精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学2025-2026学年上学期九年级数学期中学情调研卷

2025—2026学年第一学期初三年级期中学情调研 数学试卷（问卷） 考试时长：120分钟 满分150分 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）每题选项中只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C 笛卡尔心形线 D. 科克曲线 2. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A. 4米 B. 10米 C. 4米 D. 12米 6. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，那么的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( ) A. B. C. 1 D. -2 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 10. 已知点与点关于原点O对称，则______． 11. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___． 12. 一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有3个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是_____． 13. 如图，周长为20cm，，圆是的内切圆，圆的切线与、相交于点、，则的周长为______cm． 14. 如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积为_______． 15. 定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为_______． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 17. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，与相交于点O，点B的对应点D恰好落在边上，且点A，B，E在同一条直线上． （1）求证：平分； （2）求的度数． 18. 如图，内接于，为直径． （1）用尺规作图作出平分线，交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求长度． 19. 为参与创评“全国文明城市”称号，周末某校组织志愿者进行宣传活动．梁老师决定从4名女同学（女同学A、女同学B、女同学C、女同学D）中通过抽签的方式确定2人去参加．抽签规则是：将4名女同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． （1）“该班男生小刚被抽中”是___事件，第一次抽取卡片，“该班女同学A被抽中”的概率为 ___ ． （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“女同学B被抽中”的概率． 20. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 21. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． （1）求抛物线的解析式： （2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； （3）如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 22. 如图，是直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期初三年级期中学情调研 数学试卷（问卷） 考试时长：120分钟 满分150分 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）每题选项中只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 笛卡尔心形线 D. 科克曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可作答． 【详解】A．是中心对称，但不是轴对称；不符合题意； B．既不是轴对称，也不是中心对称；不符合题意； C．是轴对称，但不是中心对称；不符合题意； D．既是轴对称，也是中心对称；符合题意； 故选：D． 2. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】解：∵天气情况的变化是随机的，明天可能晴也可能不晴， ∴“杭州市区明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生， ∴它是随机事件． 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由“关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根”可得，解不等式即可求出的取值范围，然后从各选项中选择合适的值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 四个选项中只有选项满足要求， 故选：． 4. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 5. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A. 4米 B. 10米 C. 4米 D. 12米 【答案】B 【解析】 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 6. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理求的长，设该桨轮船的轮子半径为，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中，，， 由，得 ， 解得， ∴该桨轮船的轮子半径为， 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ∵ ， 故选：D． 8. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，由题意得：，，得到为等边三角形，根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定，准确把握旋转的性质是解题的关键． 9. 如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( ) A. B. C. 1 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论． 【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆， ∴， ∴DM的最小值为1， 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 10. 已知点与点关于原点O对称，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故答案为：1． 11. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___． 【答案】6. 【解析】 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】圆锥的底面周长cm， 设圆锥的母线长为，则： ， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ． 12. 一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有3个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．设红球的个数是x，根据概率公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：设红球的个数是x，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的解； 答：红球的个数是1； 故答案为：1． 13. 如图，周长为20cm，，圆是的内切圆，圆的切线与、相交于点、，则的周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】与的三边分别相切于、、，可得，，，， (cm)，可得，即可求解． 【详解】解：如图，与的三边分别相切于、、， 是内切圆， 切线与、相交于点、， ，， ，， 周长为20cm，， (cm)， 周长为 ()． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，掌握定理是解题的关键． 14. 如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，利用分割法求出正六边形的面积即可． 【详解】解：设正六边形的中心为，连接，作，则： ，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴螺帽的面积为； 故答案为：． 15. 定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求参数的范围，将方程，看作是函数与函数的图象的交点的个数问题，利用图象法进行求解即可． 【详解】解：当时，解得或， 由图象可知，图象的对称轴为直线， ∴当时，， 关于x的方程的解的个数，可以看作是函数与函数的图象的交点的个数问题， ∴当时，函数与函数的图象有4个交点， 即：关于x的方程有四个不相等的实数根， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化为，进而根据开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，进而解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 17. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，与相交于点O，点B的对应点D恰好落在边上，且点A，B，E在同一条直线上． （1）求证：平分； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）根据旋转的性质可得：，求出，然后求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：如图， 由旋转得：， ∴，， 由（1）得，， ∴． 18. 如图，内接于，为的直径． （1）用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，进而可得，在中，利用勾股定理可求出的长，再在中利用勾股定理可得的长． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 ∵为的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 为参与创评“全国文明城市”称号，周末某校组织志愿者进行宣传活动．梁老师决定从4名女同学（女同学A、女同学B、女同学C、女同学D）中通过抽签方式确定2人去参加．抽签规则是：将4名女同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． （1）“该班男生小刚被抽中”是___事件，第一次抽取卡片，“该班女同学A被抽中”的概率为 ___ ． （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“女同学B被抽中”的概率． 【答案】（1）不可能；；． （2）表格见解析，“女同学B被抽中”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式、不可能事件的定义是解答本题的关键． （1）根据不可能事件的定义可得答案；由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次抽取卡片，“该班女同学A被抽中”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）根据题意列表即可．由表格可得出所有等可能的结果数以及“女同学B被抽中”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，“该班男生小刚被抽中”是不可能事件． 由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次抽取卡片，“该班女同学A被抽中”的结果有1种， ∴第一次抽取卡片，“该班女同学A被抽中”的概率为． 故答案为：不可能；． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果． 其中“女同学B被抽中”的结果有：（A，B），（B，A），（B，C），（B，D），（C，B），（D，B），共6种， ∴“女同学B被抽中”的概率为． 20. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为 （2）这种玩具应降价2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． 【小问2详解】 解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 21. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． （1）求抛物线的解析式： （2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； （3）如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】（1） （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． 【小问1详解】 由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； 小问3详解】 能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 22. 如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出，进而可得，然后设，则，在和中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算可求出的长，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形的中位线定理，进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 是的直径， ， ， ， 设， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， 是的中位线， ． 的长为．  【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①，且；②或或；③ 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，且关于的对称点为，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 则关于的对称点为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点， 解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则， 解得， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点Py轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $