精品解析：重庆市（康德卷）2025-2026学年高三上学期高考模拟调研（二）（12月）数学试题

2026届重庆市高考模拟调研卷 数学(二) 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3、考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出，再分子分母都乘以分母的共轭复数，计算求解. 【详解】，. 故选：A 2. 已知 ，则 “且” 是 “且” 的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件判断即可. 【详解】若且，则可得且， 若且，则可得且， 所以“且” 是 “且” 的充要条件. 故选：C. 3. 已知全集 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、交集的知识确定正确答案. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：B 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 与 的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布曲线对称性可知，，即可求的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以. 故选：B 5. 函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题答案. 【详解】， 设， , ， 即函数的值域为， 故选：C 6. 已知在数列中，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，据此求出数列的前几项，可发现该数列的周期为，再利用周期性求解即可. 【详解】由得 因为，所以，，，，…… 所以，数列是周期数列，周期为， 所以， 故选：B 7. 以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为，作图分析确定正四面体的三个球半径，，所对应的线段长度，结合勾股定理、正弦定理对应求解即可得，，与的关系，从而得比值. 【详解】如图设正四面体的棱长为，底面正的中心为，则底面，连接， 则正四面体的中心为在上，连接，取中点为，连接， 底面正的外接圆半径，由正弦定理得，所以， 则正四面体的高度为， 由于正四面体四个顶点的球的半径记为，所以， 因为，所以，整理得； 与正四面体各个面相切的球半径记为，即； 因为点为中点，和正四面体各个棱相切的球半径记为，则； 综上，. 故选：C. 8. 已知函数的定义域是，满足:对任意的实数均有 ，且当时，.若满足 ，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过给定的函数方程确定函数的具体形式，再利用已知条件求出和的关系，最后通过均值不等式求最小值. 【详解】根据给定函数满足定义域， 且对任意实数有， 及当时，，通过代入特殊值， 得， 化简得，若，当时，，取， 令，则，即， 得，与时矛盾，所以； 代入，得，化简得， 将代入原方程，得，故，即， 将表达式转化为，设，则需求最小值， 由基本不等式得，（当且仅当时取等）， 再对用基本不等式（当且仅当时取等）， 故，从而， 当且仅当时取等号，故最小值为. 故选：D. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对 得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 某学校数学教研室统计数学教师的专业素养指标， 教师年龄分布如下表， 则（ ） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A. 这组数据的平均数是 31.7 B. 这组数据的极差是 17 C. 这组数据的第 75 百分位数是 36 D. 这组数据的中位数和众数相同 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据表格一一计算平均数、极差、百分位数、中位数与众数即可. 【详解】对于A，由题意可知该组数据的平均数为 ，故A错误； 对于B，该组数据最大值为，最小值为，极差为，故B正确； 对于C，易知，该组数据从小到大排列后， 第15和16个数据都位于36岁年龄组，所以C正确； 对于D，该组数据从小到大排列后，第10和11个数据为32岁，所以中位数为32岁， 众数也是32岁，故D正确. 故选：BCD 10. 关于函数 ，正确的命题是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 中心对称 C. 的最大值为 D. 在 上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数的诱导公式、辅助角公式，结合余弦函数的最小正周期公式、对称性、单调性、最值性质逐一判断即可. 【详解】. A：的最小正周期为，所以本选项不是正确的命题； B：，所以本选项是正确的命题； C：显然当时， 即当时，函数有最大值，所以本选项是正确的命题； D：当时，，显然在 上单调递减，所以本选项不是正确的命题， 故选：BC 11. 已知双曲线 的离心率为 ，右焦点为 ，左右顶点为 为其右支上的点 (异于 )，直线 垂直 轴于点 ，与两渐近线分别交于 两点，过点 作双曲线的切线 ， 交直线 于点 ，过点 作垂直于 的直线，交 轴于点 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A设点在双曲线右支上，，，，将代入消去，观察是否恒等于；B由渐近线与相交，求、，计算和，观察乘积是否恒为；C写出双曲线在点处的切线方程，令求交点，得到和的坐标表达式，结合化简，观察乘积是否恒为零，从而判断是否恒为直角；D由切线斜率求其垂线的斜率，写出过点的垂线，令求其与轴交点，计算和的长度表达式，将用双曲线方程替换为关于的式子，化简，观察是否恒等于离心率. 【详解】已知双曲线，其离心率为，其中，右焦点为， 左右顶点分别为，设点在双曲线右支上（即）， A，点是在轴上的垂足，故，则， ，因此， 由双曲线方程可得： 所以，代入得：，故A正确 B，渐近线为，当时， 交点为：，则 乘积为：，由双曲线方程：， 所以，故：，故B正确 C，切线的方程为 当时，解得坐标为， 向量， 计算乘积：，令其为，得， 此值小于，不在右支上，而矛盾，故C错误； D，过作垂直于切线的直线，交轴于切线斜率为， 垂线斜率为，解得坐标为， ， 所以：，故D正确. 故选：ABD 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 一水壶如图所示可视为由圆台和圆柱组成， 圆台上底面半径为 1cm， 下底面半径为3cm，圆台高2cm，圆柱高12cm，若装满水，则水壶容量约为_____mL.(忽略底部和瓶盖部分，取 ) 【答案】 【解析】 【分析】分别利用圆台的体积公式和圆柱的体积公式求出圆台和圆柱的体积，再把两个的体积相加就是水壶容量. 【详解】由题可知圆台的体积为 圆柱的体积为 ，所以水壶容量约为； 故答案为： 13. 若函数 是偶函数，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，列出方程，求出参数即可. 【详解】因为，所以函数定义域为， 当函数 是偶函数时，， 即，化简得， 化简得， 即，即. 故答案为：. 14. 从 0，1，2，3，4，5 中取出三个不同数字组成一个三位数，且这个三位数能被 15 整除，则这样的三位数有_____个. 【答案】 【解析】 【分析】按末位数为0或5分类，再按三位数字和能被3整除列举即可. 【详解】（1）当末位数为0时，剩余数字从中选取两个不同数字作为前两位， 数字和等于前两位数字之和（因末位为0），必须能被3整除。 满足和能被3整除的配对有：， 满足能被15整除的三位数有：120，210，150，510，240，420，450，540共8个三位数； （2）当末位数为5时，剩余数字从中选取两个不同数字作为前两位，且首位不能为0， 数字和等于前两位数字之和加5，必须能被3整除， 满足和能被3整除的配对有：， 满足能被15整除的三位数有105，405，135，315，345，435共6个三位数； 综上：满足能被15整除的三位数一共有个. 故答案为：14 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 . （1）当时，讨论的单调性； （2）证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 小问1详解】 当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即和上单调递增，在上单调递减， 【小问2详解】 易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 16. 如图，矩形 中， 在 边上，且 ，沿 将 翻折，使点 到 ，且满足 . （1）求证:平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，，由余弦定理求出，由勾股逆定理可得，根据线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）延长，，交于点，连接，根据线面垂直，作出平面的夹角，求正切值即可. 【小问1详解】 取中点为，连接，， 由条件可知， 为等腰直角三角形，所以，， 在中，由余弦定理可得， 由，，从而，从而， 又，平面，从而平面， 由平面，所以平面平面； 【小问2详解】 延长，，交于点，连接，知为平面与平面的交线， 由于，，所以为等腰直角三角形，有， 取中点为，连接，，，由于，平面 ， 由（1）知平面 平面 ，且是交线，所以平面，平面， 所以，过作，连接，平面, 所以平面，又平面，所以， 故有为平面与平面的夹角， 在中，，在中，，可得， 所以， 所以平面与平面成角的正切值为． 17. 已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、 （1）若 ，求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理解三角形可得答案； （2）由，利用正弦定理把边换成角，然后两边同乘以，化简，可得的角度，再利用正弦定理把周长表示成关于角的函数，利用三角函数最值的求法可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理有， 所以有，由余弦定理得， ，解得. 【小问2详解】 ， 则有， 两边同乘则化简有：， 所以， 所以，所以，所以，， 则有：， 则有，其中． 其中仅当时取等，所以周长的最大值为． 18. 经过椭圆 的中心作直线 ，与椭圆 交于 两点(A 在第一象限)， 为椭圆的右焦点. （1）若点 关于坐标轴的对称点分别为 ，求四边形 面积的最大值. （2）若 ，求 的面积； （3）若 为 的上顶点，求四边形 面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，结合四边形的面积公式即可求解； （2）数形结合，根据椭圆的定义及其几何性质，结合余弦定理、三角形面积公式即可求解； （3）设，并与椭圆联立方程组，解得，由四边形的面积为，可得，并用换元法令，转化为求二次函数的最大值即可. 【小问1详解】 设，，， 有， 所以，当且仅当，时取等号， 而，所以四边形面积最大值为； 【小问2详解】 设左焦点为，连接，， 易知，， 根据题意以及直线 与椭圆的对称性可知， 与的面积相等， 在中，，由余弦定理，， 则有，所以， 所以； 【小问3详解】 设，联立，有， 设，，从而四边形的面积为， 则， 令，则，则函数， 当时，有最小值，此时则有最大值． 19. 形如 的公式称为多项式定理，其中 为该多项式展开式中 对应项的系数，该定理在解决概率问题中有着广泛的应用.， （1）已知 ，分别求 的奇数次方与偶数次方的系数和； （2）现有三名水平相当的篮球运动员进行投篮训练，规则如下:按照甲乙丙的顺序依次投篮，若投中则继续投篮直到未投中为止，然后换下一人继续练习，直到三人均完成练习. 每人投篮投中一次则计1分， 每人每次练习投中的概率均为 ，且每次投篮互不影响. ①记 为甲练习投篮得分，证明: ； ②若三人投篮次数均不超过七次，求三人总得分为偶数的概率(保留两位小数). 【答案】（1）偶数次方的系数和为，奇数次方的系数和为； （2）①证明见解析；②0.51 【解析】 【分析】（1）利用赋值法令，联立方程求奇数次方项与偶数次方项的和即可； （2）①由n次独立重复试验的概率公式及期望公式，再由错位相减法求和即可得证； ②记每人投篮为，表示有次投中，次投中的概率为，根据题意转化为 式子 中偶次方的系数和，利用赋值法求解即可. 【小问1详解】 令有，① 令有，② 则①+②有，即 所以的偶数次方的系数和为， 则①-②有，即 所以的奇数次方的系数和为； 【小问2详解】 ①，则，① ，② 两式相减，得， 所以； ②记每人投篮为，表示有次投中，次投中的概率为， 由式子③， 可以表示三人投篮投中次数情况，其中中表示三人共投中次，表示投中次的概率， 所以三人总得分为偶数的概率即为③式中的偶次方的系数和， 令有： 令有： 由上两式解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市高考模拟调研卷 数学(二) 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3、考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 “且” 是 “且” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知全集 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 与 的取值有关 5. 函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在数列中，，则（） A. B. C. D. 7. 以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域是，满足:对任意的实数均有 ，且当时，.若满足 ，则的最小值为（ ） A 2 B. C. 4 D. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对 得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 某学校数学教研室统计数学教师的专业素养指标， 教师年龄分布如下表， 则（ ） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A. 这组数据的平均数是 31.7 B. 这组数据的极差是 17 C. 这组数据的第 75 百分位数是 36 D. 这组数据的中位数和众数相同 10. 关于函数 ，正确的命题是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 中心对称 C. 的最大值为 D. 在 上单调递增 11. 已知双曲线 的离心率为 ，右焦点为 ，左右顶点为 为其右支上的点 (异于 )，直线 垂直 轴于点 ，与两渐近线分别交于 两点，过点 作双曲线的切线 ， 交直线 于点 ，过点 作垂直于 的直线，交 轴于点 ，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 一水壶如图所示可视由圆台和圆柱组成， 圆台上底面半径为 1cm， 下底面半径为3cm，圆台高2cm，圆柱高12cm，若装满水，则水壶容量约为_____mL.(忽略底部和瓶盖部分，取 ) 13. 若函数 是偶函数，则 _____. 14. 从 0，1，2，3，4，5 中取出三个不同数字组成一个三位数，且这个三位数能被 15 整除，则这样的三位数有_____个. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 . （1）当时，讨论的单调性； （2）证明:当时，在上有且仅有一个零点. 16. 如图，矩形 中， 在 边上，且 ，沿 将 翻折，使点 到 ，且满足 . （1）求证:平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的正切值. 17. 已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、 （1）若 ，求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值. 18. 经过椭圆 中心作直线 ，与椭圆 交于 两点(A 在第一象限)， 为椭圆的右焦点. （1）若点 关于坐标轴的对称点分别为 ，求四边形 面积的最大值. （2）若 ，求 的面积； （3）若 为 的上顶点，求四边形 面积的最大值. 19. 形如 的公式称为多项式定理，其中 为该多项式展开式中 对应项的系数，该定理在解决概率问题中有着广泛的应用.， （1）已知 ，分别求 奇数次方与偶数次方的系数和； （2）现有三名水平相当的篮球运动员进行投篮训练，规则如下:按照甲乙丙的顺序依次投篮，若投中则继续投篮直到未投中为止，然后换下一人继续练习，直到三人均完成练习. 每人投篮投中一次则计1分， 每人每次练习投中的概率均为 ，且每次投篮互不影响. ①记 甲练习投篮得分，证明: ； ②若三人投篮次数均不超过七次，求三人总得分为偶数的概率(保留两位小数). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $