精品解析：山东省威海市文登区三校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年第一学期初四年级数学 12月质量检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ） A. 30tanα米 B. 米 C. 30sinα米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】在Rt△ABC中，，∴BC＝AC·tanα，即BC＝30tanα米． 故选A． 2. 已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了，此时小球距离桌面的高度为，则这个斜坡的坡度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理． 过B作，由题意得，，再由勾股定理求出的长度，然后由坡度的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过B作， 由题意得：，， ∴， ∴这个斜坡的坡度． 故选：D． 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 图象关于原点对称 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．反比例函数图象的两个分支关于原点成中心对称．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形． 根据反比例函数的性质，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A：当时，，∴图象经过点，正确； B：∵，∴函数图象分布在一三象限，在每个象限内随增大而减小，故错误； C：反比例函数图象关于原点对称，正确； D：当时，，当时，随增大而减小，∴当时，，正确； 故选：B． 4. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的判断，可分和两种情况讨论函数图象经过的象限进行判断即可 【详解】解：当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项A、B、C、D没有符合条件的； 当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项A符合条件，B、C、D不符合条件的； 故选：A 5. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化． 【详解】由题意得：sin37°=， ∴h=5×=3， ∴调整后的楼梯长==6， ∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m． 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键． 6. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ） A. 水面宽度为 B. 抛物线的解析式为 C. 最大水深为 D. 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键． 利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可． 【详解】解：设解析式为， 将抛物线上点， 带入抛物线解析式中得， 解得， 解析式为． 选项A中，，，水面宽度为故选项A错误，不符合题意； 选项B中，解析式，故选项B错误，不符合题意； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，所以水深最深处为点到水面的距离为米，故选项C正确，符合题意； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即水深最深处到水面的距离为米，减少为原来的．故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 7. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小． 根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小． 【详解】解：∵， ∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限， 如图所示： 当时，， 故选：D． 8. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题． 【详解】解：作轴于． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9. 如图，在坡度的斜坡上立有一电线杆，工程师在点A处测得E的仰角为，沿斜坡前进20米到达B，此时测得点E的仰角为，现要在斜坡上找一点P，在P处安装一根拉绳来固定电线杆，以使保持竖直，为使拉绳最短，则的长度约为（ ）参考数据： A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数进行解答，注意挖掘题目中的隐含条件．要使点E到的距离最短，则，根据题目中的信息可以求得的长度，本题得以解决． 【详解】解：作，如图所示， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵要使点E到的距离最短， ∴于点P， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 解得， ， 又∵， ∴， ∵ ， 即 ， 解得，米， 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象，可得当时，，故①正确； ∵在上， ∴是方程的一个解；故②正确； ∵，在抛物线上， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得： ∴当时，， 当时，， ∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确； ∵，顶点坐标为， ∴对于抛物线，，当时，取值范围是，故④错误． 故正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向左平移3个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线，则原抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及旋转的性质是解题的关键；逆向进行变换：先对给定抛物线绕原点旋转，得到向左平移后的抛物线，再向右平移3个单位得到原抛物线，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线，配成顶点式为， ∴顶点坐标为，则绕原点旋转后，得到新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线解析式为， 此抛物线为原抛物线向左平移3个单位所得，故将向右平移3个单位，得； 故答案为． 13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 1 2 … … 0 4 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号） ①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线一定经过点； ③在对称轴左侧，随增大而减小； ④若、两点在此抛物线上，则． 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出二次函数的解析式为，则其对称轴是直线，说法①错误；再根据对称性可得抛物线一定经过点，则说法②正确；根据增减性可得在对称轴左侧，随增大而增大，则说法③错误；根据对称性可得抛物线经过点，再根据二次函数的增减性可得说法④错误，由此即可得出答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线，则说法①错误； 设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，则说法②正确； ∵抛物线中的， ∴在对称轴左侧，随增大而增大，则说法③错误； 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即为， 又∵抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随增大而减小， ∵点，两点在此抛物线上，且， ∴，则说法④错误； 综上，说法中正确的是②， 故答案为：②． 14. 已知函数的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 【答案】k的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论． 由于的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行讨论，（1）当即时，此函数是一次函数；（2）当，即时，此函数是二次函数，根据函数图象与轴有交点可知，求出的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，函数是一次函数． 一次函数与轴有一个交点， ． （2）当时，是二次函数． 二次函数的图象与轴有交点， ． ， ． 且． 综合（1）（2）可知，的取值范围是． 15. 如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为线段上的动点，由于垂线段最短， ∴当时，取得最小值，即取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当时，取最小值为， ∴函数图象最低点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据化简三角函数值，再去根号，去绝对值计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查了特殊角对应三角函数值，完全平方式，开根号等知识点，观察式子结构是关键，利用公式化简式子进行求解，去绝对值要先判断正负． 17. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其形状如图所示： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，； ④用计算器计算得：，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段的长度； （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 18. 反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点． （1）求一次函数表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与轴交于点，连接，，求的面积． 【答案】（1），见解析 （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图法求不等式解集，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用图法求不等式解集． （1）将，两坐标先代入反比例函数求出，，然后由待定系数法求函数解析式． （2）根据直线在曲线上方时的取值范围求解． （3）由直线解析式求得点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解： ，在反比例函数的图象上， ， 解得，， ，， 把，代入中得， 解得， 一次函数解析式为． 画出函数图象如图； 【小问2详解】 解：由图象可得当或时，直线在反比例函数图象下方， 的解集为或． 【小问3详解】 把代入得， 解得， ∴点C坐标为， ∴． 19. 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； （2）当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ （3）矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】（1）爆炸前：，爆炸后： （2） （3）小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用． （1）分别设爆炸前y与x的函数关系式为，爆炸后y与x的函数关系式为，进而求解即可； （2）将代入，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可； （3）将代入，求出减7即可． 【小问1详解】 解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点与， 则，解得，则， ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，由得，，， ∴撤离的最长时间为（小时）， ∴撤离的最小速度为； 【小问3详解】 解：当时，由得，，（小时）． ∴矿工至少在爆炸后小时才能下井． 20. 抛物线过点，点，顶点为，与轴相交于点．点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为（）． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图，连接，，，若的面积为3，求的值． 【答案】（1）， （2）m值为1或2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数与几何综合． （1）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，化为顶点式可得抛物线的顶点坐标； （2）利用待定系数法求出直线解析式为，过点作轴交于点，设点，点，根据的面积为，可得出关于的方程，解方程即可得到的值． 【小问1详解】 解：将点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点； 【小问2详解】 解：把代入，得 ， ∴点， 设直线解析式为， ∵点，点，代入解析式得， ， 解得， ∴直线解析式为， 过点作轴交于点， 设点，点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，． 21. 某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）求每天的销售利润（元）与销售单价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出销售利润与销售单价之间的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为，将和代入， 得，解得， ∴与的函数解析式为； 小问2详解】 解：由题意得，， ∵对称轴，且， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 22. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【小问1详解】 将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容． 23. 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解； （2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解； （3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）由题意，设， ． 又在抛物线， ． 或（舍去）． ； 答：门高为； （3）由题意，，， 直线为． 又∵， 可设为． ． ． △． ． 直线为． 令， ．即， 答：此时的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期初四年级数学 12月质量检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ） A. 30tanα米 B. 米 C. 30sinα米 D. 米 2. 已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了，此时小球距离桌面的高度为，则这个斜坡的坡度为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 图象关于原点对称 D. 当时， 4. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B. C. D. 5. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 6. 某水利工程公司开挖池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ） A. 水面宽度为 B. 抛物线解析式为 C. 最大水深为 D. 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 7. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 9. 如图，在坡度的斜坡上立有一电线杆，工程师在点A处测得E的仰角为，沿斜坡前进20米到达B，此时测得点E的仰角为，现要在斜坡上找一点P，在P处安装一根拉绳来固定电线杆，以使保持竖直，为使拉绳最短，则的长度约为（ ）参考数据： A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向左平移3个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线，则原抛物线的解析式是______． 13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 1 2 … … 0 4 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号） ①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线一定经过点； ③在对称轴左侧，随增大而减小； ④若、两点在此抛物线上，则． 14. 已知函数的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 15. 如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 17. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其形状如图所示： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，； ④用计算器计算得：，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段的长度； （2）求底座的底面的面积． 18. 反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与轴交于点，连接，，求的面积． 19. 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； （2）当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ （3）矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 20. 抛物线过点，点，顶点为，与轴相交于点．点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为（）． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图，连接，，，若的面积为3，求的值． 21. 某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）求每天的销售利润（元）与销售单价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 23. 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $