精品解析：吉林省松原市滨江中学2025～2026学年上学期九年级数学 期中测试卷

滨江中学期中测试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 4. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知关于的方程的一个根是 ，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 8. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_____度． 9. 抛物线和的形状相同，而开口方向相反，则a的值是_________． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 11. 无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为______．（结果保留） 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解方程：． 13. 已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 14. 已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，将以O为旋转中心逆时针旋转得到． （1）画出； （2）点C的对应点的坐标是_______． 16. 如图，内接于． （1）若，的半径是2，求的长； （2）过A点作的切线，求证：． 17. 如图，用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为x米． （1）当矩形菜地的面积为225平方米时，求x的值； （2）求矩形菜地面积的最大值． 18. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 19. 如图，是的直径，弦于点E，． （1）若，求扇形（图中阴影部分）的面积； （2）若，求弦的长． 20. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． （1）点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； （2）当点与点A重合时，求t的值； （3）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 22. 如图，已知抛物线过点、，点C的坐标为． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）直接写出抛物线的对称轴； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标； （4）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨江中学期中测试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握相关的定义．根据轴对称图形的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式  的顶点坐标为  是解题关键． 根据二次函数的顶点式  的顶点坐标为 ，直接读取函数中的  和  值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式  对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 3. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点P在内． 故选A． 4. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知：抛物线过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时，或；   故选： B． 5. 已知关于的方程的一个根是 ，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解方程的根，代入计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是 ， ∴， 解得，， 故选：C ． 6. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 由旋转的性质可得，，，从而得到，再结合，可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，，， ， ，， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点对称的特征：两个点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据平面直角坐标系中点关于原点对称的特征作答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 因此对称点的坐标是． 故答案为：． 8. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_____度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：72． 9. 抛物线和的形状相同，而开口方向相反，则a的值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的形状与有关，开口方向与a的正负有关． 【详解】解：∵抛物线和的形状相同， ∴二次项系数的绝对值相等，都为3； ∵开口方向相反， ∴二次项系数互为相反数， 即中，． 故答案为：3． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，由此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 11. 无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此即可计算． 【详解】解：根据题意得：弧的长． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程．利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 13. 已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．设抛物线的解析式为，把，，三点分别代入求出a，b，c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得． ∴． 14. 已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】 证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】略 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，将以O为旋转中心逆时针旋转得到． （1）画出； （2）点C的对应点的坐标是_______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，解题的关键是熟知旋转的相关概念． （1）先根据旋转方式结合网格的特点，作出各个点的对应点，再依次连接可得； （2）根据平面直角坐标系，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得， 故答案为：． 16. 如图，内接于． （1）若，的半径是2，求的长； （2）过A点作的切线，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，连接， ∵过A点作的切线， ∴，则， 同理（1）， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）如图1，连接，由过A点作的切线，可得，则，同理（1），由，可得，则． 【小问1详解】 解：如图1，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质是解题的关键． 17. 如图，用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为x米． （1）当矩形菜地的面积为225平方米时，求x的值； （2）求矩形菜地面积的最大值． 【答案】（1）15 （2）300平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练表示出矩形菜地面积是解题的关键． （1）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （2）列出矩形菜地面积的解析式，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：矩形这块菜地的面积为225平方米时的值为15． 【小问2详解】 解：设矩形菜地面积为， 则， ， 当时，，的最大值为300平方米， ∴矩形菜地的面积最大值是300平方米． 18. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； 【小问2详解】 设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 19. 如图，是的直径，弦于点E，． （1）若，求扇形（图中阴影部分）的面积； （2）若，求弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理求出的度数，再根据扇形面积公式求解即可； （2）根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【小问1详解】 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，， ∴， 又∵， ∴在中，利用勾股定理，可得 ， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合，熟练运用圆周角定理，勾股定理和垂径定理是解题的关键． 20. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）①； ②，理由如下： ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得； （2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得； ②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴， ． ②略 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． （1）点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； （2）当点与点A重合时，求t的值； （3）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作轴于，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质和点的坐标的特征解答即可； （2）利用平移的概念，即可解答； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况分别求得重叠部分的面积的函数关系式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当点与点A重合时，； 【小问3详解】 解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 22. 如图，已知抛物线过点、，点C的坐标为． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）直接写出抛物线的对称轴； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标； （4）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解可得该抛物线的函数解析式； （2）将抛物线解析式转化为顶点式，即可确定该抛物线的对称轴； （3）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， 【小问2详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点C的坐标为 ∴点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； 【小问4详解】 解：∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $