精品解析：江苏省兴化中学2025-2026学年高二上学期阶段性测试(四)数学试题

江苏省兴化中学2025－2026学年秋学期高二年级阶段性测试（四） 学科：数学 命题人：范叶华 时间：2025年12月 一、单项选择题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2. 两圆与的公共弦长等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长． 【详解】解：两圆为①，，② ①②可得：． 两圆的公共弦所在直线的方程是， 的圆心坐标为，半径为， 圆心到公共弦的距离为， 公共弦长． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题． 3. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得解. 【详解】由，得， ，得. 故选：B. 4. 设为等比数列的前项和，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果 【详解】设等比数列的公比为 ，解得 则 故选 【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题 5. 斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果. 【详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 故选：D 7. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为点、在椭圆上得，直线，的斜率之积为得，两边平方化简得，代入可得答案. 【详解】因为点，在椭圆上， 所以， 因为直线，的斜率之积为，所以， 可得，化简得， 则 . 故选：A. 二、多项选择题 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及加减乘除和复合函数的求导法则即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B, ,故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误， 故选：AC 10. 数列满足：，，则（ ） A. B. C. 数列为等差数列 D. 数列的前8项和为36 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知，求出数列的通项，然后依次验证即可. 【详解】由， 所以，， ，又，满足， 所以，故B错误；则，故A正确； 由，所以数列为等差数列，故C正确； 数列的前8项和为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列的通项公式为，数列满足，，，则（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 满足不等式的最小正整数n为7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的通项公式求前三项判断A、B；根据及通项公式判断C；根据已知得，结合，判断D. 【详解】由，得，，，所以A正确； 因为，，所以B错误； 因为，，， 所以，，，，，，，，，，，，，，，，所以C正确； 因为，所以， ∴，即， 故，故， 所以，易知且单调递增， 由可知，，则，， 所以n的最小值为8，所以D错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：利用递推式求相关项，并判断数列的单调性为关键. 三、填空题 12. 已知直线与曲线相切，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先设切点坐标，再求曲线在切点处的导数，最后联立求解即可. 【详解】设直线 与曲线 的切点为 ， 对曲线 求导， 则曲线在切点的斜率为， 而切点同时在直线 上， 代入得：，将 代入上式： 得到，化简得，解得 ， 所以 故答案为：. 13. 已知椭圆的左焦点为F，点是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可. 【详解】如图，设椭圆的右焦点为， 由椭圆，得， 则， 所以，， 设，则，， 故， 则当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：. 14. 已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件关系可得,证明数列是等比数列,由此可求,再利用错位相减法求数列的和，最后分奇偶讨论恒成立求参数范围. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又当时，， 故数列是以3为首项3为公比的等比数列， ，. ， 上两式相减得， ， 对任意，恒成立，则， 当n为偶数，则恒成立， 令，则， 所以是关于的减函数，得， 所以； 当n为奇数，则， 因为是关于的减函数，得， 所以是关于的增函数，得， 所以. 综上可得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是参数分离结合数列的单调性分奇偶数分别求数列的最大值计算求参. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合和的解集和定义域，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. 【小问2详解】 解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出，再利用求数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求，易证，再根据单调性即可证明结论. 【小问1详解】 由题意， 所以数列的前项和为， 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， 所以， 因为，所以 又因时，单调递增，所以， 所以. 17. 已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且. （1）求的方程. （2）是椭圆左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求点的坐标（用表示）； （ii）证明：为定值. 【答案】（1）；（2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）联立直线与椭圆的方程求解； （ii）求出的坐标，化简，即可求证. 【详解】（1）由题意得，，，，得， 则的方程为； （2）（i），直线， 联立，得，得或， 则，代入中得，， 故； （ii）因，则由（i）可得，， 则直线的方程为，则， 因，则直线， 联立，得，即， 则， 则. 18. 已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． （1）求与的通项公式； （2）数列的前n项和，求及的最小值和最大值； （3）设，求． 【答案】（1）， （2），最小值为，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义可得的通项公式，再由等差数列性质可得的通项公式； （2）借助等比数列求和公式可得，再分奇偶讨论可得的最小值和最大值； （3）由题意计算可得，再借助错位相减法计算即可得解. 【小问1详解】 由，则， 故，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； ，则数列的公差为，故； 【小问2详解】 ， 则， 当为偶数时，，随的增大而增大， 当为奇数时，，随增大而减小， 故当时，有最小值， 当时，有最大值； 【小问3详解】 由， 则 ， 则， 则， 故 ， 则. 19. 已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. （1）当点为坐标原点，时，求的面积； （2）当点的坐标为时，求直线BC的斜率； （3）当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，根据直线与圆相切求出斜率，然后联立抛物线方程求出的坐标，然后可求得三角形面积； （2）设出直线，联立抛物线方程求出的坐标，由斜率公式可得； （3）利用特例求出，然后点、、，写出直线的方程，结合圆心到直线的距离等于半径即可得证. 【小问1详解】 当时，圆与轴不相切， 设过原点与圆相切的直线方程为， 联立消去得：， 由得， 不妨记直线的方程为，代入得：， 解得或，所以，由对称性可知，， 所以. 【小问2详解】 由题知，所以与轴垂直，故直线的斜率存在，且互为相反数， 设直线的方程为，即，， 联立得， 则，，即， 同理可得，又， 所以直线的斜率. 【小问3详解】 设，由题意可知，圆与抛物线没有交点， 当的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则关于轴对称， 若直线始终与圆相切，则由对称性可知点必在轴上，即与原点重合， 此时直线方程为，直线的方程为，即， 依题意，，得 又，所以，解得或（舍去）， 所以. 所以，当点在抛物线E上运动时，若存在实数，使得直线始终与圆相切，则， 下证时，直线始终与圆相切： 如图，由上可知，三点的横坐标各不相等， 设点、、， 则直线的方程为，即， 同理可得直线的方程为， 所以直线的方程为， 因为直线与圆相切，则，即， 同理由直线与圆相切得， 则、为方程的两个不等的实根， 则，， 点到直线距离为， 即直线与圆相切， 综上所述，存在，使得当点在抛物线上运动时，直线总与圆相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省兴化中学2025－2026学年秋学期高二年级阶段性测试（四） 学科：数学 命题人：范叶华 时间：2025年12月 一、单项选择题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 两圆与的公共弦长等于（ ） A. 4 B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 4. 设为等比数列的前项和，，则 A B. C. D. 5. 斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 二、多项选择题 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 数列满足：，，则（ ） A. B. C. 数列为等差数列 D. 数列的前8项和为36 11. 已知数列的通项公式为，数列满足，，，则（ ） A B. 数列是递增数列 C. D. 满足不等式最小正整数n为7 三、填空题 12. 已知直线与曲线相切，则实数______． 13. 已知椭圆的左焦点为F，点是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 14. 已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 16. 已知函数且图象经过点，记数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证： 17. 已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且. （1）求的方程. （2）是椭圆左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求点的坐标（用表示）； （ii）证明：为定值. 18. 已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． （1）求与的通项公式； （2）数列的前n项和，求及的最小值和最大值； （3）设，求． 19. 已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. （1）当点为坐标原点，时，求的面积； （2）当点的坐标为时，求直线BC的斜率； （3）当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $