精品解析：云南省永胜县第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

云南省永胜县第一中学2025-2026学年高三年级上学期期中考试 数学试卷 (试卷满分120分，考试时间150分钟) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答. 【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，， 所以. 故选：D 2. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到函数为奇函数，由，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 所以函数为奇函数， 因为正实数满足， 可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 3. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 4. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数可得函数在上的值域，根据一次函数以及二次函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，易知， 当时，设在的值域为，由题意可得， 当时，，即，不符合题意； 当时，由不等式化简可得，解得 由不等式组，解得. 综上可得. 故选：C. 5. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，进而得的周期为4，然后结合条件可得. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则，于是， 即的周期为4，则． 故选：C. 6. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 7. 若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数，可得，依题求导得，利用导数的几何意义计算即得. 【详解】由是偶函数，可得， 求导可得， 令，可得：，则有， 即曲线在处的切线斜率为. 故选：B. 8. 我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ） A. 有对称中心 B. 有对称中心 C. 有对称轴 D. 有对称轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 导函数关于对称，所以关于即对称， 故选：B 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 已知点是角终边上的一点，则 C. 若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为 D. 关于x的不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将函数的解析式化成分段函数的形式，即可求值域判断A选项；利用三角函数的定义可求解B选项；利用扇形的弧长和面积公式可求C选项；利用三个“二次”之间的关系即可求判断D选项. 【详解】函数可变形为，所以函数的值域为，故A正确； 点是角终边上的一点，点到原点的距离， ，故B错误； 扇形的弧长为，圆心角为，半径， 扇形的面积为，故C正确； 不等式的解集为， 1和2是方程的两根， ，，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上是单调函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可得最小正周期；对于B：整理可得，结合复合函数单调性分析判断；对于C：根据对称性定义分析判断；对于D：分析易得是函数的一个周期，进而结合导数求解值域. 【详解】因为. 对于A，因为 ， 所以的最小正周期为，故A错误； 对于B，因为， 令，可得，其图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且在内单调递增， 所以在上是单调函数，故B正确； 对于C，， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，因为， 所以函数为周期函数，且是函数的一个周期， 只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域， 由， 则， 当时，，故， 此时，函数在上单调递增， 当时，，， 此时，函数在上单调递减， 所以当时，， 又因为，则， 则函数的值域为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于先得到是函数的一个周期，进而结合导数分析函数在上的值域，即为函数在上的值域，进而求解即可. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数与满足，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 13. 已知减函数（，且）的图象过点，且，分别是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先求解，再根据函数的单调性，确定，再代入求值. 【详解】由方程，解得：或， 解得或， 当，时，，得，此时函数为增函数，故舍去； 当，时，，又，得，此时, 故答案为： 4 14. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数的性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】因为在区间内恰有6个零点， 当时，区间上，最多有2个零点，不符合题意； 当时，易知函数最多有2个零点， 所以当时，至少有4个零点. 由，得，所以， 又，所以，解得， 所以当时，函数的零点可以是，，，，，，，， 令①，得， （1）当，即时，方程①无解，即在时无零点， 所以，在时有6个零点，则，此不等式组无解，舍去； （2）当时，方程①有唯一解，即在时有1个零点3， 所以，在时有5个零点，由，所以， 所以，在时只有3个零点，显然矛盾，舍去； （3）当时，方程①的解为或，且， 若，则时，此时在时有2个零点， 所以，在时，函数有4个零点，所以，解得； 若，则，此时在时有1个零点， 所以，在时，函数有5个零点，所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性以及时的表达式，即可求出函数的解析式； （2）利用（1）中的解析式可画出函数图象，由函数与方程的思想利用数形结合即可求得的取值范围是． 【小问1详解】 令，则，又是定义在上的奇函数， 所以可得． 又， 故函数的解析式为 【小问2详解】 根据题意作出的图象如下图所示： ，， 若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根， 所以函数与有三个不同的交点， 由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点． 故的取值范围是． 16. 设集合，集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证； （2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集. 【小问1详解】 由题意得． ， 即，化简得：， 即，解得：， 经检验当，满足 当，满足 【小问2详解】 ，故 ①当为空集，则，即，得或； ②当为单元素集，则，即，得或， 当，舍去；当符合； ③当为双元素集，则，则有，无解， 综上：实数的取值范围为. 17. 已知. （1）当存在极小值时，求极小值的最值； （2）若在处的切线与的图象有且仅有一个公共点，求的值. 【答案】（1）极小值的最大值为0，无最小值. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，可求出函数极值，继而构造函数，求得极值的最值； （2）根据导数的几何意义求得在处的切线，与联立，讨论a，结合判别式即可求得答案. 【小问1详解】 ，， ①当时，恒成立，在上单调递增，无极值； ②当时，令，得， 在上单调递减，在上单调递增，无极大值， 极小值为， 令，则， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， ， 综上所述，极小值的最大值为0，无最小值. 【小问2详解】 由题意知，， 所以在处的切线方程为， 联立方程，得， 当时，方程仅有一解，符合题意； 当时，令，解得， 故. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，，， （1）求角的大小； （2）求的值与的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理得出，结合余弦定理求出、的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值. 【小问1详解】 由可得，可得， 因为，则，所以，解得. 【小问2详解】 由正弦定理，有，所以， 由（1）知，由余弦定理得， 解得，， 所以的面积为. 【小问3详解】 由余弦定理可得， 所以， 所以 . 19. 设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． （1）求函数的表达式； （2）若，且为锐角，求； （3）设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】（1） （2） （3）；函数在区间上恰有个零点 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【小问1详解】 由题意， 所以，故，又， 所以，故. 【小问2详解】 因为，且为锐角， 所以 故由（1）. 【小问3详解】 由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省永胜县第一中学2025-2026学年高三年级上学期期中考试 数学试卷 (试卷满分120分，考试时间150分钟) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ） A. 有对称中心 B. 有对称中心 C. 有对称轴 D. 有对称轴 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 已知点是角终边上的一点，则 C. 若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为 D. 关于x的不等式的解集为，则 11. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上是单调函数 C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数与满足，且，则的最小值为_____． 13. 已知减函数（，且）的图象过点，且，分别是方程的两个实数根，则的值为________． 14. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有三个零点，求的取值范围． 16. 设集合，集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知. （1）当存在极小值时，求极小值的最值； （2）若在处的切线与的图象有且仅有一个公共点，求的值. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，，， （1）求角的大小； （2）求的值与的面积； （3）求的值． 19. 设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． （1）求函数的表达式； （2）若，且为锐角，求； （3）设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $