期末复习11弧长和扇形面积期末必备冲刺讲义(知识梳理+题型精析+备考强化通关)2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过表格梳理、公式推导与易错点辨析构建弧长和扇形面积知识体系，涵盖弧长公式、扇形面积、圆锥圆柱侧面积等核心知识点，用对比表格呈现圆锥与圆柱的区别，公式大全汇总关键公式，突出圆锥侧面积等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的弧长计算到综合的旋转扫过面积问题，每种题型配典例与跟踪训练，如弓形面积计算培养推理意识，圆锥展开图问题发展空间观念，帮助不同学生掌握方法，教师可据此实施精准分层教学。

期末复习11弧长和扇形面积期末必备冲刺讲义 1.理解弧长和扇形面积公式的推导过程，熟练掌握两个核心公式的结构和适用条件； 2.能运用弧长公式、扇形面积公式解决与圆相关的计算问题（如弧长计算、扇形面积计算、阴影部分面积计算等）； 3.结合圆的性质、圆心角与圆周角关系等知识，解决综合性几何问题，提升知识迁移和综合应用能力。 期末必备 知识点梳理 1.弧长公式(核心基础) 2.扇形面积(核心重点) 3.圆锥的侧面积与全面积(重点+难点) 4.圆柱的侧面积与全面积 5.核心考点汇总与解题方法 6.公式大全(期末速查) 常考题型 精讲精炼 1.求弧的长度 2.求解扇形的半径 3.确定扇形的圆心角 4.计算扇形的面积 5.求图形旋转后扫过区域的面积 6.计算不规则图形的面积 7.求解圆锥侧面积 8.确定圆锥底面半径 9.计算圆锥的高 10求圆锥侧面展开图的圆心角 期末备考 强化通关 通关(16题) 【知识点01.弧长公式】 1.公式推导（从圆周长到弧长） 圆的周长C=2πR（R为半径）。圆心角为n∘的弧，占整个圆的比例为，因此 弧长l=×2πR= 2. 核心公式与参数 l=（l：弧长；n：圆心角度数；R：圆的半径）。 参数关系：已知任意两个量，可求第三个量 3. 关键注意事项（易混点辨析） 注意点 说明 示例 n的单位 计算时不带 “°”，仅为数值 圆心角 45°，代入公式用 45 而非 45° 圆心角单位转换 若为弧度，需先转度数（1 弧度≈57.3°） 圆心角弧度（90°），按 90 代入 弧相关概念区分 弧的度数≠弧长；同圆 / 等圆中，等弧⇨等度数 + 等弧长；不同圆中，度数相等弧长不一定相等 半径 2 的圆中 60°弧长，半径 1 的圆中 60°弧长​ 结果表示 未指定精度时，保留π；指定精度按要求取近似值 弧长计算结果可写成3π或 9.42（π 取 3.14） 4. 应用场景 (1)基础计算：已知半径、圆心角求弧长，或逆向求解。 (2)阴影部分周长：组合图形中含弧的周长，需加直线段长度。 (3)实际问题：车轮滚动距离、弯道长度、钟表指针扫过的弧长等。 【知识点02.扇形面积】 1. 扇形定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形，是圆的一部分。 2. 公式推导与核心公式 推导依据 圆的面积 S=πR2，圆心角n∘的扇形面积占圆面积的；结合弧长公式可推导弧长关联式。 两个核心公式 (1)角度式：S扇形=（n：圆心角度数，R：扇形半径）。 (2)弧长式：S扇形=lR（l：扇形弧长，R：扇形半径），推导：将l=代入角度式，化简得××R=lR。 公式变形 *由角度式得n=，R=​​。 *由弧长式得l=，R=​。 3. 拓展：弓形面积（高频考点） 弓形是由弦及其所对的弧组成的图形，面积分三种情况： 弓形类型 面积公式 说明 劣弧弓形（弧 < 半圆） S弓形=S扇形−S三角形​ 三角形为扇形两条半径与弦组成的等腰三角形 优弧弓形（弧 > 半圆） S弓形=S扇形+S三角形​ 扇形为优弧对应的扇形 半圆弓形（弧 = 半圆） S弓形=πR2 此时三角形面积为 0 易错点 1.混淆扇形半径与弦长，公式中用弦长代入导致错误。 2.计算组合图形面积时，漏算或多算部分图形（如扇形减三角形时算成加）。 3误用公式：已知弧长时用角度式，增加计算量且易出错。 【知识点03.圆锥的侧面积与全面积】(重点+难点) 1.圆锥核心概念 概念 定义 符号 数量关系 母线 顶点到底面圆周上任意一点的线段 l 圆锥的所有母线长相等 高 顶点到底面圆心的垂线段 h r2+h2=l2（勾股定理，r为底面半径） 底面半径 底面圆的半径 r 底面周长C=2πr 2. 侧面展开图与对应关系 圆锥侧面展开图是扇形，关键对应： *扇形弧长 = 圆锥底面圆周长（l弧=2πr）。 *扇形半径 = 圆锥母线长（R=l）。 *扇形圆心角n：由=2πr，得n=。 3. 核心公式推导与应用 面积类型 公式 推导过程 应用场景 侧面积 S侧=πrl 扇形面积l弧R=×2πr×l=πrl 求圆锥侧面用料、侧面积大小 全面积 S=πrl+πr2 侧面积+底面圆面积（S底=πr2） 圆锥表面积、容器用料等 4. 常见题型与易错点 题型：已知母线、底面半径、高，求侧 / 全面积；已知侧面积，求母线或底面半径；结合勾股定理求未知量。 易错点： 1.混淆母线l与底面半径r，公式中代错参数。 2.计算全面积时漏加底面圆面积。 3.侧面展开图圆心角计算时，记错弧长与底面周长的关系。 【知识点04.圆柱的侧面积与全面积】 1.圆柱核心概念 *母线：圆柱侧面上平行于轴的线段，长度等于圆柱的高h。 *底面半径r：底面圆的半径，底面周长C=2πr。 2. 侧面展开图与面积公式 *侧面展开图：矩形，长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高。 *侧面积：S侧=2πrh。 *全面积：S全=2πrh+2πr2（侧面积 + 两个底面圆面积）。 3. 圆柱与圆锥的区别（对比记忆） 图形 侧面展开图 侧面积公式 全面积公式 关键数量关系 圆锥 扇形 πrl πrl+πr2 r2+h2=l2 圆柱 矩形 2πrh 2πrh+2πr2 母线长 = 高 【知识点05.核心考点汇总与解题方法】 1. 核心考点 (1).弧长、扇形面积的基础计算与逆向求解。 (2).组合图形（含弧、扇形、弓形）的周长与面积。 (3).圆锥、圆柱的侧面积与全面积计算，结合勾股定理的综合题。 (4).实际应用题（如蒙古包、漏斗、烟囱、车轮等）。 2. 解题步骤 (1)审题：明确已知量、未知量，区分图形类型（弧、扇形、圆锥等）。 (2)选公式：根据已知条件选择合适的公式（如已知弧长用扇形面积弧长式）。 (3)代参数：注意参数单位统一，代入正确数值。 (4)计算：分步计算，避免步骤错误；结果按要求表示。 (5)检验：检查公式应用、参数代入、计算过程是否正确。 【知识点06.公式大全】(期末速查) 图形 / 概念 公式 适用条件 弧长 l= n为圆心角度数，R为半径 扇形面积 S=360；S=lR n为圆心角度数，R为半径，l为弧长 圆锥侧面积 S侧=πrl r为底面半径，l为母线长 圆锥全面积 S全=πrl+πr2 r为底面半径，l为母线长 圆柱侧面积 S侧=2πrh r为底面半径，h为高 圆柱全面积 S全=2πrh+2πr2 r为底面半径，h为高 圆锥展开图圆心角 n=​ r为底面半径，l为母线长 【题型1.计算弧的长度.】 【典例】如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 【跟踪训练2】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 【题型2.求解扇形的半径】 【典例】已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 【跟踪训练1】图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 【题型3.确定扇形的圆心角】 【典例】如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【跟踪训练2】在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4.计算扇形的面积】 【典例】在直径为12的圆中，圆心角为的扇形的面积等于 （结果保留） 【跟踪训练1】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练2】半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为 ． 【题型5.求图形旋转后扫过区域的面积】 【典例】如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为 平方米． 【跟踪训练2】如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【题型6.计算不规则图形的面积】 【典例】如图，在扇形AOB中，，半径，点是AO的中点过点作交于点，过点作，垂足为点．图中阴影部分的面积是 ． 【跟踪训练1】如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为2，，将纸片沿、折叠，交于点，图中阴影部分面积为 ． 【题型7.求解圆锥的侧面积】 【典例】广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为 cm2． 【跟踪训练2】把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 【题型8.确定圆锥的底面半径】 【典例】若圆锥的母线长为30，侧面积是，则这个圆锥的底面半径为 ． 【跟踪训练1】用半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是，则该圆锥的底面周长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ． 【题型9.计算圆锥的高】 【典例】妙想要测量圆锥的高，下面四种方法中正确的是（ ）． A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，圆锥的底面，侧面展开图扇形的圆心角为，则此圆锥的高 ． 【跟踪训练2】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【题型10.求圆锥侧面展开图的圆心角】 【典例】圆锥的底面半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【跟踪训练1】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 1．一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺 ． 2．一个底面直径为12的圆锥体沿着它的高切开，表面积增加了120，则这个圆锥的体积是 （保留）． 3．如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 4．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 5．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A． B．2 C． D． 7．如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（    ） A．使扇形的圆心角为 B．使扇形的圆心角为 C．使扇形所在圆的半径等于 D．使扇形所在圆的半径等于 8．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为 ． 10．如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标； (3)在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)． 12．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 13．小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 14．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 15．如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接，恰好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 16．如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习11弧长和扇形面积期末必备冲刺讲义 1.理解弧长和扇形面积公式的推导过程，熟练掌握两个核心公式的结构和适用条件； 2.能运用弧长公式、扇形面积公式解决与圆相关的计算问题（如弧长计算、扇形面积计算、阴影部分面积计算等）； 3.结合圆的性质、圆心角与圆周角关系等知识，解决综合性几何问题，提升知识迁移和综合应用能力。 期末必备 知识点梳理 1.弧长公式(核心基础) 2.扇形面积(核心重点) 3.圆锥的侧面积与全面积(重点+难点) 4.圆柱的侧面积与全面积 5.核心考点汇总与解题方法 6.公式大全(期末速查) 常考题型 精讲精炼 1.求弧的长度 2.求解扇形的半径 3.确定扇形的圆心角 4.计算扇形的面积 5.求图形旋转后扫过区域的面积 6.计算不规则图形的面积 7.求解圆锥侧面积 8.确定圆锥底面半径 9.计算圆锥的高 10求圆锥侧面展开图的圆心角 期末备考 强化通关 通关(16题) 【知识点01.弧长公式】 1.公式推导（从圆周长到弧长） 圆的周长C=2πR（R为半径）。圆心角为n∘的弧，占整个圆的比例为，因此 弧长l=×2πR= 2. 核心公式与参数 l=（l：弧长；n：圆心角度数；R：圆的半径）。 参数关系：已知任意两个量，可求第三个量 3. 关键注意事项（易混点辨析） 注意点 说明 示例 n的单位 计算时不带 “°”，仅为数值 圆心角 45°，代入公式用 45 而非 45° 圆心角单位转换 若为弧度，需先转度数（1 弧度≈57.3°） 圆心角弧度（90°），按 90 代入 弧相关概念区分 弧的度数≠弧长；同圆 / 等圆中，等弧⇨等度数 + 等弧长；不同圆中，度数相等弧长不一定相等 半径 2 的圆中 60°弧长，半径 1 的圆中 60°弧长​ 结果表示 未指定精度时，保留π；指定精度按要求取近似值 弧长计算结果可写成3π或 9.42（π 取 3.14） 4. 应用场景 (1)基础计算：已知半径、圆心角求弧长，或逆向求解。 (2)阴影部分周长：组合图形中含弧的周长，需加直线段长度。 (3)实际问题：车轮滚动距离、弯道长度、钟表指针扫过的弧长等。 【知识点02.扇形面积】 1. 扇形定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形，是圆的一部分。 2. 公式推导与核心公式 推导依据 圆的面积 S=πR2，圆心角n∘的扇形面积占圆面积的；结合弧长公式可推导弧长关联式。 两个核心公式 (1)角度式：S扇形=（n：圆心角度数，R：扇形半径）。 (2)弧长式：S扇形=lR（l：扇形弧长，R：扇形半径），推导：将l=代入角度式，化简得××R=lR。 公式变形 *由角度式得n=，R=​​。 *由弧长式得l=，R=​。 3. 拓展：弓形面积（高频考点） 弓形是由弦及其所对的弧组成的图形，面积分三种情况： 弓形类型 面积公式 说明 劣弧弓形（弧 < 半圆） S弓形=S扇形−S三角形​ 三角形为扇形两条半径与弦组成的等腰三角形 优弧弓形（弧 > 半圆） S弓形=S扇形+S三角形​ 扇形为优弧对应的扇形 半圆弓形（弧 = 半圆） S弓形=πR2 此时三角形面积为 0 易错点 1.混淆扇形半径与弦长，公式中用弦长代入导致错误。 2.计算组合图形面积时，漏算或多算部分图形（如扇形减三角形时算成加）。 3误用公式：已知弧长时用角度式，增加计算量且易出错。 【知识点03.圆锥的侧面积与全面积】(重点+难点) 1.圆锥核心概念 概念 定义 符号 数量关系 母线 顶点到底面圆周上任意一点的线段 l 圆锥的所有母线长相等 高 顶点到底面圆心的垂线段 h r2+h2=l2（勾股定理，r为底面半径） 底面半径 底面圆的半径 r 底面周长C=2πr 2. 侧面展开图与对应关系 圆锥侧面展开图是扇形，关键对应： *扇形弧长 = 圆锥底面圆周长（l弧=2πr）。 *扇形半径 = 圆锥母线长（R=l）。 *扇形圆心角n：由=2πr，得n=。 3. 核心公式推导与应用 面积类型 公式 推导过程 应用场景 侧面积 S侧=πrl 扇形面积l弧R=×2πr×l=πrl 求圆锥侧面用料、侧面积大小 全面积 S=πrl+πr2 侧面积+底面圆面积（S底=πr2） 圆锥表面积、容器用料等 4. 常见题型与易错点 题型：已知母线、底面半径、高，求侧 / 全面积；已知侧面积，求母线或底面半径；结合勾股定理求未知量。 易错点： 1.混淆母线l与底面半径r，公式中代错参数。 2.计算全面积时漏加底面圆面积。 3.侧面展开图圆心角计算时，记错弧长与底面周长的关系。 【知识点04.圆柱的侧面积与全面积】 1.圆柱核心概念 *母线：圆柱侧面上平行于轴的线段，长度等于圆柱的高h。 *底面半径r：底面圆的半径，底面周长C=2πr。 2. 侧面展开图与面积公式 *侧面展开图：矩形，长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高。 *侧面积：S侧=2πrh。 *全面积：S全=2πrh+2πr2（侧面积 + 两个底面圆面积）。 3. 圆柱与圆锥的区别（对比记忆） 图形 侧面展开图 侧面积公式 全面积公式 关键数量关系 圆锥 扇形 πrl πrl+πr2 r2+h2=l2 圆柱 矩形 2πrh 2πrh+2πr2 母线长 = 高 【知识点05.核心考点汇总与解题方法】 1. 核心考点 (1).弧长、扇形面积的基础计算与逆向求解。 (2).组合图形（含弧、扇形、弓形）的周长与面积。 (3).圆锥、圆柱的侧面积与全面积计算，结合勾股定理的综合题。 (4).实际应用题（如蒙古包、漏斗、烟囱、车轮等）。 2. 解题步骤 (1)审题：明确已知量、未知量，区分图形类型（弧、扇形、圆锥等）。 (2)选公式：根据已知条件选择合适的公式（如已知弧长用扇形面积弧长式）。 (3)代参数：注意参数单位统一，代入正确数值。 (4)计算：分步计算，避免步骤错误；结果按要求表示。 (5)检验：检查公式应用、参数代入、计算过程是否正确。 【知识点06.公式大全】(期末速查) 图形 / 概念 公式 适用条件 弧长 l= n为圆心角度数，R为半径 扇形面积 S=360；S=lR n为圆心角度数，R为半径，l为弧长 圆锥侧面积 S侧=πrl r为底面半径，l为母线长 圆锥全面积 S全=πrl+πr2 r为底面半径，l为母线长 圆柱侧面积 S侧=2πrh r为底面半径，h为高 圆柱全面积 S全=2πrh+2πr2 r为底面半径，h为高 圆锥展开图圆心角 n=​ r为底面半径，l为母线长 【题型1.计算弧的长度.】 【典例】如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【详解】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 【跟踪训练1】如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为，半径为2的弧的和，据此即可求解． 【详解】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是． 故答案为： 【跟踪训练2】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故选：D． 【题型2.求解扇形的半径】 【典例】已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式 代入已知数值求解． 【详解】由题意，圆心角 ，弧长 ，代入弧长公式： ， ，， 解得：． 故答案为：6． 【跟踪训练1】图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 【跟踪训练2】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为， 故答案为． 【题型3.确定扇形的圆心角】 【典例】如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 【跟踪训练1】在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 【跟踪训练2】在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长所对的圆心角度数，圆周角定理，根据弧长公式求出圆心角，再根据圆周角定理求出圆周角的度数即可． 【详解】解：设圆心角度数为， ∵ 弧长，其中，， 解得， ∴ 圆周角的度数； 故选B 【题型4.计算扇形的面积】 【典例】在直径为12的圆中，圆心角为的扇形的面积等于 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，扇形面积等于扇形圆心角度数乘以圆周率，再乘以半径的平方，最后除以360，据此求解即可． 【详解】解：∵圆的直径为12， ∴半径为． ∵扇形圆心角为， ∴扇形面积为， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，设与交于点，的半径为，根据得到为等边三角形，根据垂径定理得到，然后证明，得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径，交于，两点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【跟踪训练2】半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 【题型5.求图形旋转后扫过区域的面积】 【典例】如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 【跟踪训练1】作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为 平方米． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出木棍扫过的区域是扇形，并利用扇形面积公式求解． 确定木棍扫过的图形为圆心角、半径1米的扇形，代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：木棍扫过的区域是扇形，圆心角为，半径为米， 扇形面积公式为，代入得（平方米）． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【点睛】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 【题型6.计算不规则图形的面积】 【典例】如图，在扇形AOB中，，半径，点是AO的中点过点作交于点，过点作，垂足为点．图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积公式，掌握扇形面积是解题的关键． 根据题意，由图形对称性可知，阴影部分面积为扇形的面积，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】点是AO的中点，且， ，即， ， ， ， ， 又， 所以四边形为矩形， 则与的面积相等， 故阴影部分面积为扇形的面积， ． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 【跟踪训练2】如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为2，，将纸片沿、折叠，交于点，图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、，由折叠得，利用，求出，，得到，，同理：，证明，推出，得到弓形与弓形的面积相等，利用阴影的面积代入数值计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、， 由折叠得， ， ，， ，， ，， ，， 同理：， ， ，， ∴ ， ， ， 弓形与弓形的面积相等， 阴影的面积 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键． 【题型7.求解圆锥的侧面积】 【典例】广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 【跟踪训练1】若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为 cm2． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积与扇形面积的关系，解题的关键在于理解圆锥的侧面积等于其侧面展开图（本题为半圆形）的面积，圆锥的侧面积等于半圆形纸片的面积，根据圆的面积公式，计算圆的面积，再乘以计算半圆面积即可． 【详解】半圆形纸片的半径为，其面积为，因此圆锥的侧面积为． 故答案为． 【跟踪训练2】把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥的体积计算，掌握 “沿底面直径分割圆锥后增加的表面积是两个三角形的面积” 是解题的关键．圆锥沿底面直径分割后，增加的表面积是两个等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高．据此可求出底面直径，再计算圆锥体积． 【详解】解：∵表面积增加，为两个等腰三角形面积之和， ∴每个三角形面积（平方厘米）， ∵圆锥的高是6厘米， ∴截面的三角形的高为6厘米， ∴底面直径为（厘米）， ∴底面半径（厘米）， ∵圆锥体积（立方厘米）， 故圆锥的体积为立方厘米． 故选：B． 【题型8.确定圆锥的底面半径】 【典例】若圆锥的母线长为30，侧面积是，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算公式：是解题的关键． 根据圆锥的侧面积的计算公式：，将数据代入求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为侧面积，为底面半径，为母线长， 已知，，代入公式得： ，解得． 故答案为：10． 【跟踪训练1】用半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是，则该圆锥的底面周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、勾股定理，扇形半径作为圆锥母线，与圆锥高和底面半径构成直角三角形，利用勾股定理求底面半径，再求底面周长． 【详解】解：如下图所示， 圆锥母线，高， 底面半径满足， 即， 解得：， 底面周长． 故选：D． 【跟踪训练2】用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=． 故答案是：10． 【题型9.计算圆锥的高】 【典例】妙想要测量圆锥的高，下面四种方法中正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了测量圆锥的高，熟练掌握圆锥的高是圆锥顶点到底面的距离，而垂线段最短，确定测量圆锥高的方法，是解题的关键． 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，根据圆锥的高的概念进行判断． 【详解】解：测量圆锥高时要先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离，该距离即为圆锥的高，这种测量方法是正确的． 故答案为：D． 【跟踪训练1】如图，圆锥的底面，侧面展开图扇形的圆心角为，则此圆锥的高 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的母线长．圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是2， ∴圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开后所得的扇形的弧长是， ∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为 ∴侧面展开后所得的扇形的半径为： ∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径， ∴圆锥的母线长度为， ∴此圆锥的高 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【题型10.求圆锥侧面展开图的圆心角】 【典例】圆锥的底面半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得 解得， 故答案为：150． 【跟踪训练1】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为．根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，可建立方程求出母线长．再利用扇形弧长等于底面周长，即可求出圆心角． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意，得： ∴． 又∵，将代入得： ∴； 故选D． 【跟踪训练2】如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 【答案】120 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 1．一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生运用圆锥体积公式解决实际问题的能力． 先根据底面周长求出底面半径，再计算圆锥体积，最后利用长方体的体积公式进一步计算即可求解． 【详解】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是， 底面半径 ， 圆锥体积 ． 铺路厚度， 设能铺长， 长方体体积， 即， ． 故答案为：． 2．一个底面直径为12的圆锥体沿着它的高切开，表面积增加了120，则这个圆锥的体积是 （保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算等知识，熟知圆锥相关概念是解题关键．根据题意得到一个圆锥体沿着它的高切开，切面是两个完全相同的三角形，每个三角形的底为圆锥的底面直径，三角形的高为圆锥的高，据此求出圆锥的高为10，再根据圆锥的体积公式即可求解． 【详解】解：由题意得表面积增加的两个三角形的面积， ∴圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为： 3．如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的圆心角，根据弧长等于底面圆周长列方程计算即可得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故答案为：． 4．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 5．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 6．如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】解：如图， 路程， 故选：C． 7．如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（    ） A．使扇形的圆心角为 B．使扇形的圆心角为 C．使扇形所在圆的半径等于 D．使扇形所在圆的半径等于 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是关键．设扇形的半径为R，则扇形的弧长为，可表示扇形的面积，根据二次函数的性质即可判定选项C满足题意． 【详解】解：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为，则扇形的面积为： S， ， 由二次函数的图象与性质可知，当时，扇形面积取到最大值， ． 故选：C． 8．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【详解】先求出圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，再利用弧长公式求得圆锥的母线长，进而根据扇形面积公式计算即可． 本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，圆周长公式，扇形弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键． 【解答】解：设该圆锥的母线长为l． 由题意，得． ∴（cm）， ∴． 故答案为：． 10．如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则，证明．，得到， 根据，解答即可． 【详解】解：设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，扇形的面积，熟练掌握判定和性质，扇形面积公式，切线性质是解题的关键． 11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标； (3)在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)图见解析，点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据旋转的性质可进行作图； （3）根据（2）及扇形面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： ∴由坐标系可知：点的坐标为； （2）解：所作如图所示；点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴线段所扫过的面积为． 12．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 13．小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 14．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2)他的猜想正确．理由见解析 (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． 15．如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接，恰好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，同时还考查了弧长公式，扇形的面积公式（其中为圆心角的度数，为圆的半径），等边三角形面积的计算等，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，弧长、扇形面积计算公式是解题的关键． （1）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到，结合已知条件得到为等腰三角形，同时根据直径所对的圆周角是直角，得到是等腰三角形底边的高,在根据等腰三角形三线合一证得； （2）根据弧长公式计算得到圆心角的度数，利用扇形面积公式计算得到扇形面积，同时求得等边三角形的面积，最终求得弧与所围成部分的面积． 【详解】（1）证明：∵所对应的圆周角为和，同时， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵为的直径， ∴，即， ∴是等腰三角形底边的高，也是中线， ∴． （2）解：连接，如下图所示， ∵直径， ∴圆的半径， ∴， ∴圆心角， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为， ∴弧与所围成部分的面积为扇形与面积之差，即． 答：弧与所围成部分的面积为． 16．如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)5 (2)（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得 故答案为：； （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形是矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $