精品解析：内蒙古乌兰浩特市第八中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学测试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项判断即可得． 【详解】A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减、同底数幂的乘除法、积的乘方，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 2. 已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质．确定的取值范围是解题的关键． 由题意以及三角形三边关系得，，即，然后利用不等式的性质求周长的范围即可． 【详解】解：由题意以及三角形三边关系得，，即， ∴，即， 故选：C． 3. 下列说法正确的有（ ）个 ①等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；②有一个角是的三角形是等边三角形；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，同底数幂乘法，直角三角形的性质，逐一判断每个说法的正确性：①等腰三角形的三线合一仅针对顶角，说法不准确；②有一个角的三角形不一定是等边三角形；③同底数幂相乘的性质正确；④直角边性质正确． 【详解】解：∵①等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，并非所有角平分线、中线、高线都三线合一，∴①错误； ∵②有一个角是的三角形，其他角不一定都是（如），∴②错误； ∵③同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴③正确； ∵④在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，∴④正确． ∴正确的说法有③和④，共2个． 故选：B． 4. 若，则M，N的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，作差法比较M，N的大小关系即可． 【详解】解： ， ∴； 故选B． 5. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分，垂直平分， ，， ， ， 故选：C． 6. 若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A. 5或13 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则可得且，再列出所有符合题意的整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，（a、b为整数）． 列出所有整数对a、b满足： 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． ∴ m的可能值为或． 故选D． 7. 在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 8. 如图，两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，小明同学得出了下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作于点，根据角平分线的性质定理可得，，易得，即可判断结论①；根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可判断结论②；根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即可证明，即可判断结论④；首先证明，再根据三角形内角和定理可得，结合，即可得，即可判断结论③． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，且点在内部， ∴点在的平分线上，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∵，， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∴， 即，故结论③错误． 综上所述，结论正确的是①②④，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算等知识﹒根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算将变形为结合已知条件求出，即可求出﹒ 【详解】解：∵，，， ∴， ∴﹒ 故答案为：2 10. 若则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握相关法则是解题关键； 熟练逆用同底数幂的除法、乘法和幂的乘方公式，对代数式进行变形，即可整体代入求值．解片段 【详解】解：， ， 因为， 所以原式=， 故答案为： 11. 计算所得结果个位数字是_____ ． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差是解题的关键． 先变形为原式，再依次利用平方差公式计算得到原式，然后找个位数的规律即可解答． 【详解】解： ； 的个位数为3，的个位数为1； 的个位数为9，的个位数为4； 的个位数为7，的个位数为3； 的个位数为1，的个位数为0； 的个位数为3，的个位数为1； ∵， 所得结果个位数字是0． 故答案为0． 12. 如图，在中，于点垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为__________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=8，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】解：于点 垂直平分 点到两点的距离相等 的长度的最小值 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三．解答题 13. 计算： （1） （2）（乘法公式计算） （3）（乘法公式计算） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4）8 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、平方差公式、完全平方公式、逆用积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方计算，然后再合并同类项即可； （2）先凑出平方差公式，然后运用平方差公式计算，然后再计算即可； （3）先凑出平方差公式，然后运用平方差公式计算，然后再运用完全平方公式计算即可； （4）先逆用同底数幂除法运算法则变形，再逆用积的乘方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 14. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）解下列方程与不等式： ① ② 【答案】（1），；（2）①．② 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用整式的混合运算法则化简，然后将、代入求值即可； （2）①先展开多项式，然后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； ②先展开多项式，然后按照去括号、移项、合并同类项化简，再运用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：（1） ， 当， 时，原式． （2）①， ， ， ， 解得：． ②， ， ， ， ， 故原不等式的解集为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）作出与关于x轴对称的图形； （2）作出与关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了轴对称作图、轴对称与坐标等知识． （1）找到点关于x轴对称的点，顺次连接即可； （2）找到点关于x轴对称的点，，，顺次连接，，即可得到，再写出，，的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，已知，，且，D是上的一点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出，根据推出，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理：． 17. 【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式________；图2对应公式________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，正方形和正方形的面积和为36，请求出若，阴影部分的面积． 【答案】（1）②，①；（2）12；（3）14 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式与几何图形， （1）利用几何图形得到图形面积即可； （2）根据完全平方公式变形计算即可； （3）由题意知，，利用完全平方公式变形计算即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图1得；由图2得， 故答案为：②，①； （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴； （3）∵四边形和四边形都为正方形且对角线， ∴，， 由题意知，， ∴ ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 18. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学测试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的有（ ）个 ①等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；②有一个角是的三角形是等边三角形；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 若，则M，N的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A. B. C. D. 6. 若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A. 5或13 B. C. D. 或 7. 在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，小明同学得出了下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ． 10. 若则___________． 11. 计算所得结果个位数字是_____ ． 12. 如图，在中，于点垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为__________． 三．解答题 13. 计算： （1） （2）（乘法公式计算） （3）（乘法公式计算） （4） 14. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）解下列方程与不等式： ① ② 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）作出与关于x轴对称的图形； （2）作出与关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 16. 如图，已知，，且，D是上的一点，求证：． 17. 【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式________；图2对应公式________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，正方形和正方形的面积和为36，请求出若，阴影部分的面积． 18. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $