精品解析：安徽省六安市金安区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级试卷数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果是的是（） A. B. C. D. 3. 下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 8. 如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，分别是，的中点，，，垂足分别为，，交于点，且．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 12. 已知多项式，则______． 13. 在中，若锐角，满足，则的度数为________． 14. 如图，这是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点为原点，水平方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点，为水花的落水点且均在轴上，其中右侧抛物线的表达式为，喷水管的高度为． （1）的值为________； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管的高度，使落水点与喷水管的水平距离为，则喷水管要降低的高度为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； （2）在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图，这是一个太阳能面板及其侧面示意图，是的中点，．当太阳光与面板垂直时．太阳面板吸收光能的效率最高，且太阳光与地面的夹角为，求此时支架端离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 18. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，． （1）求证：； （2）若，，求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）连接，，求． 20. 如图，在四边形中，，，，，．分别取，的中点，，连接，过点作于点． （1）的长为________； （2）求证：； （3）求的长． 21. 规定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”． 已知点，是关于的“黄金函数”图象上的一对“黄金点”，且该函数图象的对称轴始终位于直线的右侧． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）请比较代数式与的大小，并说明理由． 22. 在矩形中，是边上的一点，过点作，交直线于点． （1）如图1，与的数量关系为________； （2）如图2，当点恰好与点重合时，求证：； （3）若为的中点，，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． （1）求的值； （2）求抛物线的表达式； （3）若平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得的抛物线与轴的交点的纵坐标的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级试卷数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根，有理数定义，无理数的定义判断即可． 本题考查了无理数即无限不循环小数，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 是分数，不是无理数，不符合题意； B. 无限循环小数 ，不是无理数，不符合题意； C. 是无理数，符合题意； D. 是有理数，不是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算结果是的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方等的运算法则，逐一计算各选项，判断是否等于即可． 【详解】解：对于选项A：不是同类项，无法合并，结果不为，不符合题意； 对于选项B：∵，∴，不符合题意； 对于选项C：∵，∴，符合题意； 对于选项D：∵，∴，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的基本特点去判断解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，符合标准式，不符合题意； B. ，不符合标准式，符合题意； C. ，符合标准式，不符合题意； D. ，符合标准式，不符合题意； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数中，y随x的增大而减小，点和中，，得到． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴， 故选：A． 5. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】由于两点纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为 ，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的计算，熟练掌握对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等， ∴点 和 关于对称轴 对称， ∴ ， 故选：A． 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，根据正切函数的定义，解答即可．本题考查了正切函数的计算． 【详解】解：连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故， 故， 故选：D． 7. 如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设阴影部分的面积为，根据，得，继而得到，结合解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设阴影部分的面积为，根据，得，故， 又， 故； 解得， 故选：A． 8. 如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系，利用图象以及二次函数的性质解决问题． 根据二次函数的对称性求得与轴的另一个交点坐标，根据图象与轴的交点坐标即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ，即， 由图象可得或． 故选D． 9. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，设，则，，根据，解答即可． 本题考查了正切函数的定义，勾股定理，比值的计算，熟练掌握正切函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， 设， 则，， 根据题意，得， 故， 由，得． 故， 故选：C． 10. 在中，，分别是，的中点，，，垂足分别为，，交于点，且．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点H，连接，证明四边形是平行四边形，，根据三角形中位线定理，中点的意义解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵，分别是，的中点，的中点为H， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知多项式，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式特征是解题关键，根据完全平方公式展开得出，可求出的值，进而求出结论． 【详解】解：， ， ，，， ， 故答案为：． 13. 在中，若锐角，满足，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性，可得和的值，再根据特殊角的三角函数值确定，的度数，最后利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方都具有非负性， ∴， 解得， 所以，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，这是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点为原点，水平方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点，为水花的落水点且均在轴上，其中右侧抛物线的表达式为，喷水管的高度为． （1）的值为________； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管的高度，使落水点与喷水管的水平距离为，则喷水管要降低的高度为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可． 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． 故答案为：； （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的解为：， 在数轴上表示如图： 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； （2）在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据位似比，确定坐标后，画图即可； 本题考查了平移作图，位似作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：的三个顶点坐标分别是，，． 将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，则，，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：的三个顶点坐标分别是，，． 在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1，得到，则，，画图如下： 则即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图，这是一个太阳能面板及其侧面示意图，是的中点，．当太阳光与面板垂直时．太阳面板吸收光能的效率最高，且太阳光与地面的夹角为，求此时支架端离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 过点C作，根据题意算出，再结合线段的中点得，运用直角三角形的两个锐角互余得，然后根据，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图： ∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高， ∴， ∵点C是的中点，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质证明，即可； （2）根据得，结合，，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）连接，，求． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，根据解析式确定不等式的解集，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键， （1）把代入解析式可求得a值，确定代入解析式可求得k值，即可求得解析式. （2）设与y轴的交点为C，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． ，， ，， ，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 解得，， 故， 设与y轴的交点为C， ， ， 如图，连接、，． 20. 如图，在四边形中，，，，，．分别取，的中点，，连接，过点作于点． （1）的长为________； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得； （2）证明及，即可得到； （3）连接，得到四边形是矩形，从而得到，由相似三角形的性质计算出的长，再由中点的性质计算出的长，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 、分别是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， ，为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 为的中点， ， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21. 规定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”． 已知点，是关于的“黄金函数”图象上的一对“黄金点”，且该函数图象的对称轴始终位于直线的右侧． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）请比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，点和点关于原点对称，进一步求出点和点的坐标，再将两点的坐标代入解析式，得到方程组，最后利用整体思想即可求值； （2）先根据（1）中的方程组，易得出，再根据函数图象的对称轴始终位于直线的右侧，可得不等式，再分情况讨论即可； （3）先根据（1）和（2）可得，，，，再将化简为，最后根据的取值范围即可比较大小． 【小问1详解】 解：由题意得，点和点关于原点对称， ，， ，． 将，代入得， ， 将两式相加可得，， ． 答：的值为． 【小问2详解】 解： 由（1）可知， ， 用第一个方程减去第二个方程可得，， ． 对于二次函数，其对称轴为直线， 且该函数图象的对称轴始终位于直线的右侧， ， 即， 故分两种情况： 情况一：当时， 解得，， 此时与矛盾，舍去； 情况二：当时， 解得，，即． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 解：， 理由如下： 由（1）可知，， ． 由（2）可知，，， 当时，． ， ， ， 即． 22. 在矩形中，是边上的一点，过点作，交直线于点． （1）如图1，与的数量关系为________； （2）如图2，当点恰好与点重合时，求证：； （3）若为的中点，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形中两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则，即可解答． （2）先推导出，，得到，继而证明即可． （3）在矩形中，，，设，则，过点E作于点F，得到，分类讨论：①当点E在之间时，②当点E在的延长线上时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 在矩形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 在矩形中，，， 设，则， 过点E作于点F， ∴， ①当点E在之间时，如图 有， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． ②当点E在的延长线上时，如图 有， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 综上所述，的值为或． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． （1）求的值； （2）求抛物线的表达式； （3）若平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得的抛物线与轴的交点的纵坐标的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）把代入，即可解答； （2）先判断哪两个点在抛物线上，再利用待定系数法求解即可； （3）设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，根据题意得：，由抛物线为与轴交点纵坐标为，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 可得， 解得； 【小问2详解】 解：，的横坐标相同， ，不可能同时在抛物线上， 假设抛物线恰好经过，两点， 代入可得， 解得，不符合二次函数的定义， 故抛物线恰好经过，两点， 代入可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）知，抛物线的解析式为， 设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为， 顶点仍在直线上， ， ， 抛物线为与轴交点纵坐标为， ， 当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $