12.1.2定义与定理与证明课件2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“定义、定理与证明”，通过讨论举例（如平行线定义）、命题真假判断导入，以质数乘积猜想、三角形垂直平分线交点等实例搭建支架，衔接已学命题知识与证明方法，引导学生从具体到抽象理解证明必要性。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，“探讨归纳”环节借特殊事例培养抽象能力和创新意识，典例精析（如直角三角形锐角互余证明）强调演绎推理发展推理能力，分层练习覆盖概念与应用。学生能提升逻辑推理与规范表达，教师可获清晰教学流程与实用练习，提高教学效率。

12.1　命题、定义、定理与证明 第2课时　定义、定理与证明 第12章　全等三角形 学习目标 1.理解基本事实、定理等概念.（重点） 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点） 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义. 例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义. 讨论：你能举出其他类似的例子吗? 定义、定理与证明 1 讨论：判断下列命题哪些是真命题? 哪些是假命题? (1) 内错角相等,两直线平行； (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b； (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 (4)(5)是公认的真命题. (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 基本事实：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 思考：你能举例说出几个学过的基本事实吗? 2. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1. 两点之间线段最短. 3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). (1) 内错角相等,两直线平行 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 真命题 “内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据. （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2 + 1 = 3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？ 结果都是质数. 思考 (2) 如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 不正确. 如钝角三角形. （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 探讨归纳 命题 真命题 假命题 基本事实 一般举一个反例即可 定理 基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系： 定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围. 定义 归纳总结 证实其他命题的正确性 推理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 定义、基本事实 一些条件 ＋ 归纳总结 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 求证：∠A +∠B = 90°. 证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， (三角形的内角和等于 180°)， 又∵∠C = 90° (已知)， ∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质). A B C 典例精析 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 例2　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. b a ( 2 ) 1 ) 3 你能根据图写出此定理的已知和求证吗？ 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵ a∥b (已知)， ∴∠1 =∠3 (两直线平行，同位角相等).　 已知：如图，直线 a∥b，∠1 与∠2 是同旁内角. 求证：∠1 + ∠2 = 180°. ∴ ∠1 + ∠2=180°(等量代换). 又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)， 典例精析 注意： 如果要证明一个文字语言叙述的证明题，而没有给出图形、已知、求证，我们要证明这个命题，就必须： 1. 首先根据命题的要求准确的画出图形，标出字母. 2. 再根据要求按照图中所标的字母用数学语言写出已知和求证. 3. 如果命题已给出已知和求证，那么就按照所学有关的基本事实、定理、性质等直接进行证明. 定义、定理与证明 基本事实 定理的概念 证明 步骤：(1) 根据题意作出图形； (2) 写出已知和求证； (3) 写出证明的过程 概念 定义 一、 选择题 1. 下列语句中，不属于定义的是（　C　） A. 两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离 B. 含有未知数的等式叫做方程 C. 同角或等角的余角相等 D. 求一个数的立方根的运算叫做开立方 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 下列真命题中，能作为基本事实的是（　D　） A. 对顶角相等 B. 三角形的内角和是180° C. 内错角相等，两直线平行 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 下列说法中，错误的是（　D　） A. 基本事实都是真命题 B. 基本事实是判断命题真假的依据 C. 所有的定理都是真命题 D. 所有的命题都是定理 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则 ∠B的度数为（　B　） A. 52° B. 50° C. 45° D. 25° 第4题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题 5. “六边形的内角和等于720°”是 （填“真”或“假”）命 题，它 （填“是”或“不是”）基本事实. 6. 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，则依据 ⁠ 定理，可推出∠C的度数为 ⁠. 7. 有下列说法：① 三角形的内角和等于180°是命题也是定理；② “两点之间线段最短”是命题也是基本事实；③ “相等的角是对顶角”是假命题；④ “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到 直线的距离”是定义.其中，正确的是 （填序号）. 真　 不是　 三角形的内角和　 80°　 ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. ★如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且 BC⊥BD，有下列结论：① BC平分∠ABE；② AC∥BE；③ ∠BCD＋ ∠D＝90°；④ ∠DBF＝60°.其中，正确的结论有 个. 第8题 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题 9. （18分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边 AB、AC上，给出下列信息：① CD⊥AB；② BE平分∠ABC； ③ ∠CFE＝∠CEF. 第9题 （1） 请在上述三个信息中选择其中两个作为条件，另一个信息作为结 论组成一个命题.若要使组成的命题为真命题，你选择的作为条件的信 息是 ，作为结论的是 （填序号）.（答案不唯一） ①③　 ②　 （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 请证明（1）中你组成的命题是真命题. 解：∵ ∠CFE＝∠CEF，∠CFE＝∠BFD，∴ ∠CEB＝∠BFD. ∵ ∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴ ∠CBE＋∠CEB＝90°，∠BFD＋ ∠DBF＝90°.∴ ∠DBF＝∠CBE. ∴ BE平分∠ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $