12.12勾股定理的逆定理（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

本讲义聚焦勾股定理的逆定理核心知识点，系统梳理其与勾股定理的互逆关系，明确逆定理作为直角三角形判定定理的作用，通过“确定边长、计算平方和、比较大小”的应用步骤搭建学习支架。 资料融入思维导图助力几何直观与空间观念培养，设计分层练习题从基础判断到网格应用再到实际问题，提升推理能力与应用意识。课中辅助教师清晰授课，课后帮助学生分层巩固，有效查漏补缺。

12.12勾股定理的逆定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 勾股定理的逆定理内容 如果一个三角形的三边长(a)、(b)、(c)满足，那么这个三角形是直角三角形，其中(c)为斜边所对的角是直角。 勾股定理逆定理的作用 可用于判断一个三角形是否为直角三角形，是从边的数量关系来判定三角形形状的重要依据。 勾股定理与逆定理的关系 两者互为逆定理。勾股定理是直角三角形的性质定理，即直角三角形的三边满足；逆定理是直角三角形的判定定理，即三边满足的三角形是直角三角形。 应用勾股定理逆定理的步骤 1. 确定三角形的三条边长，分别记为(a)、(b)、(c)（通常设(c)为最长边）； 2. 计算和的值； 3. 比较与的大小关系：若，则该三角形是直角三角形；若，则不是直角三角形。 型 习 练 题 判断三边能否构成直角三角形 1．如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 2．下列各组数，不能作为直角三角形三边长的是（） A．3，4，5 B．，， C．4，5，6 D．7，24，25 3．的三边长分别为、、，下列四个选项能判断为直角三角形有（   ）个 ①，； ②，，； ③，，； ④， A．个 B．个 C．个 D．个 4．满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的有（    ） ①，，；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤，2，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 在网格中判断直角三角形 6．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 9．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 利用勾股定理逆定理求解 11．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 12．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 13．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 二、填空题 14．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 15．如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 勾股定理逆定理的实际应用 16．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 17．某校劳动基地的形状是类似如图所示的四边形，测得，，，，且，现需将菜地分成两块，分别种上白菜和萝卜．为了区分两块区域，劳动老师决定沿对角线修一条仅供一个人走的小路（小路的宽度忽略不计），小路上方种白菜，下方种萝卜． (1)求小路的长； (2)通过计算说明种白菜和萝卜的菜地哪块大？大多少？ 18．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 19．如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 20．如图，某市为创建全国文明典范城市，计划将这块空地种上三个不同品种的花卉，中间用小路、隔开，且有．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)若铺设小路的费用为每米元，求铺设小路、的总费用． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.12勾股定理的逆定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 勾股定理的逆定理内容 如果一个三角形的三边长(a)、(b)、(c)满足，那么这个三角形是直角三角形，其中(c)为斜边所对的角是直角。 勾股定理逆定理的作用 可用于判断一个三角形是否为直角三角形，是从边的数量关系来判定三角形形状的重要依据。 勾股定理与逆定理的关系 两者互为逆定理。勾股定理是直角三角形的性质定理，即直角三角形的三边满足；逆定理是直角三角形的判定定理，即三边满足的三角形是直角三角形。 应用勾股定理逆定理的步骤 1. 确定三角形的三条边长，分别记为(a)、(b)、(c)（通常设(c)为最长边）； 2. 计算和的值； 3. 比较与的大小关系：若，则该三角形是直角三角形；若，则不是直角三角形。 型 习 练 题 判断三边能否构成直角三角形 1．如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握直角三角形的判定条件是解题关键． 分别通过三角形内角和定理判断角度是否为，或利用勾股定理逆定理判断边长是否满足，依次判断即可． 【详解】解：A．∵，且， ∴，故不是直角三角形； B．∵， ∴，故不是直角三角形； C．∵， ∴，， ∴，故是直角三角形； D．∵， ∴，， ∴，故不是直角三角形； 故选C． 2．下列各组数，不能作为直角三角形三边长的是（） A．3，4，5 B．，， C．4，5，6 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理判断三角形是否为直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方（第三边为最长边），则该三角形为直角三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．最长边为5，，即，故能作为直角三角形三边长，不符合题意； B．最长边为，，即，故能作为直角三角形三边长，不符合题意； C．最长边为6，，即，不能作为直角三角形三边长，符合题意； D．最长边为25，，即，能作为直角三角形三边长，不符合题意． 故选C． 3．的三边长分别为、、，下列四个选项能判断为直角三角形有（   ）个 ①，； ②，，； ③，，； ④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，可判断①；先计算出、、，再根据三角形三边关系可判断②；利用勾股定理的逆定理可判断③；先根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理求出，可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴是直角三角形； ②∵，，，且，不满足三角形两边之和大于第三边的性质， ∴此时、、不能构成三角形； ③∵，，， ∴， ∴不是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 综上所述，只有①和④能判断为直角三角形，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 4．满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形。 【详解】选项A：∵ ，设， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴其中最大角： ， ∴ 不是直角三角形。 选项B：∵ ，∴， ∴是直角三角形（勾股定理逆定理）。 选项C：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形。 选项D：∵ ，设， ∵， ∴ ， ∴ 是直角三角形。 综上，只有选项A不是直角三角形, 故选A 5．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的有（    ） ①，，；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤，2，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆理，理解勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理逆定理逐一判断每个选项即可． 【详解】①即 ∴①，， 不能构成三角形； ②，∴能构成直角三角形； ③，∴ 能构成直角三角形。 ④， ，，∴不能构成直角三角形； ⑤ ，∴ ，2，能构成直角三角形。 综上，②、③、⑤能构成直角三角形， 故选：C． 在网格中判断直角三角形 6．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 【详解】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 9．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 10．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 利用勾股定理逆定理求解 11．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得的长，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 12．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再利用逆定理求出，即可通过面积公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 13．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 14．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 勾股定理逆定理的实际应用 16．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【分析】(1) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． (3) 根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， 故是直角三角形． （2）解：根据题意，得四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 17．某校劳动基地的形状是类似如图所示的四边形，测得，，，，且，现需将菜地分成两块，分别种上白菜和萝卜．为了区分两块区域，劳动老师决定沿对角线修一条仅供一个人走的小路（小路的宽度忽略不计），小路上方种白菜，下方种萝卜． (1)求小路的长； (2)通过计算说明种白菜和萝卜的菜地哪块大？大多少？ 【答案】(1)的长为； (2)种白菜的菜地大，大． 【分析】本题考查勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再计算两个直角三角形的面积，然后比较即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， ，，， ， ，， 种白菜的菜地大，大， 答：种白菜的菜地大，大 18．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“海天”号沿西北方向航行 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据路程=速度时间分别求得，的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，从而进行分析求解． 【详解】解：根据题意， ，，， ∵，即， ∴， 由“远航”号沿东北方向航行可知，， 因此，即“海天”号沿西北方向航行， 答：“海天”号沿西北方向航行． 19．如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∵，, ∴, ∴, 该厂区的总面积． . 20．如图，某市为创建全国文明典范城市，计划将这块空地种上三个不同品种的花卉，中间用小路、隔开，且有．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)若铺设小路的费用为每米元，求铺设小路、的总费用． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求，根据铺设小路、每米元，列式计算即可解答． 【详解】（1）解∶ 米，米，米， ．． 是以为直角的直角三角形． ． 在中，由勾股定理得∶ (米) 答：的长是9米． （2）解∶， ． 即 (米)． 需花费 (元) 答∶需花费元． 学科网（北京）股份有限公司 $