条垂线必经过圆心） 2. 几何语言表达 若直线l是⊙O的切线，切点为A，直线m经过A且m⊥l，则直线m经过圆心O。 3. 应用场景 *已知切点和切线，确定圆心位置（在切点处作切线的垂线，圆心必在这条垂线上）； *证明某点为圆心（证明该点在过切点且垂直于切线的直线上，且该点到切点的距离等于半径）。 三、定理与推论的关联 1.切线性质定理是核心，两个推论是定理的逆用补充，三者共同构建了 “切线、圆心、切点” 三者的位置关系： *定理：切点→半径⊥切线； *推论 1：圆心 + 垂线→切点； *推论 2：切点 + 垂线→圆心。 2.三者本质是 “切线、过切点的半径、垂线” 三者的唯一性关联：过圆心且垂直于切线的直线有且只有一条，且过切点；过切点且垂直于切线的直线有且只有一条，且过圆心。 【知识点04.切线长定理】 1.切线长定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长（切线是直线，不可度量；切线长是线段长，可度量）。 2. 定理内容 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 *几何语言：如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，则 PA = PB，∠APO = ∠BPO。 *证明思路：连接 OA、OB，由切线性质得 OA⊥PA，OB⊥PB，再证 Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），即可得出结论。 【知识点05.三角形的内切圆与内心】 一.基本概念 1.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆（在三角形内部）。 2.三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 3.外切三角形：这个三角形叫做圆的外切三角形。 二.内心的性质 1.内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径 r）。 2.内心与三角形顶点的连线平分该顶点的内角。 三.相关计算 1.直角三角形内切圆半径公式：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，三边为 a、b、c（c 为斜边），则 r = 2.任意三角形内切圆半径公式：设三角形周长为 C，面积为 S，则 r = 【知识点06.核心考点与易错点】 一.核心考点 1.直线与圆位置关系的判定与应用（求距离、半径等）。 2.切线的判定与性质的综合证明（常结合全等、勾股定理）。 3.切线长定理的应用（求线段长、角度等）。 4.三角形内心的性质及内切圆半径计算。 二.易错点 1.切线判定时，忽略 “过半径外端” 或 “垂直于半径” 其中一个条件。 2.混淆切线与切线长的概念（切线是直线，切线长是线段长）。 3.区分不清三角形内心（角平分线交点，到三边距离相等）与外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相等.）。 【题型1.直线与圆的位置关系判定】 【典例】已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 【跟踪训练1】在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是 ． 【跟踪训练2】已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【题型2.由直线和圆的位置关系确定圆的半径范围】 【典例】如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    【跟踪训练1】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【跟踪训练2】.在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是 ． 【题型3.直线成为圆的切线的条件】 【典例】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【跟踪训练2】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【题型4.圆的切线的证明方法】 【典例】如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 【跟踪训练1】下列说法正确的是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．圆周角等于圆心角的一半 C．圆是中心对称图形 D．圆的对称轴是直径 【跟踪训练2】如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论： ． 【题型5.圆的切线的性质定理及应用】 【典例】如图，为的直径，直线与相切于点E，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为 【跟踪训练2.】如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．5 D．4 【题型6.圆的切线性质与判定的综合题型】 【典例】题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（   ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【跟踪训练1】如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 【跟踪训练2】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型7.切线长定理的实际应用】 【典例】如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ． 【跟踪训练1】如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D．6 【跟踪训练2】如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【题型8.直角三角形中周长.面积与内切圆半径的关联】 【典例】若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（    ） A．12 B．2 C．3 D．6 【跟踪训练1】的内切圆半径为，的周长为，则的面积是 ． 【跟踪训练2】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型9.三角形内心的性质及应用】 【典例】如图，点为的内心，若，则的度数为 ． 【跟踪训练1】如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【跟踪训练2】在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【题型10.圆与圆的位置关系判定】 【典例】若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 【跟踪训练1】如图，、的直径分别为、，圆心距为，如果由图示位置沿直线向右平移，则此时该圆与的位置关系 ． 【跟踪训练2】两圆的半径分别为，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．内切或外切 【题型11.圆与三角形的综合题型】 【典例】如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【跟踪训练1】如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练2】如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则 ． 一.单选题 1．在平面直角坐标系中，点M的坐标为．以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ． 2 ．如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是 ． 3．二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 4．如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在处射门时，则有张角．如图，若， 米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为 ． 5．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作：．若抛物线与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则的取值范围（用表示）为 ． 二.填空题 6．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 7．已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为 ． 8．如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 9．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为 ． 10．如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是 ． 三.解答题 11．已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 12．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与抛物线交于点M ． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与轴的交点是D，在线段上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线于点F，试判断的形状，并说明理由； 13．如图1，将的顶点放在上，边与相切于点，边与交于点．已知的直径为8． (1)如图1，过点作于点，求的长度； (2)从图1的位置开始，将绕点顺时针旋转，设旋转角为． ①如图2，当经过圆心时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，直接写出点到边的距离的取值范围． 14．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． (1)求这个抛物线的表达式． (2)当与相切时求出点坐标． (3)在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 15．在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． (2)如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习10 圆期末复习冲刺必备讲义（3） 期末必备 知识点梳理 1.直线与圆的位置关系 2.切线的判定定理 3.切线的性质定理及推论 4.切线长定理 5.三角形的内切圆与内心 6.核心考点与易错点 常考题型 精讲精炼 1.直线与圆的位置关系判定 2.由直线和圆的位置关系确定圆的半径范围 3.直线成为圆的切线的条件 4.圆的切线的证明方法 5.圆的切线的性质定理及应用 6.圆的切线的性质和判定的综合题型 7.切线长定理的实际应用 8.直角三角形中周长.面积与内切圆半径的关联 9.三角形内心的性质及应用 10.圆和圆的位置关系判定 11.圆与三角形的综合题型 期末备考 强化通关 (15题) 【知识点01.直线与圆的位置关系】 1.三种位置关系定义与特征 位置关系 公共点个数 直线名称 圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 相交 2 个 割线 d < r 相切 1 个 切线（唯一公共点叫切点） d = r 相离 0 个 无 d > r 2. 判定与性质 判定方法：①看公共点个数；②比较 d 与 r 的大小。 性质：可根据位置关系反推 d 与 r 的关系，如直线与圆相切，则 d = r。 【知识点02.切线的判定定理】 1. 定理内容 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 *几何语言：如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l⊥OA 于点 A，则 l 是⊙O 的切线。 *关键：“过半径外端” 和 “垂直于半径” 两个条件缺一不可。 2. 常见辅助线做法 *已知直线与圆有公共点：连半径，证垂直（如已知点 A 在圆上，连接 OA，证明 OA⊥直线 l）。 *未知直线与圆公共点：作垂直，证半径（过圆心 O 作直线 l 的垂线，垂足为 A，证明 OA = r）。 【知识点03.切线的性质定理及推论】 一、切线的性质定理 1.定理内容 圆的切线垂直于过切点的半径。（核心逻辑：切线与圆只有一个公共点，若半径不垂直于切线，则半径延长线会与切线有另一个交点，与切线定义矛盾） 2. 几何语言表达 若直线 l 是 ⊙O 的切线，切点为 A，连接 OA（OA 为半径），则 OA⊥l。 3. 定理应用场景 *证明两条线段垂直（切线与过切点的半径）； *构造直角三角形（切线、半径、圆外点与圆心的连线构成直角三角形），结合勾股定理计算线段长度； *结合圆周角定理、等腰三角形性质等进行角度推导。 二、切线性质的两个重要推论 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 1. 内容解读 若一条直线满足两个条件：① 经过圆心；② 垂直于切线，则这条直线必然经过切线与圆的切点。（可理解为：过圆心作切线的垂线，垂足就是切点） 2. 几何语言表达 若直线l⊙O的切线，直线m经过圆心O且m⊥l，垂足为A，则A是直线l与⊙O的切点。 3. 应用场景 *已知切线和圆心，求切点位置（作圆心到切线的垂线，垂足即为切点）； *证明某点为切点（证明该点在切线上，且连接圆心与该点的线段垂直于切线，或证明过圆心且垂直于切线的直线经过该点）。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 1. 内容解读 若一条直线满足两个条件：① 经过切点；② 垂直于切线，则这条直线必然经过圆心。（可理解为：在切点处作切线的垂线，这条垂线必经过圆心） 2. 几何语言表达 若直线l是⊙O的切线，切点为A，直线m经过A且m⊥l，则直线m经过圆心O。 3. 应用场景 *已知切点和切线，确定圆心位置（在切点处作切线的垂线，圆心必在这条垂线上）； *证明某点为圆心（证明该点在过切点且垂直于切线的直线上，且该点到切点的距离等于半径）。 三、定理与推论的关联 1.切线性质定理是核心，两个推论是定理的逆用补充，三者共同构建了 “切线、圆心、切点” 三者的位置关系： *定理：切点→半径⊥切线； *推论 1：圆心 + 垂线→切点； *推论 2：切点 + 垂线→圆心。 2.三者本质是 “切线、过切点的半径、垂线” 三者的唯一性关联：过圆心且垂直于切线的直线有且只有一条，且过切点；过切点且垂直于切线的直线有且只有一条，且过圆心。 【知识点04.切线长定理】 1.切线长定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长（切线是直线，不可度量；切线长是线段长，可度量）。 2. 定理内容 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 *几何语言：如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，则 PA = PB，∠APO = ∠BPO。 *证明思路：连接 OA、OB，由切线性质得 OA⊥PA，OB⊥PB，再证 Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），即可得出结论。 【知识点05.三角形的内切圆与内心】 一.基本概念 1.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆（在三角形内部）。 2.三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 3.外切三角形：这个三角形叫做圆的外切三角形。 二.内心的性质 1.内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径 r）。 2.内心与三角形顶点的连线平分该顶点的内角。 三.相关计算 1.直角三角形内切圆半径公式：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，三边为 a、b、c（c 为斜边），则 r = 2.任意三角形内切圆半径公式：设三角形周长为 C，面积为 S，则 r = 【知识点06.核心考点与易错点】 一.核心考点 1.直线与圆位置关系的判定与应用（求距离、半径等）。 2.切线的判定与性质的综合证明（常结合全等、勾股定理）。 3.切线长定理的应用（求线段长、角度等）。 4.三角形内心的性质及内切圆半径计算。 二.易错点 1.切线判定时，忽略 “过半径外端” 或 “垂直于半径” 其中一个条件。 2.混淆切线与切线长的概念（切线是直线，切线长是线段长）。 3.区分不清三角形内心（角平分线交点，到三边距离相等）与外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相等.）。 【题型1.直线与圆的位置关系判定】 【典例】已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点到直线的距离为，根据垂线段最短，可得，根据直线与圆的位置关系即可得答案． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点在直线上，且， ∴，（垂线段最短）， ∵的半径为， ∴当时，直线与相交； 当时，直线与相切； ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：C． 【跟踪训练1】在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】在中，，因此点A到直线的距离等于，比较点A到直线的距离与的半径3，即可判断位置关系． 本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 【跟踪训练2】已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程、直线与圆的位置关系等，熟记一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系判定方法是解决问题的关键． 先通过求解一元二次方程得到圆心到直线的距离，再与圆的半径比较，进而判断直线与圆的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵ 圆的直径是， ∴ 半径， ∵ 一元二次方程， ∴ 因式分解得， 解得，， ∵ 圆心到直线的距离不能为负数， ∴圆心到直线的距离， ∵， ∴ 直线与圆相交， 故选：C． 【题型2.由直线和圆的位置关系确定圆的半径范围】 【典例】如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 【跟踪训练1】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 【跟踪训练2】.在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 【题型3.直线成为圆的切线的条件】 【典例】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【跟踪训练1】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 【题型4.圆的切线的证明方法】 【典例】如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题主要考查了切线的定义，要使得直线是的切线，只要使即可． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∴． 当时， 则，即， 又是的半径， ∴直线是的切线， 故答案为： (答案不唯一)． 【跟踪训练1】下列说法正确的是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．圆周角等于圆心角的一半 C．圆是中心对称图形 D．圆的对称轴是直径 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括切线定义、圆周角定理、中心对称图形和对称轴概念． 根据圆的有关性质确定、垂径定理对每一项分别进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A．垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故原说法错误； B．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故原说法错误； C．圆是中心对称图形，正确； D．圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； 故选：C． 【跟踪训练2】如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定及切线长定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．连接，则可得，根据切线的判定可得直线，与相切，即可得结论． 【详解】解：连接，∵为的直径， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切， 同理，直线与相切， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5.圆的切线的性质定理及应用】 【典例】如图，为的直径，直线与相切于点E，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是问题求解的关键． 连接，直线与相切于点E，得到，进而求得，根据等腰三角形等边对等角得到，完成求解． 【详解】解：连接，如图， ∵直线与相切于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪训练1】将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为 【答案】 【分析】本题考查的是切线性质的应用，连接，，根据题意得到，则根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：连接，， 由题意得，， 圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B， ，， ∴ ∴ ∴，即圆形玉佩的半径为， 故答案为： 【跟踪训练2.】如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质及勾股定理是解题的关键；连接，则有，然后根据勾股定理可得，要使有最小值，则需满足取最小值即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， 要使有最小值，则需满足取最小值即可， ∴当时，有最小值5， ∴的最小值为； 故选D． 【题型6.圆的切线性质与判定的综合题型】 【典例】题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（   ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长，切线的判定和性质等．连接，根据圆周角定理可得，从而得到，可判断①；连接，其中与交于点D，根据题意可得，从而得到，再由圆周角定理可得，可判断②；当与圆O相切时，此时与圆O交于点K，证明与圆O相切，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与半圆O相切，故①正确； 如图，连接，其中与交于点D， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， 即在旋转过程中，的长为定值，故②正确； 如图，当与圆O相切时，此时与圆O交于点K， 此时， ∴， 此时点O到的距离等于， ∵圆O的半径为， ∴与圆O相切，， 此时满足，满足题意， 由①得：， ∴当点K在半圆O内时，的取值范围为，故③错误． 故选：B 【跟踪训练1】如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 【题型7.切线长定理的实际应用】 【典例】如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为： ， ． 故答案为：10． 【跟踪训练1】如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】此题重点考查切线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 设与四边形的各边分别相切于点，连接，设的半径为，则，由，且四边形的周长是12，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与四边形的各边分别相切于点，连接，如图所示： ，、、， 设的半径为，则， ，且， ， 四边形的周长是12， ， ， ， 故选：C． 【跟踪训练2】如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，易得、、得到四边形是正方形，根据勾股定理求出得到，求出得到，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，，，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型8.直角三角形中周长.面积与内切圆半径的关联】 【典例】若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（    ） A．12 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，利用内切圆半径（a、b为直角边，c为斜边）易得这个三角形的内切圆的半径． 【详解】解：因为直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，， 则这个三角形的内切圆的半径． 故选：B． 【跟踪训练1】的内切圆半径为，的周长为，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 利用三角形内切圆的性质，三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半． 【详解】设的内切圆圆心为，切点为点，，，连接，，，，，， 则到各边的距离均等于内切圆半径， ，，， ， 的面积可表示为、、的面积之和，即，， ； 故答案是：． 【跟踪训练2】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 【题型9.三角形内心的性质及应用】 【典例】如图，点为的内心，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形的内心，正确把握三角形内心的性质是解题的关键．根据内心定义得出即可求出结论． 【详解】解：∵点为的内心， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：B． 【跟踪训练2】在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 【详解】解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大； 故选D． 【题型10.圆与圆的位置关系判定】 【典例】若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】A 【分析】本题考查圆与圆的位置关系．设两圆的圆心距为P，半径为R和r，则它们的位置如下：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．据此即可判断求解． 【详解】解：根据题意，圆心距， ∴两圆内切． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，、的直径分别为、，圆心距为，如果由图示位置沿直线向右平移，则此时该圆与的位置关系 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了两圆位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为P；外离；外切；相交；内切；内含． 求出平移后的圆心距，进而判断即可． 【详解】解：、的直径分别为、， 则、的半径分别为、， 如果由图示位置沿直线向右平移，则圆心距为，则， 根据圆心距与半径之间的数量关系， ∴与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【跟踪训练2】两圆的半径分别为，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．内切或外切 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况得判别式为0，列方程可求出圆心距与两圆半径的关系，最后根据圆与圆的位置关系可确定两圆的位置关系；本题主要考查一元二次方程根的情况和两圆位置关系的判定，熟练掌握“一元二次方程有两个相等的实数根时判别式为0”、“时，两圆外切，时，两圆内切”是解题的关键． 【详解】解：因为方程有两个相等的实数根，所以判别式等于0， 则 或． 因此两圆外切或者内切． 故答案为：D． 【题型11.圆与三角形的综合题型】 【典例】如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 【跟踪训练1】如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形，故②正确； 如图，连接、，过点作， 则， ∵的半径为2， ， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 如图，连接，并延长交于点M， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时，的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 【跟踪训练2】如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内心、圆内接三角形、圆的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题连接，，，，过点分别作于，于，于，根据内心可得，，，再通过直角三角形的知识和等量变化可证得，在中，可求得，设，则，然后再根据， ，可求得，然后即可求解； 【详解】解：连接，，，，过点分别作于，于，于，如图： ∵点是的内心， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴设，则， ∵， ， ∴， 解得： 或0(舍去)， ∴， ∴， 故答案为：5 一.单选题 1．在平面直角坐标系中，点M的坐标为．以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标和直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系是解题关键． 先求出点到轴、轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出答案即可． 【详解】解：圆心到轴的距离为，到轴的距离为， ∵圆与轴相交， ∴； ∵圆与轴相离， ∴． ∴的取值范围为． 故答案为：． 2 ．如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质．圆O与相切时的角落时到达不了的地方，设，，则，，再有等积法求a的值，再求面积即可． 【详解】解：与相切时的角落是到达不了的地方， ，过点作交于点，过点作， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故不能被该圆形铁片到达的部分的面积是． 故答案为：． 3．二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 4．如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在处射门时，则有张角．如图，若， 米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为 ． 【答案】米 【分析】如图，过点作交于点，以的中点为圆心、为半径画圆，连接，可得为等腰直角三角形，且，进而得到，即得，得到，又由直角三角形的性质可得，可得点在上，由与射线相切，可知此时球员在射线上的点射门时的张角最大，且最大张角为，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，以的中点为圆心、为半径画圆，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点 ∴， ∴点在上， ∵与射线相切，， ∴可知此时球员在射线上的点射门时的张角最大，且最大张角为， ∵， ∴， ∴米， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，正确画出图形是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作：．若抛物线与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则的取值范围（用表示）为 ． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质、二次函数的图像性质．根据圆和抛物线图像的对称性可知，要满足条件，则，联立圆和抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，则该方程有且仅有一个大于且小于的根，据此即可解答． 【详解】解：可化为， 它表示动点到定点的距离为定值， 即的几何意义是以原点为圆心，为半径的圆， 抛物线的图象是关于与x轴垂直的直线对称的， 故要使抛物线和圆有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过， 则抛物线对称轴为y轴，即，，图像可能是： ①  或②  ， 由得，代入得， 即（*）， 则，则， 此时方程（*）的根为， ①，解得； ②，解得； 综上，或． 二.填空题 6．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 7．已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形内切圆，绝对值的非负性，乘方的非负性，求算术平方根． 由绝对值和平方的非负性可得a和b的值，再根据勾股定理确定斜边长，分斜边为c和b两种情况讨论，利用内切圆半径结合等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 设第三边为c，的内切圆半径长为， 当c是斜边时，，则， 解得：； 当b是斜边时，同理可得； 故答案为：1或． 8．如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 【答案】 【分析】该题考查了切线的性质，一次函数与几何综合，得出点的运动轨迹是解题的关键． 根据题意得出点的运动轨迹为以4为半径的，得出当的图象与只有1个交点时，即与的图象相切，根据等面积法求解即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， ∴，且， 故点的运动轨迹为以4为半径的， 在中，令，则，即， 令，则，即， 则， 当的图象与只有1个交点时， 即与的图象相切， 此时， 如图，则，即， 解得：， 故答案为：． 9．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出，设与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图，    设与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 10．如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了内切圆的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质．设的半径为，利用面积法结合内切圆的性质求得，连接，，作于点，利用垂径定理结合勾股定理求得，过点F作交于点M，过点G作交于点N，求得，当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，设的半径为，设与内切圆的切点分别为，连接，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 连接，，作于点， ∴，， ∵点、是的三等分点的其中两点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题可知， 过点F作交于点M，过点G作交于点N，如图， 则 ， 当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值， 此时共线，即为直径的长， ∴，即为面积最大值． 三.解答题 11．已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)①直径所对的圆周角是直角；②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，切线的判定定理． （1）根据题目中的叙述，利用尺规作图即可； （2）根据“直径所对的圆周角是直角”以及“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”进行证明即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：连接， 为的直径，A，B在上， （直径所对的圆周角是直角）. 半径，半径 直线，为的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. 故答案为：①直径所对的圆周角是直角；②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 12．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与抛物线交于点M ． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与轴的交点是D，在线段上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线于点F，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出顶点，从而可得直线的表达式是，进而可得，，求出得出，再由平行四边形的性质即可得解； （3）由等腰直角三角形的性质可得．，由图并结合圆周角定理可得，，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，设函数为：， 把代入得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：存在． 如图：连接、， ∵， 顶点， 设直线的表达式为， 将，代入表达式可得， 解得：，                       ∴直线的表达式是．       在中，令，得，解得． ∴， ∵， 在中，令，得，解得，， ， ． ， 四边形为平行四边形，此时； （3）解：是等腰直角三角形．                理由：在中，令，得，令，得． 直线与坐标轴的交点是，． ， ． 点， ． ．      由图并结合圆周角定理可得，． ，且．                是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊的四边形问题，二次函数综合—特殊的三角形问题，圆周角定理，一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．如图1，将的顶点放在上，边与相切于点，边与交于点．已知的直径为8． (1)如图1，过点作于点，求的长度； (2)从图1的位置开始，将绕点顺时针旋转，设旋转角为． ①如图2，当经过圆心时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，直接写出点到边的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)①与相切，理由见解析；② 【分析】本题考查切线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，利用勾股定理即可求出的长； （2）①过点作于点，根据角的直角三角形的性质可以得到，即可得到结论；②由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算解题即可． 【详解】（1）解：连接， 边与相切于点， ， 又， ， ， ； （2）解：①与相切，理由为： 过点作于点， ，， ， ， ， ， 与相切； ②如图，当点O、C、B三点共线时，h最大，这时； 如图，当点O在上时，h最小，这时； ∴在旋转过程中，h的取值范围为． 14．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． (1)求这个抛物线的表达式． (2)当与相切时求出点坐标． (3)在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）代入的坐标到，利用待定系数法即可求解； （2）分2种情况讨论：①当点在点的右侧；②当点在点的左侧，利用切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点即可解决问题； （3）由题意得，分2种情况讨论：①当点在轴下方时，取点，连接，过点作于点，则，利用三线合一性质得到，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，再联立直线和抛物线的解析式求出此时点的坐标；②当点在轴上方时，作点关于轴的对称点，则，同理①的方法求出此时点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：将，，代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①当点在点的右侧，连接、，如图， ∵，， ∴，， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 即， ∴点坐标为； ②当点在点的左侧，作轴于点，与轴交于点，连接，如图， 由①得，，， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为或； （3）解：由（2）得，当点坐标为时，，不符合题意； 点坐标为时，，符合题意； ∴； ①当点在轴下方时， 取点，连接，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ②当点在轴上方时， 作点关于轴的对称点，如图， 则，， 同理可得，直线的解析式为， ∵， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ∴综上所述，存在点使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、轴对称的性质，运用分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 15．在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． (2)如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或 【分析】（1）①利用勾股定理求出，推出点在上，由图可知交于点，再根据“点A关联三角形”的定义即可说明；②当点A在y轴右侧时，先过点C作的切线，连接，可知，和，过点A作轴于H，可求得，再由对称性可得点A的横坐标取值范围为，即可求解； （2）由题意可得线段和除点A外不与有交点，当与相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当时，线段除点A外不与有交点；当点B恰好在上，即点B在处，记作点，结合为等边三角形，求得，过点作轴于G，进一步求得，在上取一点M，连接，使得，可求得，，则，在中利用勾股定理可求得，则有，即可得到m的取值范围； （3）分三种情况讨论：①当与有交点，直到点落在上时；②当与相切时；③当与相交时，且点在内，分别求出三种情况的临界的值，再结合图象动态分析即可得出r的取值范围． 【详解】（1）解：①如图， ∵， ∴， ∴， 又∵的半径为1， ∴点在上， ∵交于点， ∴为的“点A关联三角形”； ②过点C作的切线，连接， 当点A在y轴右侧时，则，， ∴， 过点A作轴于H， 则， ∴， ∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得， ∴， ∴a的最小值为； 故答案为：； （2）解：如图2， ∵为的“点A关联三角形”， ∴线段和除点A外不与有交点， 当与相切时， ∴轴，此时，点A的横坐标为1， 则点C的横坐标为1，即， ∴时，线段除点A外不与有交点； 当点B恰好在上，即点B在处，记作点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， 过点作轴于G， ∴，， ∴， 在上取一点M，连接，使得， ∴， 在中，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴时，线段除点A外不与有交点； ∴综上所述，m的取值范围为； （3）解：∵为的“点A关联三角形”， ∴分如下情况讨论： ①当与有交点，直到点落在上时， ∵直线与在第一象限的交点为A， ∴， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 解得，此时不满足题意， ∴； ②当与相切时，如图， 由图可知，点与点重合， ∵， ∴， ∴， 当时，与有两个交点，不符合题意， ∴； ③当与相交时，且点在内，即， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 同理可证， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴点在外， ∴与必有一个交点，符合题意， ∴； ∴综上所述，r的取值范围为或． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度直角三角形、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点和分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $