12.1 三角形（题型专练）数学新教材北京版八年级上册

12.1 三角形 题型一 辨别三角形的相关概念 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的内角和为；③三角形的角平分线是射线；④三角形的三条高交于一点；⑤三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 题型二 三角形的分类 6．（24-25七年级上·云南玉溪·开学考试）只看三角形的一个角，（    ）判断出它是什么三角形． A．能 B．不能 C．不一定能 D．肯定不能 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列条件： 在中，，都是锐角；在中，；在中，；的三个内角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的条件有（    ）个． A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 9．（2024·山东东营·模拟预测）一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 题型三 三角形的稳定性及其应用 11．（2025八年级上·全国·专题练习）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　） A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性 C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系 13．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架B．篮球架C．活动衣架 D．太阳能热水器 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米，如果需要想象的话，可以将之视为200层的高楼．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 15．（22-23七年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    题型四 四边形的不稳定性 16．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 17．（2025·河北保定·一模）下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A．B．C． D． 18．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 19．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 20．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有 ． 21．（24-25八年级上·全国·假期作业）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？ 22．（22-23八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    23．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    题型一 三角形的个数 25．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 26．（2025七年级上·江苏·专题练习）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 27．（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 29．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 30．（21-22七年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 三角形 题型一 辨别三角形的相关概念 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【详解】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 2．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的内角和为；③三角形的角平分线是射线；④三角形的三条高交于一点；⑤三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】主要考查了命题的真假判断，三角形的定义以及相关的知识．根据三角形的定义以及相关的知识一一判断即可． 【详解】解：∵三条线段组成的封闭图形叫三角形，∴①不正确； ∵三角形的内角和为，∴②不正确； ∵三角形的角平分线是线段，∴③不正确； ∵三角形的三条高所在的直线交于一点，∴④不正确 ∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴⑤正确； ∵三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的内心，且这点在三角形内，∴⑥正确． 综上，可得正确的命题有2个：⑤，⑥． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可 【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：； 故答案为：； （2）如图，线段BC是 和的边； 故答案为：；； （3）如图，的3个内角是，三条边是； 故答案为：；； （4）如图，是 的外角． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 题型二 三角形的分类 6．（24-25七年级上·云南玉溪·开学考试）只看三角形的一个角，（    ）判断出它是什么三角形． A．能 B．不能 C．不一定能 D．肯定不能 【答案】C 【分析】本题考查判断三角形的性质，根据三角形的一个角的大小，判断是否能确定三角形的类型，若该角为直角或钝角，则可确定；若为锐角，则无法确定． 【详解】当三角形的一个角是直角或钝角时，该三角形分别为直角三角形或钝角三角形，此时可以判断． 若该角是锐角，则剩余两角之和为钝角，可能构成锐角、直角或钝角三角形，无法确定． 因此，只看一个角不一定能判断出三角形的形状， 故选C． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列条件： 在中，，都是锐角；在中，；在中，；的三个内角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的条件有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后统计符合条件的个数. 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个内角的度数之比是． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴不为直角三角形；不符合题意； 能确定为直角三角形的有2个， 故选：B． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．（2024·山东东营·模拟预测）一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【答案】 直角 等腰 【分析】本题主要考查了比的应用，三角形内角和定理，三角形的分类，理解题意，正确进行计算是解题的关键． 根据三角形的内角度数和是，三角形的最大的角的度数占内角和度数和的，再根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可． 【详解】解：， 最大的角为：， 其余两个角都是， 这是一个直角三角形， 按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：；直角；等腰 10．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【答案】(1)不能 (2)3种，图见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形； （2）利用三角形三边关系定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：，示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 题型三 三角形的稳定性及其应用 11．（2025八年级上·全国·专题练习）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 12．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　） A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性 C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系 【答案】B 【分析】本题考查三角形的基本性质在实际生活中的应用．关键需理解各选项对应的几何性质及其适用场景． 【详解】解：高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用三角形的稳定性． 故选：B． 13．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架B．篮球架C．活动衣架 D．太阳能热水器 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米，如果需要想象的话，可以将之视为200层的高楼．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 15．（22-23七年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    【答案】见解析 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形， 因为三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键． 题型四 四边形的不稳定性 16．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 17．（2025·河北保定·一模）下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也具有稳定性．根据三角形具有稳定性，进行解答即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图形都是由三角形构成． 故选：D． 18．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，A，B，D都应用了三角形的稳定性，C应用了四边形的不稳定性， 故选C． 19．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 20．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】根据三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，能解释这一实际应用的数学知识是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单． 21．（24-25八年级上·全国·假期作业）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？ 【答案】根 【分析】本题考查三角形的稳定性以及多边形对角线分三角形的个数问题：由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律，进行作答即可． 【详解】解：过n边形的一个顶点可以作条对角线，把多边形分成个三角形， 所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要根木条固定． 22．（22-23八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【答案】作图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用这一特性即可解决问题．解题的关键是将七边形分成五个三角形． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）．    23．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 题型一 三角形的个数 25．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 26．（2025七年级上·江苏·专题练习）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 27．（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解． 【详解】解：单独的小三角形有8个， 两层小三角形有4个， 三层小三角形有2个， 共有个， 故答案为：14． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 29．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 30．（21-22七年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$