期末复习07 旋转期末必备冲刺讲义(2)(知识梳理+题型精析+备考强化通关)2025-2026学年人教版九年级年级数学上册

该初中数学讲义通过表格对比、分类梳理构建旋转单元知识体系，用定义性质表呈现中心对称图形的核心要素，以对称点坐标规律对比表明晰变换逻辑，结合中心对称与中心对称图形的区别联系表，突出对称中心确定、坐标变换等重难点的内在关联。 讲义亮点在于“定义辨析-性质应用-图案设计”分层练习设计，如方格图补全中心对称图形题型培养空间观念，旋转对称图形最小旋转角求解题强化推理意识，易错点提醒助力规避认知误区，14道强化通关题支持分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

期末复习07 旋转期末必备冲刺讲义(2) 期末必备 知识点梳理 1.中心对称图形定义及性质 2..中心对称图形判定方法 3.关于原点对称的点的坐标 4.对称点坐标规律对比 5.图案设计核心原理及步骤 6..易错点及注意事项 常考题型 精讲精炼 1.中心对称图形的判定方法 2.中心对称图形的对称中心确定技巧 3.方格图中补全中心对称图形的画法 4.中心对称图形的规律探究问题 5平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标求法. 6.已知两点关于原点对称的参数求解 7.结合平移.轴对称.旋转.中心对称的图案设计 8.旋转对称图形的最小旋转角度求解 期末备考 强化通关 (14题) 【知识点01.中心对称图形定义及性质】 1.核心定义 把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2.关键性质 (1)图形上每一对对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 (2)中心对称图形是特殊的全等图形，旋转前后图形的形状、大小均不变。 3.常见中心对称图形及对称中心 图形 对称中心 备注 平行四边形（含矩形、菱形、正方形） 两条对角线的交点 矩形、菱形、正方形同时也是轴对称图形 圆 圆心 同时是轴对称图形，有无数条对称轴 线段 线段的中点 - 正偶数边形（如正四边形、正六边形） 对角线的交点 同时是轴对称图形 4.中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 本质 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的特殊性质 对称点位置 在两个不同图形上 在同一个图形上 联系 若把中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形 【知识点02.中心对称图判定方法】 1. 核心判定法（定义法） 找一个点，将图形绕该点旋转180°，若旋转后的图形与原图形重合，就是中心对称图形，这个点是对称中心。 步骤： ① 找潜在对称中心（如对角线交点、圆心、线段中点）； ② 旋转180°验证重合性。 2. 常见图形快速判定 是：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、正偶数边形（正四边形、正六边形等） 不是：正三角形、正五边形等正奇数边形 3. 坐标法（平面直角坐标系） 若图形上任意点P(x,y)，关于某点的对称点仍在图形上，则是中心对称图形，常见情况： *关于原点对称：对称点(-x,-y)（最常用） *关于点O(a,b)对称：对称点(2a-x,2b-y) 【知识点03.关于原点对称的点的坐标】 1.核心规律 在平面直角坐标系中，任意一点P(x,y)关于原点对称的点P′的坐标是(−x,−y)，即横、纵坐标都互为相反数。 2.重要性质 *两点关于原点对称时，对应点到原点的距离相等。 *对应点与原点所连线段的夹角为180∘，且在同一条直线上。 3.常见应用 (1)求对称点坐标：已知点坐标，直接根据规律写出其关于原点对称的点的坐标。例如，点A(3,−4)关于原点对称的点A′的坐标为(−3,4)。 (2)判断两点对称关系：若两点横、纵坐标均互为相反数，则这两点关于原点对称。 (3)作对称图形：步骤如下 *确定原图形的关键点坐标。 *求出各关键点关于原点对称的点的坐标。 依次连接对称点，得到原图形关于原点对称的图形。 【知识点04.对称点坐标规律对比】 对称类型 点P(x,y)的对称点坐标 口诀 关于x轴对称 (x,−y) 横轴横相等，纵轴反着来 关于y轴对称 (−x,y) 纵轴纵相等，横轴反着来 关于原点对称 (−x,−y) 关于原点都改变 【知识点05.图案设计核心原理及步骤】 一.核心原理 图案设计以平移、轴对称、旋转三种全等变换为基础，三种变换均不改变图形的形状和大小，仅改变图形位置。 二.三种基本变换的对比 变换类型 定义 核心要素 关键性质 平移 将图形沿某一方向移动一定距离 平移方向、平移距离 对应点连线平行（或共线）且相等；对应线段平行（或共线）且相等 轴对称 把图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能重合 对称轴 对应点连线被对称轴垂直平分；对应点到对称轴距离相等 旋转 将图形绕着某定点转动一个角度 旋转中心、旋转方向、旋转角度 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角 三.图案设计的一般步骤 1.整体构思 (1)明确设计主题与意图，确定图案整体形状（如正方形、圆形）。 (2)选定基本图案（种类不宜过多，简洁为主）。 (3)规划变换方式（单一变换或组合变换，如先旋转后平移、先轴对称后旋转等），绘制草图。 2.详细作图：依据草图，用尺规准确作图，也可借助几何画板等工具绘制。 3.调整完善：检查图案对称性、规范性，优化细节。 四.常见设计方法 1.单一变换设计：仅用平移、轴对称或旋转一种变换生成图案，如利用平移设计地砖重复图案。 2.组合变换设计：综合运用两种或以上变换，如先旋转基本图形，再进行轴对称变换，设计复杂装饰图案。 【知识点06.易错点及注意事项】 1.中心对称图形判定时，易误将旋转角度当成其他度数，需牢记是旋转180∘。 2.求关于原点对称的点的坐标时，易遗漏横或纵坐标的符号变换，可通过画图辅助验证。 3.图案设计中，要注意基本图形的选择与变换方式的搭配，确保图案美观且符合设计主题。 【题型1.中心对称图形的判定方法】 【典例】下列图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的识别，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、、三个选项中的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，故三个选项中的图形都不是中心对称图形，不符合题意； 选项中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，该图形是中心对称图形． 故选：． 【跟踪训练1】在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【答案】线段、圆 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念作答． 【详解】解：线段、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形； 等边三角形只是轴对称图形； 平行四边形只是中心对称的图形； 故答案为：线段、圆． 【跟踪训练2】灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸属于中心对称图形的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是根据中心对称图形的定义（绕某点旋转后与原图形重合）逐一判断选项． 1． 明确中心对称图形的定义； 2． 依次将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否与原图形重合； 3． 确定符合条件的选项． 【详解】解：中心对称图形的定义是“绕某点旋转后与原图形重合”，据此分析选项∶ 选项A（灯笼）：旋转后，顶部装饰与底部形状无法重合，不是中心对称图形； 选项B（脸谱）：旋转后，图案细节（如纹路方向）会颠倒，无法与原图形重合，不是中心对称图形； 选项C（双鱼）：绕图形中心旋转后，与原图形完全重合，是中心对称图形； 选项D（花卉）：旋转后，花枝方向等细节无法重合，不是中心对称图形． 故选C． 【题型2.中心对称图形的对称中心确定技巧】 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，且被对称中线平分； 【详解】解：如图所示： 故答案为： 【跟踪训练1】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 【跟踪训练2】如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标 ； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （1）画出图形，观察坐标系即可得点D坐标； （2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图， 观察图象可知，点D的坐标为， 故答案为：； （2）点A与C对应，点B与D对应时，如图： 此时这个旋转中心的坐标为； 故答案为：． 【题型3.方格图中补全中心对称图形的画法】 【典例】如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 【答案】D 【分析】据中心对称图形的定义，依次分析，排除错误选项，选出正确选项． 【详解】解：选①、②、③中的图形无论以哪一点为中心旋转后都不能与自身重合，不是中心对称图形， 选④中的图形以方格的对角线的交点为中心旋转能与自身重合，是中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的意义．本题关键是运用中心对称图形的意义一一检验每个选项中的图形，要假定每个点为对称中心进行检验． 【跟踪训练1】.如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 ． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 【跟踪训练2】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 【题型4.中心对称图形的规律探究问题】 【典例】甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理能力，解题的关键是理解圆桌的中心对称性质．根据圆桌的中心对称性质来探讨放置硬币的策略以及获胜情况． 【详解】解：先放者把第一枚硬币放在桌面的圆心处． 因为圆桌是中心对称图形，圆心是其对称中心，这一放置具有关键意义．此后，无论后放者将硬币放在桌面的哪个位置，先放者都能依据中心对称的原理，在以圆心为对称中心的对称位置放置硬币．由于按照这样的放置方式，每次后放者放置后，先放者都能找到对应的对称位置放置，随着放置过程的持续，最终必然是先放者能够在桌面上放下最后一枚硬币， 所以先放者获胜． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次减少， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【题型5.平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标求法】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪训练1】将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．位置不变 【答案】A 【分析】此题主要考查了对称点的坐标特点，关键是熟记变化规律．关于x轴对称的点坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点坐标特点：横坐标和纵坐标皆互为相反数． 【详解】解：设图形A上任意一点为， ∵ 横坐标乘得图形B， ∴ B上点为． ∵ 将B的点横、纵坐标都乘得图形C， ∴ C上点为． ∴ A的点与C的点对应， ∵ 横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴ 图形A与图形C关于x轴对称． 故选：A． 【跟踪训练2】已知点在二次函数的图像上，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，坐标与中心对称，把代入函数解析式，求出的值，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数即可得出结果． 【详解】解：把代入，得， 则， 解得； ∴； ∴点关于原点的对称点的坐标是； 故答案为： 【题型6.已知两点关于原点对称的参数求解】 【典例】已知点与点关于原点O对称，则的值为（   ） A．1 B． C．4051 D． 【答案】A 【详解】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．掌握“关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别互为相反数”是解题关键． 根据题意可得，的值，计算的值即可． 【分析】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 【跟踪训练1】若点与点关于原点对称，抛物线经过点和点，则与的大小关系为 ．(选填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据关于原点对称的点的坐标特征，求出的值，再代入抛物线解析式，分别计算和的值，并比较大小． 【详解】解：点与点关于原点对称，因此点的坐标应为点的坐标的相反数，即． 抛物线解析式为． 当时，． 当时，． 由于，因此． 故答案为：． 【跟踪训练2】已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 【题型7.结合平移.轴对称.旋转及中心对称的图案设计】 【典例】下列图案中，可以由下边的基本图形通过中心对称变化得到的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的特点是解题关键； 图形通过中心对称变换是指这个图形绕某个点旋转 之后组成的图形，据此判断即可． 【详解】解： A和B都是通过平移得到的，故不符合题意； C．是通过绕一点旋转之后组成的图形，故符合题意； D．是通过旋转得到，但是没有，故不符合题意； 故选： C． 【跟踪训练1】如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图1，现有长，宽的、两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则、两种卡片各需要的张数可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查图形的拼接，解题的关键是正确理解题意，通过平移、旋转、轴对称或中心对称等方法拼成符合题意的正方形，即可得出答案． 【详解】解：∵用长，宽的、两种卡片各若干张拼成一个的大正方形， ∴每张卡片的面积为：， 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为， 设卡片的数量为，卡片的数量为， ∴， ∴， 为避免对角线相连，将卡片顺时针旋转使对角线为左上到右下（横向），卡片为左上到右下（纵向），如图所示， ​其中卡片（横向）共有张，卡片（纵向）共有张． 故选：A． 【题型8.旋转对称图形的最小旋转角度求解】 【典例】如图，该图案绕它的中心至少旋转 后可以和自身完全重合． 【答案】60 【分析】本题考查了旋转角．解题的关键是熟练掌握旋转中心，旋转方向，旋转角．根据图形的旋转对称性，用除以6计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故答案为：60． 【跟踪训练1】如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．如果将左上角图案绕某点O旋转后所得到的图形与原图形重合，则旋转角的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转对称图形，熟知正多边形的对称性是解题的关键． 根据五角星的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题知，若将五角星的五个外部的顶点连接起来，将得到一个正五边形． ∵， ∴当五角星绕其中心旋转整数倍的度数后，会与原图形重合． ，，， ∴旋转角的值不可能是． 故选：A． 【跟踪训练2】如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转图形，熟练掌握旋转图形的旋转角是解题的关键．根据正三角形的内角是以及旋转角即可得到答案． 【详解】解：正三角形的内角是， 如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是． 故答案为：． 一.单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的判定，解题的关键是明确两种图形的定义（轴对称图形：沿直线对折后重合；中心对称图形：绕点旋转后重合）． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，依次判断每个选项是否同时满足这两种图形的特征，进而选出正确选项． 【详解】解：：是中心对称图形，但不是轴对称图形； ：沿竖直/水平中线对折后能重合（轴对称），绕中心旋转后能重合（中心对称）； ：是轴对称图形，但不是中心对称图形； ：是轴对称图形，但不是中心对称图形． 故选B． 2．已知点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标特点、代数式求值等知识点，掌握关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题的关键． 先根据关于原点对称的点坐标的特点确定a、b的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，这是的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此即可得出答案． 【详解】解：由图形可得当选择①③时，它与阴影部分组成的图形是中心对称图形， 故选：B． 4．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据题干中的操作顺序求得，，，，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为C，D． 由题意得知，和都是等边三角形， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵与关于原点对称，如图， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． 观察可知，点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期． ∵， ∴点的坐标与点的相同，为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律．熟练掌握图形的旋转与中心对称，等边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 二.填空题 6．和点关于 对称． 【答案】原点 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握两个点关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数． 根据和点横纵坐标均互为相反数，即可确定和点关于原点对称． 【详解】解：∵和点横纵坐标均互为相反数， ∴和点关于原点对称， 故答案为：原点． 7．一个正方形要绕它的中心至少旋转 ，才能与原来的图形重合． 【答案】90 【分析】本题考查了旋转角的定义及求法，解题关键是利用正方形对称轴数量，结合旋转一周的度数，求出使图形重合的最小旋转角度。 正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答即可． 【详解】解：∵正方形绕中心旋转时，由于其具有4条对称轴，绕中心旋转一周是，且旋转后能与自身重合的角度间隔是相等的． ∴， ∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：90． 8．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 9．如图，可以看成由经过怎样的图形变换得到？下列结论：次平移；次轴对称；一次旋转；次平移和次轴对称．其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移、轴对称、旋转的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平移、轴对称、旋转的定义判断即可． 【详解】解：将向右下平移，再经过轴对称即可得到， 故答案为：． 三,解答题 10．如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．点A，B，D都是格点，点C是网格线上的一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示，每问的画线不超过四条． (1)在图（1）中，先画的中点O，再画出B点关于O点成中心对称的点D； (2)在图（2）中，先在线段上画点E，使得，再在线段上画点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，利用相关概念进行画图是解题的关键． （1）先取利用格线平分的性质，画出 的中点O，再连接并延长交第6条格子竖线于点即可； （2）取点，连接并延长交于点，取点，连接交于点，利用勾股定理和三角形内角和进行转化即可说明． 【详解】（1）解：如图，点O即为的中点，再连接并延长交第6条格子竖线于点， ， （2）解：如图，取点，连接并延长交于点，取点，连接交于点，即为所求， ， 理由：连接， 根据勾股定理可得，， ， 为等腰直角三角形， ，即； 取点可得为等腰直角三角形， ， , ． 11．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． (2)正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 【答案】(1)①② (2)正十五边形 【分析】本题考查正多边形的性质和图形旋转的性质： （1）根据题意求出，其中n为正多边形的边数，120°能被整除则满足题意； （2），要满足题意，则可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍． 【详解】（1）解：如图： ，，， 能被整除，不能被整除， ∴①等边三角形和②正六边形是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°． 故答案为：①②； （2）②，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍，如正十五边形． 故答案为：正十五边形． 12．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)“中心对称”函数的解析式为： (2)抛物线的表达式为： (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中． （1）由新定义即可求解； （2）求出，得到抛物线的表达式为：，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：， 则该函数的顶点坐标为：， 则该顶点关于的对称点为， 则“中心对称”函数的解析式为：； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 则顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时， 即， 则抛物线在时，取得最大值为2， 即， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）如下图： 设点、、的横坐标分别为：设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H， 则点的坐标为：，，点H的坐标为：， 根据点关于中心对称，点的横坐标， 由点、的坐标得，， 则， 若， 即， 整理得：， 当四边形为矩形时，则， ， ， 则， 而， 则， 整理得：， 将代入上式得： 解得：（舍去）， 即． 13．如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①点P的坐标为，点Q的坐标为；②16 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题． （1）将点和点代入即可求解； （2）设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为，即可得到抛物线的解析式为； （3）①通过联立方程组，求点P和Q的坐标； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，先求出直线的解析式为，设，，则，，求出当时，有最大值4，当时，有最大值4，再根据，得到当最大时，四边形面积的最大，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； （3）解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 14．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点． (1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． （1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， 轴， 如图所示，点，，绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； （2）解： ， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最大，即，解得：， 当在上时，m值最小，即，解得：， ∴； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图，绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07 旋转期末必备冲刺讲义(2) 期末必备 知识点梳理 1.中心对称图形定义及性质 2..中心对称图形判定方法 3.关于原点对称的点的坐标 4.对称点坐标规律对比 5.图案设计核心原理及步骤 6..易错点及注意事项 常考题型 精讲精炼 1.中心对称图形的判定方法 2.中心对称图形的对称中心确定技巧 3.方格图中补全中心对称图形的画法 4.中心对称图形的规律探究问题 5平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标求法. 6.已知两点关于原点对称的参数求解 7.结合平移.轴对称.旋转.中心对称的图案设计 8.旋转对称图形的最小旋转角度求解 期末备考 强化通关 (14题) 【知识点01.中心对称图形定义及性质】 1.核心定义 把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2.关键性质 (1)图形上每一对对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 (2)中心对称图形是特殊的全等图形，旋转前后图形的形状、大小均不变。 3.常见中心对称图形及对称中心 图形 对称中心 备注 平行四边形（含矩形、菱形、正方形） 两条对角线的交点 矩形、菱形、正方形同时也是轴对称图形 圆 圆心 同时是轴对称图形，有无数条对称轴 线段 线段的中点 - 正偶数边形（如正四边形、正六边形） 对角线的交点 同时是轴对称图形 4.中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 本质 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的特殊性质 对称点位置 在两个不同图形上 在同一个图形上 联系 若把中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形 【知识点02.中心对称图判定方法】 1. 核心判定法（定义法） 找一个点，将图形绕该点旋转180°，若旋转后的图形与原图形重合，就是中心对称图形，这个点是对称中心。 步骤： ① 找潜在对称中心（如对角线交点、圆心、线段中点）； ② 旋转180°验证重合性。 2. 常见图形快速判定 是：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、正偶数边形（正四边形、正六边形等） 不是：正三角形、正五边形等正奇数边形 3. 坐标法（平面直角坐标系） 若图形上任意点P(x,y)，关于某点的对称点仍在图形上，则是中心对称图形，常见情况： *关于原点对称：对称点(-x,-y)（最常用） *关于点O(a,b)对称：对称点(2a-x,2b-y) 【知识点03.关于原点对称的点的坐标】 1.核心规律 在平面直角坐标系中，任意一点P(x,y)关于原点对称的点P′的坐标是(−x,−y)，即横、纵坐标都互为相反数。 2.重要性质 *两点关于原点对称时，对应点到原点的距离相等。 *对应点与原点所连线段的夹角为180∘，且在同一条直线上。 3.常见应用 (1)求对称点坐标：已知点坐标，直接根据规律写出其关于原点对称的点的坐标。例如，点A(3,−4)关于原点对称的点A′的坐标为(−3,4)。 (2)判断两点对称关系：若两点横、纵坐标均互为相反数，则这两点关于原点对称。 (3)作对称图形：步骤如下 *确定原图形的关键点坐标。 *求出各关键点关于原点对称的点的坐标。 依次连接对称点，得到原图形关于原点对称的图形。 【知识点04.对称点坐标规律对比】 对称类型 点P(x,y)的对称点坐标 口诀 关于x轴对称 (x,−y) 横轴横相等，纵轴反着来 关于y轴对称 (−x,y) 纵轴纵相等，横轴反着来 关于原点对称 (−x,−y) 关于原点都改变 【知识点05.图案设计核心原理及步骤】 一.核心原理 图案设计以平移、轴对称、旋转三种全等变换为基础，三种变换均不改变图形的形状和大小，仅改变图形位置。 二.三种基本变换的对比 变换类型 定义 核心要素 关键性质 平移 将图形沿某一方向移动一定距离 平移方向、平移距离 对应点连线平行（或共线）且相等；对应线段平行（或共线）且相等 轴对称 把图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能重合 对称轴 对应点连线被对称轴垂直平分；对应点到对称轴距离相等 旋转 将图形绕着某定点转动一个角度 旋转中心、旋转方向、旋转角度 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角 三.图案设计的一般步骤 1.整体构思 (1)明确设计主题与意图，确定图案整体形状（如正方形、圆形）。 (2)选定基本图案（种类不宜过多，简洁为主）。 (3)规划变换方式（单一变换或组合变换，如先旋转后平移、先轴对称后旋转等），绘制草图。 2.详细作图：依据草图，用尺规准确作图，也可借助几何画板等工具绘制。 3.调整完善：检查图案对称性、规范性，优化细节。 四.常见设计方法 1.单一变换设计：仅用平移、轴对称或旋转一种变换生成图案，如利用平移设计地砖重复图案。 2.组合变换设计：综合运用两种或以上变换，如先旋转基本图形，再进行轴对称变换，设计复杂装饰图案。 【知识点06.易错点及注意事项】 1.中心对称图形判定时，易误将旋转角度当成其他度数，需牢记是旋转180∘。 2.求关于原点对称的点的坐标时，易遗漏横或纵坐标的符号变换，可通过画图辅助验证。 3.图案设计中，要注意基本图形的选择与变换方式的搭配，确保图案美观且符合设计主题。 【题型1.中心对称图形的判定方法】 【典例】下列图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【跟踪训练2】灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸属于中心对称图形的是 （    ） A． B． C． D． 【题型2.中心对称图形的对称中心确定技巧】 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 【跟踪训练1】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【跟踪训练2】如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标 ； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 【题型3.方格图中补全中心对称图形的画法】 【典例】如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 【跟踪训练1】.如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 ． 【跟踪训练2】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【题型4.中心对称图形的规律探究问题】 【典例】甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 【跟踪训练1】如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是 ． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【题型5.平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标求法】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【跟踪训练1】将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．位置不变 【跟踪训练2】已知点在二次函数的图像上，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【题型6.已知两点关于原点对称的参数求解】 【典例】已知点与点关于原点O对称，则的值为（   ） A．1 B． C．4051 D． 【跟踪训练1】若点与点关于原点对称，抛物线经过点和点，则与的大小关系为 ．(选填“”、“”或“”) 【跟踪训练2】已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型7.结合平移.轴对称.旋转及中心对称的图案设计】 【典例】下列图案中，可以由下边的基本图形通过中心对称变化得到的是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪训练1】如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 【跟踪训练2】如图1，现有长，宽的、两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则、两种卡片各需要的张数可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型8.旋转对称图形的最小旋转角度求解】 【典例】如图，该图案绕它的中心至少旋转 后可以和自身完全重合． 【跟踪训练1】如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．如果将左上角图案绕某点O旋转后所得到的图形与原图形重合，则旋转角的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是 度． 一.单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．7 C． D．1 3．如图，这是的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 4．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二.填空题 6．和点关于 对称． 7．一个正方形要绕它的中心至少旋转 ，才能与原来的图形重合． 8．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 9．如图，可以看成由经过怎样的图形变换得到？下列结论：次平移；次轴对称；一次旋转；次平移和次轴对称．其中，所有正确结论的序号是 ． 三,解答题 10．如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．点A，B，D都是格点，点C是网格线上的一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示，每问的画线不超过四条． (1)在图（1）中，先画的中点O，再画出B点关于O点成中心对称的点D； (2)在图（2）中，先在线段上画点E，使得，再在线段上画点F，使． 11．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． (2)正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 12．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 13．如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 14．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点． (1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $