2026届安徽中考数学一轮复习考点全突破 第10讲一元二次方程的实际应用

第0讲一元二次方程的实际应用 解题策略1用一元二次 方程解决实际问题的基 题型5握手循环比赛问题 本思路 题型4数字规律问题中 元二次方程的实际应 解题策略2用一元二次 的应用 方程解决实际问题的常 用 见关系式 题型三与图形相关问题 题型增长率问题 题型2病毒传播问题 知识梳理 解题策略1用一元二次方程解决实际问题的基本思路 实际向题设未知数，列方程 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 配方法 解方程 公式法 次 因式分解法 检验 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 实际问题的答案 x=-b tb-4ac 2a 试卷第1页，共11页 解题策略2用一元二次方程解决实际问题的常见关系式 变化 (I)增长率：设a是原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量 率问 则b=a(1+n)”;(2)下降率：设a为原来量，m为平均下降率，n为下降次数， b为下降后的量，则b=a(1-m)”. 新考法解读 本题结合代数推理考查实际问题与一元二次方程，给出一些条件让求满足这些条件的数，让学生探 究并解决问题，在现场学习活动积累经验的过程中提升数学素养 易错警示 1.解决每每问题时，注意销售单价和销售量都是变化的. 2.当问题中出现“提 续表 每每问 (1)常用公式：①利润=售价-成本；②利润率=利润×；1006售价-进价×100%，③ 题 售价=进价×(（1+利润率)；④总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量，(2)每 每问题中，单价每涨a元，少卖b件，设涨价x元，则少卖的数量=（任b)件 典型面 (1)如图①，设阴影道路的宽为×，则S空白=(a-2x)b-2x) 积问题 图①(2)如图②，设阴影道路的宽为x，则S空白=(a -a- x)(b-x) 图②(3)如图③，设阴影道路的宽为x,则 S空舶=(a-b-): 图③(4)如图④，篱笆总长为a,BC 试卷第2页，共11页 D 长为b,8朋影=号b.墙 6 图④ A 比赛、 握手问 ①)握手、单循环送礼总次数-0，≥2)；（②互送礼物总份数=n血-1）0≥ 题 2） 高销量，增加盈利”或“提高售价，减少进货量”等实际要求时，要对所求的解进行取舍 高分必 题型1增长率问题 1.(2025·安徽一模)某种药品售价为30元/盒，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干 进入国家医保用药目录，最终降至19.2元/盒，则平均每次下调的百分率是() A.18% B.19% C.20% D.21% 2.(2025·安徽合肥.一模)经统计，某景区去年5月的游客人数比4月的游客人数增加60%，6月的游客人 数比5月的游客人数减少了10%.求该景区去年5月份、6月份游客人数的月平均增长率. 3.(2025·安徽阜阳·三模)H市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季 在校人数比2022年在校人数增长了56%，已知2023年秋季在校人数增长率是x,2024年秋季在校人数增 长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是() A.x+1.5x=56% B.(1+x%)(1+1.5%x)=1+56% C.(1+x)(1+1.5x)=1+56% D.(1-x)(1-1.5x)=1-56% 4.(2025安徽合肥·二模)某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为500kW·h,为了响应十四五计划， 国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自2022年开始进行技术改革，计划到2025年实现生产一 台电冰箱的能耗不超过370kW·h的目标. (1)实际到2024年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到405kW·h,求该企业从2022年到2024年生产 一台电冰箱能耗的年平均降低率： 试卷第3页，共11页 (2)2025年是“十四五计划的收官之年，按照(1)中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 5.(2025·安徽芜湖·三模)某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体 单价见下表所列.设2023年降价的百分数为x. 年份 单价/万元 2022年 20 2023年 2024年 14.4 (1)用含x的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数. 6.(2025·安徽合肥·三模)在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企 业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80%，年销售单价下降了20%. (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 b 2025 1.8a 0.8b (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率. 试卷第4页，共11页 7.(2025·安徽黄山·三模)某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目.某商家为此次大赛 供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理.为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策 略.起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致.求 每次降价的百分率. 8.(2025安徽马鞍山·二模)公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带的规定，某头 盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且 从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率. 9.(2025·安徽滁州·二模)“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔 一带的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个， 8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同.求该品牌头盔销售量的月增长率. 10.(2025·安徽合肥·三模)随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠， 某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增 加了2100辆.设每个月销量的平均增长率为x,则下列方程正确的是() A.1000(1-x)2=2100 B.1000(1+x)2=2100 C.1000(1+2x)=1000+2100 D.1000(1+x)2=1000+2100 试卷第5页，共11页 高分必刷 题型2病毒传播问题 11.(2025·黑龙江佳木斯·三模)2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两 轮传播后就有192人患了甲型流感.若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为() A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 12.(2025·广西南宁.模拟预测)毕业将至，九(1)班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九 (1)班共有多少名学生？设九(1)班共有x名学生，根据题意可列方程为() A.x2=1560B.x(x-1)=1560C.x(x+1)=1560D.2x(x-1)=1560 13.(2025·广西南宁·三模)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均 一个人传染了x个人，则可列方程为() A.1+x+x2=49 B.x+x2=49 C.1+x+x(1+x)=49 D.x+x(1+x)=49 14.(2024辽宁抚顺·二模)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主 干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可 以列方程为() A.1+x+x2=91 B.1+x+x(1+x)=91 C.1+x+(1+x)2=91 D.1+(1+x)+(1+x)2=91 15.(2025·重庆·三模)0 nicron(奥密克戎)是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特 点.若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者.在每轮 传染中，平均一个人传染了人· 16.(2025·重庆·三模)某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒.两轮传播后 共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为一· 17.(2020贵州黔西·中考真题)有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中 平均一个人传染了个人。 18.(25-26九年级上·福建南平阶段练习)秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流 行，大家要加强防范疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传 试卷第6页，共11页 染后共有100人患了流感，设平均每人每轮传染x人，根据题意列出方程得： 19.(2025·四川雅安.一模)有两人患了流感，经过两轮传染后，共有200人患了流感，则每轮传染中平均 每人传染的人数为 题型3与图形相关问题 20.(2025·内蒙古·模拟预测)如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车 场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个停车场的长为120m,宽为40m（如图中阴 影部分)，如果停车场的面积占这个长方形空地面积的70%，所建通道的宽度为xm,则根据题意列出的方 程是() A.(120+x)(40+x)=120×40×70% B.(120-2x)(40-2x)=120×40×70% C.(120+2x)(40+2x)=120×40 D.(120+2x)(40+2x)×70%=120×40 21.(2024甘肃嘉峪关模拟预测)一块长方形耕地，长160米，宽60米，要在这块耕地上挖2条平行于长 边的水渠，挖2条平行于短边的水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为8316平方米，那 么水渠应挖多宽？ 22.(2022河南洛阳·一模)春意复苏，某地绿化工程正在如火如茶地进行着.某工程队计划将一块长64m, 宽40m的矩形场地建设成绿化广场.如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化.若使 绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽.设小路的宽为xm,则可列方程为() 64m 40m 试卷第7页，共11页 A.(64-2x)(40-x)=64×40×80%B.(40-2x)(64-x)=64×40×80% C.64x+2×40x-2x2=64×40×80%D.64x+2×40x=64×40×(1-80%) 23.(2025·河南郑州一模)某农场要建一个饲养场（长方形ABCD),饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度 为30米)，另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门 (不用木栏)，建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形ABCD)的宽为x米. B (1)饲养场的长BC= (用含x的代数式表示) (2)若饲养场的面积为330m2,求x的值 24.(25-26九年级上·安徽准南·月考)园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD.苗圃的一面靠墙（墙 最大可用长度为14米)，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所 示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米. (I)BC长为 米（包含门宽，用含x的代数式表示） (2)若苗圃ABCD的面积为96m2,求x的值： (3)苗圃ABCD的面积是否可以达到109m2,请说明理由. 题型4数字规律问题中的应用 25.(2023河南开封一模)阅读材料，解决问题 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数， 比如，他们研究过1、3、6、10..，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中 所有的点数和称为三角数. 试卷第8页，共11页 ●e ●●●●●● 第1个第2个第3个 第n个 则第n个三角数可以用1+2+3++m一2)+(m一1)+n=-D(n≥1且为整数)来表示. (1)若三角数是55，则n= (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6，.，2n,.,请用含n的式子表示前n行所有点数的 和； (3)在(2)中的三角点阵中前行的点数的和能为120吗？如果能，求出，如果不能，请说明理由. 26.(2024·安徽合肥模拟预测)【观察思考】 O△O O△O △△ △△ △O△ O△O △OA △○O△ △O○○△ △△ △OO△ 0△0 △O△ △.QO0△ △00O0△ △△ △OO△ △O△ △ △△ △ 444 .4 △ △△ △ △△ △△ 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 (1)第5个图案中“△”的个数为 (2)第n(n为正整数)个图案中“o”的个数为“△”的个数为（用含n的式子表示） 【规律应用】 (3)结合上面图案中“。”和△”的排列方式及规律，求正整数n,使得“o比“△”的个数多28. 27.(2025·安徽芜湖二模)【观察思考】如图所示 ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★★ ★ ★★★ ★★★★★ ★★ ★★★★ ▲ ★ ★★★ ★★ ▲▲▲ AA▲△ ▲A▲▲△ 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 (1)第5个图案中，“▲的个数为 试卷第9页，共11页 (2)第n个图案中，“★”的个数可表示为 【规律应用】(3)结合图案中的规律，求正整数n,使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 28.(2025·安徽准北三模)【观察思考】 图1 图2 图3 图4 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰 球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子：第2种如图2有6个氢原子， 2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；…， (1)直接写出第5种化合物的分子结构模型图有_个氢原子，个碳原子： 【规律发现】 请用含n的式子填空： (2)第种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为_： (3)第种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为_； 【规律应用】 (4)求正整数n,使得连续的正整数之和1+2+3+.+n等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原 子的个数的3倍 高分必刷 题型5握手循环比赛问题 29.（2025·四川雅安.一模)篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队 参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为() A.1+x+x2=45 B.2xx-1)=45 C.x(x-1)=45 D.x2+2x=45 30.(2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测)新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛 一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 试卷第10页，共11页 第10讲一元二次方程的实际应用 解题策略1用一元二次方程解决实际问题的基本思路 解题策略2用一元二次方程解决实际问题的常见关系式 变化率问题 (1)增长率:设 是原来量， 为平均增长率， 为增长次数， 为增长后的量，则 ； (2)下降率:设 为原来量， 为平均下降率， 为下降次数， 为下降后的量，则 . 新考法解读 本题结合代数推理考查实际问题与一元二次方程, 给出一些条件让求满足这些条件的数, 让学生探究并解决问题, 在现场学习活动积累经验的过程中提升数学素养. 易错警示 1. 解决每每问题时, 注意销售单价和销售量都是变化的. 2. 当问题中出现“提 续表 每每问题 (1)常用公式:①利润=售价-成本;②利润率=利润 ；100%= 售价-进价 ;③售价=进价 ;④总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量; (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，设涨价 元，则少卖的数量 件. 典型面积问题 (1)如图①，设阴影道路的宽为 ，则 ； 图① (2)如图②，设阴影道路的宽为 ，则 ； 图② (3)如图③，设阴影道路的宽为 ，则 ； 图③ (4)如图④，篱笆总长为 长为 . 图④ 比赛、握手问题 (1)握手、单循环送礼总次数 ； (2)互送礼物总份数 . 高销量，增加盈利” 或 “提高售价, 减少进货量”等实际要求时，要对所求的解进行取舍. 题型1增长率问题 1．（2025·安徽·一模）某种药品售价为30元/盒，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录，最终降至19.2元/盒，则平均每次下调的百分率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其大于0且小于1的值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意，得：， 解得：（舍去）， ∴平均每次降价的百分率是， 故选：C． 2．（2025·安徽合肥·一模）经统计，某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了．求该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率． 【答案】该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为，根据某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了，列出一元二次方程．解之，取符合题意的值即可． 【详解】解：设该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为． 3．（2025·安徽阜阳·三模）市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了，已知2023年秋季在校人数增长率是x，2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 可设2022年在校人数为1，则2024年秋季在校人数为，然后根据增长率的关系即可列出方程. 【详解】解：根据题意可得：所列方程应该是； 故选：C. 4．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 【答案】(1)该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为 (2)该企业能实现原定目标 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为，根据年和年，该企业生产一台电冰箱的能耗，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出年生产一台电冰箱的能耗，再比较即可． 【详解】（1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为； （2）根据题意可知，年生产一台电冰箱的能耗为， ， 该企业能实现原定目标． 5．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 【答案】(1)2023年该电动汽车的价格为万元 (2)2024年降价的百分数为 【分析】本题考查了列代数式以及利用一元二次方程解决价格变化问题，解题关键是依据降价后的价格与原价、降价百分数的关系列出方程并正确求解。 （1）根据降价后价格、原价和降价百分数的关系，用含的式子表示2023年价格。 （2）先根据2023年降价百分数表示出2024年降价百分数，再依据2022到 2024年价格变化列出方程，求解方程并根据实际情况舍去不合理的值，从而得到2024年降价百分数。 【详解】（1）解：由题意得，2023年该电动汽车的价格为万元； （2）年降价的百分数为， ∴2024年降价的百分数为 由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）． 即2024年降价的百分数为． 6．（2025·安徽合肥·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 7．（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 8．（2025·安徽马鞍山·二模）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 9．（2025·安徽滁州·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 10．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量为：，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为， 则三月份的销量为：， 则根据题意有： ， 故选：D 题型2病毒传播问题 11．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 12．（2025·广西南宁·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 13．（2025·广西南宁·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 14．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 15．（2025·重庆·三模）（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，根据一人经过两轮传染后共有144人感染者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为： ． 16．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 17．（2020·贵州黔西·中考真题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了 个人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 18．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设平均每人每轮传染x人，根据题意列出方程得： . 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可得第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病，然后可得方程． 【详解】解：由题意得：第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病， 故方程为； 故答案为． 19．（2025·四川雅安·一模）有两人患了流感，经过两轮传染后，共有200人患了流感，则每轮传染中平均每人传染的人数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 设每轮传染中平均每人传染的人数为x，根据两轮传染后的总人数列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染的人数为x， 初始患病人数为2人， 第一轮传染后总人数为 ， 第二轮传染后总人数为 ， 根据题意，有 ， 即 ， 解得 或 （舍去）， 所以 ， 故答案为：9． 题型3与图形相关问题 20．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个停车场的长为，宽为（如图中阴影部分），如果停车场的面积占这个长方形空地面积的70%，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据长方形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设所建通道的宽度为，由题意，得： ； 故选D． 21．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）一块长方形耕地，长160米，宽60米，要在这块耕地上挖2条平行于长边的水渠，挖2条平行于短边的水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为8316平方米，那么水渠应挖多宽？ 【答案】水渠的宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设水渠的宽为米，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设水渠的宽为米， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴水渠的宽为米． 22．（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为    （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程． 设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得 故选：A． 23．（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 【答案】(1)米 (2) 【分析】（）用总长减去再加上三个米宽的门即可求解； （）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，饲养场的长米， 故答案为：米； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴的值为． 24．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为8 (3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 题型4数字规律问题中的应用 25．（2023·河南开封·一模）阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． (1)若三角数是55，则______； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； (3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可； （2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案； （3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：10； （2）解：由题意得：前n行所有点数的和为 ； （3）解：不能，理由如下： 假设能为120，则，即 解得：， ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 26．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 27．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 28．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 题型5握手循环比赛问题 29．（2025·四川雅安·一模）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：∵有x个队参加比赛，每两队之间都进行一场比赛， ∴总比赛场数为， ∵总共比赛45场， ∴． 故选：B． 30．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 设应邀请x支球队参赛，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，根据题意得： ． 故答案为：． 31．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 32．（2025·云南玉溪·二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．每两名成员之间互相赠送一张卡片，即每对成员之间交换两张卡片．总卡片数等于成员数乘以每人赠送的卡片数，再考虑互赠关系即可建立方程． 【详解】解：设兴趣小组有人，每名成员需要给其他人各赠送一张卡片，因此每人赠送张卡片．全组共有人，总赠送卡片数为． 根据题意，总卡片数为306张，故方程为， 故选：B． 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加比赛的队伍共有x支，则每支队伍都要与其他支队伍比赛一场，且相同两支队伍之间的比赛只算一场，据此建立方程求解即可． 【详解】解；设参加比赛的队伍共有x支， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴参加比赛的队伍共有12支， 故选：C． 34．（2025·广东东莞·二模）北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设有x支队伍，根据题意，得即可． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程． 【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 36．（2025·云南红河·三模）某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲一元二次方程的实际应用 解题策略1用一元二次方程解决实际问题的基本思路 解题策略2用一元二次方程解决实际问题的常见关系式 变化率问题 (1)增长率:设 是原来量， 为平均增长率， 为增长次数， 为增长后的量，则 ； (2)下降率:设 为原来量， 为平均下降率， 为下降次数， 为下降后的量，则 . 新考法解读 本题结合代数推理考查实际问题与一元二次方程, 给出一些条件让求满足这些条件的数, 让学生探究并解决问题, 在现场学习活动积累经验的过程中提升数学素养. 易错警示 1. 解决每每问题时, 注意销售单价和销售量都是变化的. 2. 当问题中出现“提 续表 每每问题 (1)常用公式:①利润=售价-成本;②利润率=利润 ；100%= 售价-进价 ;③售价=进价 ;④总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量; (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，设涨价 元，则少卖的数量 件. 典型面积问题 (1)如图①，设阴影道路的宽为 ，则 ； 图① (2)如图②，设阴影道路的宽为 ，则 ； 图② (3)如图③，设阴影道路的宽为 ，则 ； 图③ (4)如图④，篱笆总长为 长为 . 图④ 比赛、握手问题 (1)握手、单循环送礼总次数 ； (2)互送礼物总份数 . 高销量，增加盈利” 或 “提高售价, 减少进货量”等实际要求时，要对所求的解进行取舍. 题型1增长率问题 1．（2025·安徽·一模）某种药品售价为30元/盒，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录，最终降至19.2元/盒，则平均每次下调的百分率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·一模）经统计，某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了．求该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率． 3．（2025·安徽阜阳·三模）市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了，已知2023年秋季在校人数增长率是x，2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 5．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 6．（2025·安徽合肥·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 7．（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 8．（2025·安徽马鞍山·二模）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 9．（2025·安徽滁州·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 10．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2病毒传播问题 11．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 12．（2025·广西南宁·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·广西南宁·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·重庆·三模）（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． 16．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 17．（2020·贵州黔西·中考真题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了 个人． 18．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设平均每人每轮传染x人，根据题意列出方程得： . 19．（2025·四川雅安·一模）有两人患了流感，经过两轮传染后，共有200人患了流感，则每轮传染中平均每人传染的人数为 ． 题型3与图形相关问题 20．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个停车场的长为，宽为（如图中阴影部分），如果停车场的面积占这个长方形空地面积的70%，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）一块长方形耕地，长160米，宽60米，要在这块耕地上挖2条平行于长边的水渠，挖2条平行于短边的水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为8316平方米，那么水渠应挖多宽？ 22．（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为    （    ） A． B． C． D． 23．（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 24．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 题型4数字规律问题中的应用 25．（2023·河南开封·一模）阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． (1)若三角数是55，则______； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； (3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 26．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 27．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 28．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 题型5握手循环比赛问题 29．（2025·四川雅安·一模）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 ． 31．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·云南玉溪·二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 34．（2025·广东东莞·二模）北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为： ． 35．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 36．（2025·云南红河·三模）某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $