第十二章 三角形（知识清单）数学新教材北京版八年级上册

该初中数学“三角形”单元知识清单全面覆盖三角形性质、全等判定、等腰与直角三角形特性、勾股定理及尺规作图等内容，搭建了从基础概念解析到综合应用的递进式学习支架，包含知识点梳理、易错警示与典型例题三大范畴。 清单采用“知识点分类+易错点标注+模型总结”架构呈现知识体系，如将全等判定细化为SAS、ASA等方法并标注“边边角”误区，提炼“倍长中线”“一线三等角”模型培养推理意识与空间观念。设计“性质-判定-应用”逻辑链，学生可自主梳理知识，教师能直接用于备课与分层教学，提升教与学效率。

第十二章 三角形 知识点一、三角形及其性质 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 . 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ ”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 4.三角形内角和定理：三角形的内角和为 ． 5.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图， 是△ABC的一个外角. （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的 的和 （2）三角形的一个外角 任意一个与它不相邻的内角 知识点二、三角形的高、中线和角平分线 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 图形语言 作图语言 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 过点A作AD⊥BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 注意事项 与角的平分线不同． — 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 知识点三、全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做 ，简称 . 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是 ； 2.图形是否全等与它们所在的 无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是 . 全等图形的性质 全等图形的性质：① ，② . 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等. 2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合. 知识点四、全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 . 3.全等三角形的表示：全等用符号“ ”表示，读作“ ”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点五、全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的 ， . 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的 ，对应边上的 ，对应角的 ； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 知识点六、全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“ ”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“ ”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“ ”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“ ”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 知识点七、尺规作图 1、作一条线段等于 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2、作一个角等于 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3、作已知角的 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4、过一点作已知直线的 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5、作线段的 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 知识点八、定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做 ．许多命题都是由 和 两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做 .条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做 .其中一个命题是另一个命题的 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 知识点九、轴对称图形与图形的轴对称 1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做 ．这条直线叫做 . 2.轴对称是一个图形的性质，一个图形的对称轴是一条 ，不是线段或射线； 3.轴对称图形至少有一条对称轴，但是可以不止一条对称轴，如圆的对称轴有 ，每条直径所在的直线均是圆的对称轴。 4.轴对称图形的性质：对称轴 连结两个对称点的线段 5.图形的轴对称定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 6.图形的轴对称性质：成轴对称的两个图形是 图形.图形成轴对称是两个图形的位置关系. 知识点十、等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 ；等腰三角形的对称轴有 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 ． 4.等边三角形三个角都等于 ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是 的等腰三角形是等边三角形 ③ 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 的三角形是等边三角形 知识点十一、直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 （2）直角三角形斜边上的中线等于 （3）30°角所对的直角边等于 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的 ； 知识点十二、勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的 等于斜边的 ； 如图则有：在Rt△ABC中， . 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 知识点十三、直角三角形全等的判定 1．直角三角形全等的判定方法——HL 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 一、三角形及其性质 1.三角形内角和为180° 错误：未考虑到三角形内角和为180°的隐含条件； 注意：三角形内角和为180°是隐含条件，不在题干中提及但可以在已知是三角形时运用。 1．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2.设未知数求解三角形的内角 错误：在只知道一个内角的度数时无法求出三角形的其他两个内角 注意：根据内角之间的已知条件，学会未知数列式解决求内角的问题，如已知一个角和另外两个角的等量关系，或已知三个角间多个等量关系，比如，已知三个角的比例是1:2:3，可以设三个角的度数为α，2α，3α，然后根据内角和为180°，列式α+2α+3α=180，可以求出三个内角的度数。 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）在中，与的度数比是．求的度数． 3.用三角形的三边关系确认是否构成三角形 错误：判断时没有考虑任意两边之和都要大于第三边的原则，只判断其中两边大于第三边。 注意：要同时满足任意两边之和大于第三边，简便方式是可以只比较小的两条边的和与最大边长的大小。 3．（25-26八年级上·河北张家口·期中）已知a、b、c是的三边． (1)若，，求第三边c的取值范围； (2)若，，第三边c为偶数，判断的形状． 4.中线的性质 错误：作出中线后忽略端点所在边被分为相等的两部分的事实 注意：中线产生的已知条件中，一条边被分为相等的两段，非常重要，也可以引申出：中线将三角形分为面积相等的两部分。 4．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 5.与三角形高线有关的计算 错误：不知道用两种方法算三角形的面积 注意：可以用面积法求三角形的高 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为30，则的周长为________； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 6.通过三角形的外角的性质求解三角形的内角 错误：只能通过外角判断相邻内角的度数，间接求解三角形的其他内角。 注意：可以直接通过三角形的外角的性质，结合其他条件求出不相邻的其他内角。 6．如图，分别是的两个外角． (1)若，求的度数． (2)若，请用含的代数式表示的度数． 二、全等三角形 1.逆命题、逆定理 错误：不理解命题的概念 注意：判断一件事情的语句，叫做命题，陈述句不是命题 7．（25-26八年级上·四川南充·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．两个数的绝对值相等，这两个数也相等 C．相等的角是同位角 D．若，则 2、全等三角形的性质 已知三角形全等，求对应的时间t 错误：根据全等的条件，分类讨论符合要求的时间t 注意：分不同的情况时，要学会画对应的图形，根据图形标出相关的量 8．（25-26八年级上·河北·期中）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 3、全等三角形的判定 用不同的方法判定三角形全等 错误：不知道用哪个全等三角形的判定方法 注意：分析题意，将题目所给的条件一一列好，最后根据所列的条件判断用哪个判定方法 9．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．求证． 4.倍长中线模型 错误：不知道辅助线如何添加 注意：倍长中线造全等即可 10．（25-26八年级上·河北保定·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 5.一线三等角模型 错误：找不到一线三等角的模型 注意：一般找到两条相等的边，就可以围绕这两条边做一线三等角模型 11．（25-26八年级上·河南开封·期中）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ， ， ， ，… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，直接写出的面积． 6.不会尺规作图 错误：尺规作图的方法、技巧掌握不扎实 注意：初中阶段的几种尺规作图的方法要反复练习 12．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，过点的直线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）． (2)若（1）中所作的角平分线与直线交于点．求证：． 三、等腰三角形 1.等腰三角形的判定与性质 错误：不会证明等腰三角形，遇到等腰三角形不会添加辅助线； 注意：牢记等腰三角形的三线合一的性质 13．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，求． 2.等腰三角形的存在性问题 错误：在平面内找不到一点，使其与已知两点构成等腰三角形 注意：运用“两圆一垂”的方法可以找到符合要求的等腰三角形的点； 14．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 3.等边三角形的判定与性质 错误：不会证明等边三角形，不会添加等边三角形的辅助线； 注意：牢记等边三角形的性质，同时要注意辅助线的添加，尤其是手拉手模型； 15．（25-26八年级上·河北·期中）如图，已知点在同一条直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点交于点． (1)求证：； (2)___________°； (3)连接，试判断是什么特殊三角形，并说明理由． 四、直角三角形 1.直角三角形全等的判定 错误：碰到两个直角三角形不会用HL来证明； 注意：记住除了常规的四种普通三角形的全等判定方法，在直角三角形里边还有一个HL的证明方法； 16．（25-26八年级上·河北·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 2.直角三角形全等的判定辅助线添加问题 错误：不会添加直角三角形全等的辅助线； 注意：要会作垂直，尤其是碰到两个直角三角形时时候； 17．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线． (1)求； (2)求证：； (3)如图2，E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．若E是的中点，求证：； 五、勾股定理 1.用勾股定理解三角形 错误：遇到求边长的问题不会做辅助线，也不会构造直角三角形； 注意：在几何图形中求边长时，很多的时候都是运用勾股定理来求，所以要会根据题意造直角三角形，让三条边都可以用一个未知数表示出来； 18．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 2.勾股定理的实际应用 错误：不会实际题意构造符合要求的直角三角形； 注意：用题目所给的条件判断如何作直角三角形； 19．（25-26八年级上·河北沧州·期中）10月日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 3.勾股定理中的最短路径问题 错误：对勾股定理中几种最短路径问题不熟悉，不掌握具体的做题方法； 注意：注意勾股定理中的最短路径问题，涉及到的有圆柱、长方体、阶梯、选址、最值等等问题，每个题型要多加练习； 20．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，如果，且点在上，那么下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．17 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 5．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，等腰的面积为24，底边长为6，腰的垂直平分线分别交边于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接．在点M运动过程中，周长的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．11 9．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，为一条射线，，若．则的长为 ． 10．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图， ． 11．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时， s． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则 （用含的式子表示）． 13．（25-26八年级上·河北沧州·期中）以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有 个． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，平分，E为上一点，且，连接并延长，交于点F，若，则的度数为 ． 15．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．若，，则的度数为 ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形． 18．（25-26八年级上·河北保定·月考）如图，嘉琪坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，之后靠外力在、、之间往复，若，点到地面的距离是3米，点到的距离米，过点作，垂足为，则点到地面的距离为 米． 19．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图在中，，，是它的角平分线，是边上的中线，的周长比的周长大4，过点作于，若，则到的距离 ． 20．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等． 21．（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 22．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【生活背景】村口有一条小河，小明想测量河宽，如图． 【测量操作】 ①把河两岸近似看作两平行的直线和，在河岸上取点； ②在河岸的另一侧取一点，使； ③在上取两点，使； ④作，且在同一条直线上； 【结论】测得的长就是河宽的长度． 【解决问题】按照操作获得的结论正确吗？如果正确，请给予证明，如果不正确，请说明理由． 23．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： (1)； (2)． 24．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）数学活动课上，嘉淇制作了两个三角板（即和），，，． (1)当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 25．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 26．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 27．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： (1)在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． (2)归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 28．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 29．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 30．（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有一张三角形纸片，E，F分别是边上的点，沿直线折叠，点C的对应点为点 D． (1)如图1，点 D恰好在边上，则与之间的数量关系是 ； (2)如图2，点D 在的内部，且．若，求的度数； (3)如图3，点 D 在的内部．若恰好平分平分，求 的度数； (4)如图4，点 D在的外部，且在上方时，直接写出之间的数量关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 三角形 知识点一、三角形及其性质 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形 . 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ △ABC ”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 4.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 5.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图， ∠ACD 是△ABC的一个外角. （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角 的和 （2）三角形的一个外角 大于 任意一个与它不相邻的内角 知识点二、三角形的高、中线和角平分线 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 图形语言 作图语言 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 过点A作AD⊥BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 注意事项 与角的平分线不同． — 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 知识点三、全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等. 2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合. 知识点四、全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点五、全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 知识点六、全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 知识点七、尺规作图 1、作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2、作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3、作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4、过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5、作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 知识点八、定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 知识点九、轴对称图形与图形的轴对称 1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够 互相重合 ，那么这个图形叫做 轴对称图形 ．这条直线叫做 对称轴 . 2.轴对称是一个图形的性质，一个图形的对称轴是一条 直线 ，不是线段或射线； 3.轴对称图形至少有一条对称轴，但是可以不止一条对称轴，如圆的对称轴有 无数条 ，每条直径所在的直线均是圆的对称轴。 4.轴对称图形的性质：对称轴 垂直平分 连结两个对称点的线段 5.图形的轴对称定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 6.图形的轴对称性质：成轴对称的两个图形是 全等 图形.图形成轴对称是两个图形的位置关系. 知识点十、等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 知识点十一、直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 一半 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的 逆定理 ； 知识点十二、勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的 平方和 等于斜边的 平方 ； 如图则有：在Rt△ABC中， a2+b2=c2 . 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 a2+b2=c2 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 知识点十三、直角三角形全等的判定 1．直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 一、三角形及其性质 1.三角形内角和为180° 错误：未考虑到三角形内角和为180°的隐含条件； 注意：三角形内角和为180°是隐含条件，不在题干中提及但可以在已知是三角形时运用。 1．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ． 故选： C． 2.设未知数求解三角形的内角 错误：在只知道一个内角的度数时无法求出三角形的其他两个内角 注意：根据内角之间的已知条件，学会未知数列式解决求内角的问题，如已知一个角和另外两个角的等量关系，或已知三个角间多个等量关系，比如，已知三个角的比例是1:2:3，可以设三个角的度数为α，2α，3α，然后根据内角和为180°，列式α+2α+3α=180，可以求出三个内角的度数。 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）在中，与的度数比是．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得的度数，再根据与的度数比是计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵与的度数比是， ∴，． 3.用三角形的三边关系确认是否构成三角形 错误：判断时没有考虑任意两边之和都要大于第三边的原则，只判断其中两边大于第三边。 注意：要同时满足任意两边之和大于第三边，简便方式是可以只比较小的两条边的和与最大边长的大小。 3．（25-26八年级上·河北张家口·期中）已知a、b、c是的三边． (1)若，，求第三边c的取值范围； (2)若，，第三边c为偶数，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及三角形形状的判断；解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这一基本性质． （1）直接应用三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，代入数值计算即可； （2）同样先由三边关系求出第三边的取值范围，再结合“为偶数”这一条件确定的具体值，最后，通过比较三边长的平方关系来判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵ ∴． （2）∵，即，第三边为偶数， ∴第三边， ∴， ∴该三角形为等腰三角形． 4.中线的性质 错误：作出中线后忽略端点所在边被分为相等的两部分的事实 注意：中线产生的已知条件中，一条边被分为相等的两段，非常重要，也可以引申出：中线将三角形分为面积相等的两部分。 4．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2)与的周长差为 【分析】本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【详解】（1）解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 5.与三角形高线有关的计算 错误：不知道用两种方法算三角形的面积 注意：可以用面积法求三角形的高 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为30，则的周长为________； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3) 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，由三角形三边关系定理可得， ， ， 故答案为：； （2）解：的周长， ， 的周长， ∵点D是边的中点， ， 的周长， 故答案为：28； （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， 边上的高为· 6.通过三角形的外角的性质求解三角形的内角 错误：只能通过外角判断相邻内角的度数，间接求解三角形的其他内角。 注意：可以直接通过三角形的外角的性质，结合其他条件求出不相邻的其他内角。 6．如图，分别是的两个外角． (1)若，求的度数． (2)若，请用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，由三角形内角和定理可得，据此可得答案； （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴． 二、全等三角形 1.逆命题、逆定理 错误：不理解命题的概念 注意：判断一件事情的语句，叫做命题，陈述句不是命题 7．（25-26八年级上·四川南充·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．两个数的绝对值相等，这两个数也相等 C．相等的角是同位角 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查逆命题的真假判断．需要写出每个原命题的逆命题，并运用初中数学知识判断其是否成立．据此判断即可． 【详解】A：原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”． ∵内错角相等是平行线的判定定理， ∴逆命题成立； B：原命题“两个数的绝对值相等，这两个数也相等”的逆命题为“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”． ∵两数相等则绝对值必相等， ∴逆命题成立； C：原命题“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”． ∵同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立， ∴逆命题不成立； D：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵时，平方必然相等， ∴逆命题成立． 故选C． 2、全等三角形的性质 已知三角形全等，求对应的时间t 错误：根据全等的条件，分类讨论符合要求的时间t 注意：分不同的情况时，要学会画对应的图形，根据图形标出相关的量 8．（25-26八年级上·河北·期中）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中点的意义求得，再分“，”、“，”两种情况，分别求出妞妞的运动速度． 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 3、全等三角形的判定 用不同的方法判定三角形全等 错误：不知道用哪个全等三角形的判定方法 注意：分析题意，将题目所给的条件一一列好，最后根据所列的条件判断用哪个判定方法 9．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用等式的性质及已知条件可推出，然后利用即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即：， 在和中， ， ． 4.倍长中线模型 错误：不知道辅助线如何添加 注意：倍长中线造全等即可 10．（25-26八年级上·河北保定·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5.一线三等角模型 错误：找不到一线三等角的模型 注意：一般找到两条相等的边，就可以围绕这两条边做一线三等角模型 11．（25-26八年级上·河南开封·期中）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ， ， ， ，… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)，补全过程见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及互余两角的关系、平行线的判定与性质等知识，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：的面积为24． 理由如下： 延长，过点作于，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， 延长，过点作于，如图4所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 6.不会尺规作图 错误：尺规作图的方法、技巧掌握不扎实 注意：初中阶段的几种尺规作图的方法要反复练习 12．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，过点的直线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）． (2)若（1）中所作的角平分线与直线交于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由等角对等边可证明． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴． 三、等腰三角形 1.等腰三角形的判定与性质 错误：不会证明等腰三角形，遇到等腰三角形不会添加辅助线； 注意：牢记等腰三角形的三线合一的性质 13．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2.等腰三角形的存在性问题 错误：在平面内找不到一点，使其与已知两点构成等腰三角形 注意：运用“两圆一垂”的方法可以找到符合要求的等腰三角形的点； 14．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）由得到，然后列方程求解即可； （4）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；； （2）解：当时，P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图所示， ∵ ∴ ∴ ∴； （4）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3.等边三角形的判定与性质 错误：不会证明等边三角形，不会添加等边三角形的辅助线； 注意：牢记等边三角形的性质，同时要注意辅助线的添加，尤其是手拉手模型； 15．（25-26八年级上·河北·期中）如图，已知点在同一条直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点交于点． (1)求证：； (2)___________°； (3)连接，试判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)60 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得再根据“边角边”证明结论； 对于（2），根据全等三角形的对应角相等得，再根据三角形的内角和定理及对顶角相等得出答案； 对于（3），先说明，再根据“角边角”证明，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵且， ∴； 故答案为：60； （3）解：是等边三角形，理由如下： 如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 四、直角三角形 1.直角三角形全等的判定 错误：碰到两个直角三角形不会用HL来证明； 注意：记住除了常规的四种普通三角形的全等判定方法，在直角三角形里边还有一个HL的证明方法； 16．（25-26八年级上·河北·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2.直角三角形全等的判定辅助线添加问题 错误：不会添加直角三角形全等的辅助线； 注意：要会作垂直，尤其是碰到两个直角三角形时时候； 17．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线． (1)求； (2)求证：； (3)如图2，E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．若E是的中点，求证：； 【答案】(1)67.5° (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等角对等边、角平分线的性质定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键。 （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）如图：过点D作，垂足为点M，由角平分线的性质可得，易证可得，再证明可得，即；再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，易证，从而证明，再证明，然后运用等量代换即可证明结论。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴。 （2）证明：如图：过点D作，垂足为点M， ∴， ∵平分，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）证明：如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 由（2）得，， ∴，即， ∵点E为中点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 五、勾股定理 1.用勾股定理解三角形 错误：遇到求边长的问题不会做辅助线，也不会构造直角三角形； 注意：在几何图形中求边长时，很多的时候都是运用勾股定理来求，所以要会根据题意造直角三角形，让三条边都可以用一个未知数表示出来； 18．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质等知识．证明三角形全等是解题的关键． （1）根据可知，再根据E是的中点，可证明； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下由，得到，再证明，得为的平分线，由勾股定理求的长，根据角平分线性质定理即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作于N，如图所示： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为的平分线， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即点E到的距离为． 2.勾股定理的实际应用 错误：不会实际题意构造符合要求的直角三角形； 注意：用题目所给的条件判断如何作直角三角形； 19．（25-26八年级上·河北沧州·期中）10月日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）过点A作于点E，在中，由勾股定理得出的长可推出结果； （2）假设能上升，如图，延长至点F，使，连接，根据勾股定理求出的长，可推出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， 则， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解：能成功，理由如下： 假设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 能成功上升． 3.勾股定理中的最短路径问题 错误：对勾股定理中几种最短路径问题不熟悉，不掌握具体的做题方法； 注意：注意勾股定理中的最短路径问题，涉及到的有圆柱、长方体、阶梯、选址、最值等等问题，每个题型要多加练习； 20．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 【答案】（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，最短路径问题的转化思想及垂直平分线的性质． （1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别过点A作关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短．根据三角形内角和定理求得的度数，再通过含特殊直角三角形的性质求得，根据已知条件推出，利用轴对称的性质推出，，利用“”证明得出，最后通过已知条件进而推出的长度即可． 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，如果，且点在上，那么下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 对于选项，根据△△得，由此可对选项进行判断； 对于选项，根据△△得，，，进而得，则，再根据三角形内角和定理得，则，再根据得，由此可对选项进行判断； 对于选项，从现有条件不能推导出，由此可对结论进行判断； 对于选项，根据全等三角形的性质对选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于选项， △△， ， 故选项正确，不符合题意； 对于选项， △△， ，，， ， ， ， 在△中，， ， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； 对于选项， 从现有条件不能推导出， 故结论不正确，符合题意； 对于选项， ， ， 故选项正确，不符合题意． 故选：． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠可得，进而可得的周长等于的长，即可求解． 【详解】解：∵点与点分别沿和折叠，使点与点重合， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边．分别计算各选项的三边长度，验证是否满足此条件． 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 5．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①证明，再利用全等三角形的性质即可判断；②由可得，再由、证得即可判定；③分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定；④由平分结合即可判定． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，， ， ，即，故②正确； 分别过作、，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 平分，无法证明平分．故③错误； 平分，， ，故④正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查线段垂直平分线，等腰三角形的定义及性质；连接，得到，根据面积公式求出，根据线段垂直平分线性质得到，得到，结合的长为的最小值，计算即可． 【详解】解：连接． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选：D． 8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，等腰的面积为24，底边长为6，腰的垂直平分线分别交边于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接．在点M运动过程中，周长的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 如图：连接、，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴，解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：． 故选D． 9．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，为一条射线，，若．则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用直角三角形的特殊判定方法“”求解更加简便．根据垂直的定义可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可解决问题． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：2． 10．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图， ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题关键． 延长、交于点G，通过三角形外角的性质，将所求的角度之和问题转化成两个三角形的内角和问题． 【详解】解：如图，延长、交于点G，设与交于点H，与交于点I， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵三角形内角和为， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时， s． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河北沧州·期中）以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有 个． 【答案】1 【分析】本题主要考查了命题、逆命题及定理的概念，熟练掌握命题与逆命题的关系、定理的定义是解题的关键．逐一分析四个结论，结合命题、逆命题、定理的定义判断正误，统计正确结论的数量． 【详解】解：因为逆命题是交换原命题的条件和结论得到的，每个命题都有条件和结论， 所以命题一定有逆命题，故①正确． 因为定理是经过证明的真命题，但真命题不一定经过证明（如未被证明的真命题）， 所以真命题不一定是定理，故②错误． 因为原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题， 所以真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误． 因为原命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，其逆命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题， 所以假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误． 综上，正确的结论有1个． 故答案为：1． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，平分，E为上一点，且，连接并延长，交于点F，若，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由平分可得，根据可证得，由此可得，再由对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．若，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，可知，则，而，则的度数可求． 【详解】解： 是 的垂直平分线， 边的垂直平分线，   ∴， ∵， ∴ ．   故答案为：． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，结合角平分线的性质求解是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，证明，得到，，即可得解； 【详解】延长线段交于， 平分， ， ， 在与中， ， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 故答案是：． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 18．（25-26八年级上·河北保定·月考）如图，嘉琪坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，之后靠外力在、、之间往复，若，点到地面的距离是3米，点到的距离米，过点作，垂足为，则点到地面的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用． 由证明得出，得到，即可推出结果． 【详解】解：由题意得，． ，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 设点到地面的距离为，由 题意得，， 则点到地面的距离为． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图在中，，，是它的角平分线，是边上的中线，的周长比的周长大4，过点作于，若，则到的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，根据三角形中线的定义得到，根据三角形周长计算公式可推出，则；可求出，根据三角形中线平分三角形面积可得；过点D作于G，于H，则；根据，可得，则，即到的距离为． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴； ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵是边上的中线， ∴； 如图所示，过点D作于G，于H， ∵是的角平分线，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 21．（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）求出，再利用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，求出即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【生活背景】村口有一条小河，小明想测量河宽，如图． 【测量操作】 ①把河两岸近似看作两平行的直线和，在河岸上取点； ②在河岸的另一侧取一点，使； ③在上取两点，使； ④作，且在同一条直线上； 【结论】测得的长就是河宽的长度． 【解决问题】按照操作获得的结论正确吗？如果正确，请给予证明，如果不正确，请说明理由． 【答案】正确，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，做题时要注意寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题是测量两点之间的距离方法中的一种，符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，只要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施． 【详解】解：，， ， 又直线与交于点， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 即测得的长就是，两点间的距离， 正确，因为得出， 所以测得的长就是，两点间的距离． 23．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线； （1）根据角平分线的性质得到，判定，即可证出结论； （2）证出，得到． 即可推出结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， 又∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）证明：在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 24．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）数学活动课上，嘉淇制作了两个三角板（即和），，，． (1)当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，推出，，由三角形内角和得，推出； （2）证明≌，推出，，由三角形内角和得，推出． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，延长，交于点，设交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 26．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质推出，计算，进而解题； （3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的判定方法解题即可． 【详解】（1）证明：∵≌， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 27．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： (1)在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． (2)归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】(1)7，5； (2)见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； 延长到，使，连接，先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； （2）延长到，使，连接，先证明，进而依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，继而依据“”判定△和△全等得，再根据可得线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1所示： 四边形为正方形， ，， 点是延长线上的点，且， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：7； 延长到，使，连接，如图2所示： ， ， 在△和△中， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：5； （2）解：图3中线段，，之间的数量关系是：，证明如下： 延长到，使，连接，如图3所示： ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 28．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 29．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明过程见解析；（2），理由见解析；（3）的面积为8 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用，结合平行线的判定和性质、直角三角形的性质证明是解题的关键． （1）根据已知条件证明，，即可得到，证明即可； （2）根据已知条件证明，得到，，即可得证； （3）过点作于点，点落在的延长线上，证明，根据平行线间的距离处处相等，可得点到边的距离为2，根据三角形面积计算式计算即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． 于点， ， ， ． ，， ． （2），理由如下： ， ， 于点， ， ， ，， ， ，， ． （3）的面积为8． 如图，过点作于点，点落在的延长线上， 由（2）得， ． ， ． ， ． ∵平行线间的距离处处相等， ∴点到边的距离也为2， ． 30．（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有一张三角形纸片，E，F分别是边上的点，沿直线折叠，点C的对应点为点 D． (1)如图1，点 D恰好在边上，则与之间的数量关系是 ； (2)如图2，点D 在的内部，且．若，求的度数； (3)如图3，点 D 在的内部．若恰好平分平分，求 的度数； (4)如图4，点 D在的外部，且在上方时，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质（对应角相等、对应边相等）、平行线的性质（同旁内角互补）及角平分线的定义，解题的关键是利用折叠性质将点C与对应点D的角转化为相等关系，结合相关定理建立已知角与未知角的数量联系． （1）先由折叠得，推出等腰中；再根据三角形外角定理，是的外角，故，代入等角关系即可得结论．   （2）先在中用内角和求；由折叠得、结合可求．   （3）先由角平分线定义得、，在中求，进而得，再求；设、，由折叠和平角得、的表达式，结合内角和建立方程求解．   （4）设、，由折叠得；用表示、用表示，再在中得与的关系，代入的表达式推导数量关系． 【详解】（1）解：由折叠性质得，故为等腰三角形，．   是的外角，根据三角形外角定理：．   将代入，得．   故答案为：． （2）解：在中，，，由三角形内角和定理：   ．   由折叠性质得，．   ， ．   答：的度数为． （3）解：平分平分，   ，．   在中，，   ．   在中，．   由折叠性质得，，．   设，，则，（平角定义）． 在中，，   代入得，   化简：，解得，即．   答：的度数为． （4）解：由折叠性质得，，．   设，， 则，，即． 在中，． ， 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $