第十三章 三角形第1讲 与三角形有关的线段 培优练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第1讲 与三角形有关的线段 板块一 与三角形有关的线段(一)三边关系 典例精讲 题型 1 利用三边关系判断能否组成三角形 【例1】用4 根长度分别为5cm，7cm，9cm，13cm的木棒，可以摆出 种不同的三角形。 题型 2 利用三边关系求参数范围 【例2】已知等腰三角形的周长为12。 (1)若腰长为 x，求x 的取值范围； (2)若底边长为 y，求y 的取值范围。 题型 3 利用三边关系化简 【例3】已知 a，b，c为三角形三边的长，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|。 题型 4 利用三边关系取舍值 【例4】一个等腰三角形的三边分别为4，3a-2，6a-6，求这个三角形的周长。 题型 5 利用三边关系求边的取值范围 【例5】如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D 为 AB 边上一点(不与 A，B 两点重合)，将△ACD 沿 CD 折叠，点 A 的对应点 E 落在 BC 的下方，求 BE 的取值范围。 实 战 演 练 1.已知三角形的三边长分别为2，a-1，5，则a 的取值范围为 . 2.已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,化简|a-3|+|a-7|的结果为 . 3.若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a 的取值范围是 ；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是 . 4.若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a，b，c为边组成的三角形共有() A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 5.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为4，但不是最短边，这样的三角形共有 个. 6.一个等腰三角形的一边长为4 cm，周长为20cm ，求这个三角形的腰长. 7.用一条长为41的细绳围成一个三角形，已知该三角形的第一条边的长为x，第二条边长比第一条边长的3倍少4，若该三角形恰好是一个等腰三角形，求这个三角形的三边长. 8.如图,AB=10cm,BC=18cm,将线段 AB 绕着点 B 旋转，连接 AC，在旋转过程中，线段 AC的最大值是 ，最小值是 ，AC 的取值范围是 . 9.如图，在 中，AB=3,BC=4,AC=5,，D 为BC 边上一动点，将 沿AD 翻折，得到 ，点B 的对应点为点 P，连接CP，则CP 的最小值为 . 板块二 与三角形有关的线段(二)三角形的中线 典 例 精 讲 题型① 中线的性质与应用 【例1】如图,△ABC中,AD 为BC 边上的中线. (1)若△ABD 的周长比△ACD 的周长大4. ①若AB=10,则AC= ;②若AB+AC=14,则AC= ; (2)若△ABC 的周长为27,AB=9,BC 边上中线AD=6,△ACD 周长为19,求AC 的长; (3)若BC=6,AD=4,则△ABC 的面积的最大值为 . 【例2】如图,在△ABC中,D,E,F 分别为BC,AD,CE 的中点, 求 题型② 重心的性质与应用 【例3】如图,O 为 的重心,AO,BO,CO的延长线分别与 BC,AC,AB 交于点 E,F,D. (1)图中与 面积相等的三角形共有 个( 除外)； (2)试说明:AO=2OE. 实 战 演 练 1.如图,在△ABC中,D,E 分别是BC,AC 的中点,则 2.如图,O是△ABC 的重心,AN,CM 相交于点O,△MON 的面积是1,则△ABC 的面积为 . 3.如图,BD 是△ABC的中线,AB=7,BC=3,且△ABD 的周长为15,则△BCD 的周长为 . 4.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9 cm和15 cm的两个部分，求这个三角形的底边的长. 5.如图，在4×3的正方形网中，每个小正方形的顶点叫做格点， 的顶点B,C 为格点,CD为△ABC 的中线.请用无刻度的直尺在图中画出 的重心G，并画出 的中线BF. 6.如图,在△ABC 中,AB=10cm,AC=6cm,,D 是BC 的中点,点E 在边AB 上, 与四边形ACDE 的周长相等. (1)求线段 AE 的长; (2)若图中所有线段长度的和是53 cm，直接写出 的值. 学科网（北京）股份有限公司 板块三 与三角形有关的线段(三)三角形的高 典 例 精 讲 题型① 依据三角形的形状确定高的位置 【例1】如图,已知△ABC,画出△ABC 的高AM,CN. 题型② 面积法证明线段关系 【例2】如图,在△ABC 中,AB=2,BC=4,CH⊥AB 于点 H,AG⊥BC 于点G.求证:CH=2AG. 实 战 演 练 题型③ 面积法，整体求值 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,CH 是△ABC 的高,且CH=8,D 为BC 上一点,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F,求 DE+DF 的值. 题型④ 依据高的位置，分类讨论求角度 2.已知AD 是△ABC 的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC 的度数. 板块四 与三角形有关的线段(四)面积转化与面积法 典 例 精 讲 题型① 面积法求值 【例1】如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AC,BD 交于点O, 则OD 的长为 . 题型② 转化思想求面积 【例2】如图,在△ABC 中,D 是BC上一点,CD=2BD,E 是AC 的中点,AD,BE 交于点F.若S△ABC=18.则 的值为 . 实 战 演 练 如图,∠ABC=∠BCD=90°,AB=6,BC=5,AD 与BC 交于点.E,S△BDE=6. (1)求CE 的长; (2)求△CDE 的面积. 第1讲 与三角形有关的线段 板块一 与三角形有关的线段(一)三边关系 典例精讲 【例1】3 解:能构成三角形的有5,7,9;5,9,13;7,9,13,共3种不同的选择方法， ∴可以摆出3个不同的三角形. 【例2】解：(1)∵等腰三角形的周长为12，腰长为x， ∴底边长为12-2x，根据三角形三边关系， 得 解得3<x<6, ∴x的取值范围是3<x<6; (2)依题意，得 解得0<y<6, ∴y的取值范围是0<y<6. 【例3】解:∵a,b,c 为三角形三边的长, ∴a+b>c,a+c>b,b+c>a, ∴原式=|a-(b+c)|+|b-(c+a)|+|c-(a+b)| =b+c-a+a+c-b+a+b-c =a+b+c. 【例4】解:①当3a-2=4时,a=2,三边长分别为4,4,6,能组成三角形,其周长为4+4+6=14; ②当6a-6=4时, 三边长分别为4，4，3，能组成三角形,其周长为4+4+3=11; ③当3a-2=6a-6时, 三边长分别为4，2，2，∵4=2+2，∴不能组成三角形，此情况不成立. 综上所述，这个三角形的周长为11或14. 【例5】解:由折叠可知AD=DE,AC=EC, ∴BD+DE=BD+AD=AB=6. ∵点E 落在BC 的下方, ∴在△BCE中,BE>BC-CE=10-8=2, 又∵在△BDE中,BE<BD+DE=6, ∴2<BE<6. 实战演练 1.4<a<8 2.4 3.0<a<12 b>2 4. B 5.8 6.解:①若4 cm是底边长,则腰长为(20-4)÷2=8(cm),能组成三角形，∴腰长为8cm； ②若4 cm为腰长,则底边长为20-4-4=12(cm),∵4+4<12,∴不能组成三角形,故舍去. 综上所述，腰长为8cm. 7.解：依题意，得第二条边长为3x-4，第三条边长为41-x-(3x-4)=45-4x. ①若x=3x-4,解得x=2,则三边长为2,2,37, ∵2+2<37,不符合三边关系,∴舍去; ②若x=45-4x,解得x=9,则三边长为9,9,23, ∵9+9<23,不符合三边关系,∴舍去; ③若3x-4=45-4x,解得x=7,则三边长为7,17,17,符合三边关系. 综上所述，这个三角形的三边长分别为7，17，17. 8.解:∵18-10≤AC≤18+10, ∴8cm≤AC≤28cm, ∴答案为 28 cm,8cm,8cm≤ AC≤28 cm. 9.2 解:由折叠可知,AP=AB=3, 在△APC中,由三角形三边关系可得CP>AC-AP, 当点 P 落在AC 边上时,CP=AC-AP, ∴当点 D在BC 边上运动时,总有CP≥AC-AP, 板块二 与三角形有关的线段(二)三角形的中线典例精讲 【例1】解:(1)①AC=6;②AB=9,AC=5; (2)设AC=x,CD=y,∵AD是BC边的中线,∴BC=2CD=2y, 由题意得x+9+2y=27,x+6+y=19, 解得x=8,y=5,∴AC=8; (3)过点 A 作AH⊥BC 于点 H,则AH≤AD=4,当AD⊥BC时,AHa₂=AD=4, 此时S△ABC的最大值为 【例2】解：易证 【例3】解:(1)∵O为△ABC 的重心, ∴AE,BF,CD 都为△ABC 的中线, 即 D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,在△ABE 和△ACE中, ∵BE=CE,且高相同, ∴S△ABE=S△ACE,同理可得 即 又∵S△AOO=S△BOO,S△NOF=S△COF, ∴与△AOD 面积相等的三角形有5个； (2)由(1),得 ∵高相同,∴AO=2OE. 实战演练 1. 2.12 3.11 4.解：设三角形的腰长为x cm.如图，△ABC 是等腰三角形,AB=AC,BD 是AC边上的中线,则有AB+AD=9或AB+AD=15，分下面两种情况讨论： ∵三角形的周长为9+15=24(cm), ∴三边长分别为6cm,6cm,12cm. ∵6+6=12，不符合三角形的三边关系，∴舍去； ∵三角形的周长为24 cm，∴三边长分别为10 cm,10 cm,4 cm. 综上所述，这个等腰三角形的底边长为4 cm. 5.解:如图,点G,线段 BF 即为所求. 6.解:(1)∵△BDE 与四边形ACDE 的周长相等, ∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE. ∵BD=DC,∴BE=AE+AC. 设AE=x cm,则BE=(10-x) cm. 由题意,得10-x=x+6,解得x=2,∴AE=2cm; (2)图中共有8条线段,它们的和为AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC=2AB+AC+2BC+DE, ∴2AB+AC+2BC+DE=53. ∵AB=10cm,AC=6cm, ∴2BC+DE=53-(2AB+AC)=53-(2×10+6)=27(cm), 板块三 与三角形有关的线段(三)三角形的高 典例精讲 【例1】解:如图,AM,CN 即为所求作的高. 【例2】证明: AB=2,BC=4, ∴CH=2AG. 实战演练 1.解:连接AD. ∴DE+DF=CH=8. 2.解:①如图1,当高AD在△ABC 的内部时, ,②如图2,当高AD 在△ABC的外部时,∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上所述,∠BAC 的度数为90°或50°. 板块四与三角形有关的线段(四) 面积转化与面积法 典例精讲 【例1】4 解:∵AD∥BC,∴S△ABC=S△DBC, ∴S△ABC-S△OBC=S△DBC-S△OBC, 即 【例2】3 解: 实战演练 解:(1)连接AC,∵∠ABC=∠BCD=90°, ∴AB∥CD,∴S△ACB=S△ADB, ∴S△ACE=S△BDE=6, (2)∵BC=5,CE=2,∴BE=5-2=3, $