精品解析：福建省福州屏东中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

福州屏东中学九年级上学期期中数学试题 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 2. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为分，复赛成绩为分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：小颖同学的总成绩为：（分）． 故选：B． 3. 我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出等量关系：10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，即可解出此题． 【详解】解：根据10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，可得方程： 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 4. 如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线与x轴交点的意义是解决本题的关键． 根据抛物线与x轴交点的意义得到当或时，，即可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴当或时，，即方程的根为． 故选B． 5. 在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 6. 已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与y轴交点，二次函数与y轴的交点相当于当时的函数值，根据题意该值大于0，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数图像与y轴交点在x轴上方， ∴当时，， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 下列一元二次方程中，根是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程，当时，． 【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意． 故选：A． 9. 如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理．由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等腰，．若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，线段的和差．先由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， ∵ ∴线段的最大值为． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若一组数据为4，4，4，4，则这组数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的知识，先求出这4个数的平均数，然后利用方差公式求解即可，牢记方差的计算公式是解答本题的关键． 【详解】解：平均数， ∴． 故答案为：． 13. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 底面半径为，高为，则底面周长等于， 由勾股定理得，母线长， 那么侧面面积， 故答案为：． 14. 如图，AB是的直径，弦于点E，，，则______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出OE即可解决问题． 【详解】解：，AB是直径， ， 在中，， ， 故答案为9． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15. 如图，在中，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，从而得到，由，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为： 16. 约定，当时，函数的值记为，当时，函数的值记为．若，且，则的值为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和整体代入求值．解题的关键是由可以得到抛物线的对称性．由抛物线的对称轴得到，推出，再整体代入中即可求解． 【详解】解：抛物线 的对称轴为 ， 由于 且 ，两点关于对称轴对称， 因此对称轴为两点横坐标的平均值： 两边乘以 2： 整理得：，即， ∵，， ∴， 代入，则． 故答案为： 4． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 则或， 所以，． 18. 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据等边三角形的性质，得到，旋转的性质，得到，利用证明即可． 【详解】略 19. 已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程中， ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）由题意知，，由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的值是1． 20. 如图，是的直径，，过点C作于点E． （1）求的度数； （2）证明：直线是的切线． 【答案】（1） （2）证明见解答 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边三角形的判定及性质，切线的判定等；掌握圆的基本性质，切线的判定是解题的关键． （1）连接、，由，得，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解； （2）由于点E，得，由平行线的性质求得，由切线的判定方法即可求证． 【小问1详解】 解：连接、， ∵， ， ， 是等边三角形， ， 的度数是． 【小问2详解】 证明：于点E， ， ， ， ， 是的半径，且， ∴直线是的切线． 21. 汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日~8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.25 乙组 6.5 b 7 2.45 （1）根据以上成绩，统计分析表中：___________，___________，___________； （2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为___________组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6.5，7，6 （2）乙 （3） 解：选乙组参加决赛．理由如下： 两组平均数相同，，，， 乙组的成绩比甲组稳定， 故选乙组参加决赛． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，关键是根据概念解答． （1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 把乙组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数； 甲组学生成绩中，数据6出现次数最多，所以众数， 故答案为：6.5；7；6； 【小问2详解】 解：小明可能是乙组的学生，理由如下： 因为乙组的中位数是（7分），而小明得了（6分），所以在小组中属中游略偏下， 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 22. 如图，． （1）在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】（1） 解：如图所示： ∵， ∴， 由作图可知， ， ∵， ∴，即， ∴； （2）见解析 解：如图2，连接， ∵，由（1）可知垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵,， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键． （1）尺规作的角平分线，以A为圆心，以长为半径画弧，与角平分线的交点E即为所求； （2）连接，由，，得，再证明，结合勾股定理的逆定理，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴、轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比．举例：如图1，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】（1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比______； 【联系实际】（2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式； 【应用拓展】（3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为2m．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）； （4）拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面下方的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要______（救生圈大小忽略不计）． 【答案】（1）；（2）；（3），最左侧点；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、运用待定系数法求函数解析式、二次函数的应用等知识点，是读懂题意、理解目标矩形和纵横比是解题的关键． （1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比； （2）由点到的距离为5米，知，又抛物线目标矩形的纵横比，可得，，，再用待定系数法得； （3）抛物线，得与横轴交点，，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由得桥面可挂11个，进而确定最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （4）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，在中，勾股定理求得长度即可． 【详解】（1）足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， 目标矩形的纵横比； 故答案为：． （2）最高点到的距离为5米， ， 抛物线目标矩形的纵横比， ， ， 抛物线关于轴对称， ，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， ， ； （3）相邻两个救生圈悬挂点的水平距离为，且关于轴对称， ， 左侧挂个，右侧挂个，中间挂个，共个， 最左侧位于拱桥上方处， 最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （4）如图，当水位达到最高时，水位线， 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方， 当时，，，， 在中，； 救生绳至少需． 24. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的顶点式， 对于（1），将点代入抛物线得，再根据抛物线的对称轴可得答案； 对于（2）①，当时求出，再将抛物线得关系式化为顶点式，然后分两种情况讨论得出答案； ②，先根据抛物线的性质可得，再将点代入抛物线的表达式整理得，然后根据与可得，接下来结合可得，进而得出答案． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得 ， 则． ∵抛物线的对称轴为， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，， 则抛物线，顶点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得； 故答案为：； ②∵点在抛物线上，， ∴在对称轴的右边，且函数值y随着x的增大而增大， ∴． 将点代入抛物线的表达式，得 ， ，得， ∴． 由，得，则， 即，则． ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 25. 如图，内接于，为直径，作弦分别交，于点，，且点是弧的中点，连接，． （1）如图1，若，则_____；（用含的代数式表示） （2）如图2，若，求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：设，由（1）同理可得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，由圆周角定理得到，因此，进而根据即可解答； （2）设，由（1）同理可得，从而，根据得到，即可得证； （3）连接，，设，，则，又，得到．设，过点G作于点H，则，可得，因此，求得．根据等边对等角求出，根据内接四边形的性质得到，因此，从而．由得到，所以，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，， ∵， ∴设，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， 过点G作于点H，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴由（1）同理可得， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学九年级上学期期中数学试题 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为分，复赛成绩为分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 3. 我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（ ） A. B. C. D. 5. 在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列一元二次方程中，根是的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等腰，．若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 若一组数据为4，4，4，4，则这组数据的方差为______． 13. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 14. 如图，AB是的直径，弦于点E，，，则______cm． 15. 如图，在中，，，，则的值为______． 16. 约定，当时，函数的值记为，当时，函数的值记为．若，且，则的值为______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 19. 已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 20. 如图，是的直径，，过点C作于点E． （1）求的度数； （2）证明：直线是的切线． 21. 汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日~8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.25 乙组 6.5 b 7 2.45 （1）根据以上成绩，统计分析表中：___________，___________，___________； （2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为___________组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 22. 如图，． （1）在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，连接，若，求证：． 23. 项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴、轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比．举例：如图1，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】（1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比______； 【联系实际】（2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式； 【应用拓展】（3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为2m．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）； （4）拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面下方的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要______（救生圈大小忽略不计）． 24. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 25. 如图，内接于，为直径，作弦分别交，于点，，且点是弧的中点，连接，． （1）如图1，若，则_____；（用含的代数式表示） （2）如图2，若，求证：； （3）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $