2026届安徽中考数学一轮复习考点全突破 第9讲一元二次方程

第9讲一元二次方程 知识点1一元二次方程 (1)概念:等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程, 叫作一元二次方程. (2)一般形式 二次项系数 一次项系数 知识点2一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 知识点3 一元二次方程根的判别式 式子 叫作一元二次方程 根的判别式,通常用希腊字母 表示，即 . 根的判别式与根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 题型1一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东广州·月考）方程是关于的一元二次方程的条件是（） A． B． C． D．且 3．（25-26九年级上·广东湛江·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）下列是一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 6．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 题型2由定义求参 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．为任意数 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 10．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 11．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 12．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）若方程是一元二次方程，则 ． 13．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 知识点4直接开方法解一元二次方程 (1)概念:如果 ，那么 ，即 ，像这种根据平方根的意义直接开方求一元二次方程解的方法叫作直接开方法. (2)直接开方法解一元二次方程的一般步骤: ①将方程转化为 或 的形式(即平方项的系数化为 1)； 式求出 的取值范围, 即可写出符合条件的 的值. 易错警示 1. 使用一元二次方程根的判别式时, 应先将方程整理成一般形式,再确定 的值. 2. 时,方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 3. 用根的判别式求字母的值或取值范围时, 若一元二次方程的二次项系数为字母, 则需要注意二次项系数不为 0 . 知识点5. 配方法解一元二次方程 (1)概念:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法. (2)配方法解一元二次方程的一般步骤: 知识点6. 因式分解法解一元二次方程 (1)概念:先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式， 再使这两个一次因式分别等于 0 , 从而实现降次, 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 知识点7. 公式法解一元二次方程 (1)概念:解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式， 可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法. (2)求根公式:当 时，方程 的实数根可写为 (3)公式法解一元二次方程的一般步骤: ①将方程化为一般形式，并确定 的值； ②求出判别式 的值，判断根的情况； ③ 当 时，把 的值代入求根公式 . 有解一元二次方程和近两年云南新考查的高次代数式的求值或证明. 方法总结 如何选取合适的方法解一元二次方程: (1)配方法适用于二次项系数化为 1 后, 一次项系数是偶数, 各项系数比较小且便于配方的一元二次方程; (2)公式法适用于所有的一元二次方程； (3)因式分解法适用于当方程缺少常数项时,即形如 的方程，一元二次方程等号的一边为 0 , 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积; (4)直接开平方法适用于当一元二次方程中缺少一次项时, 即形如 , 的方程. 不能在一元二次方程两边同除以相同的因式. 例如: 3) (4)一元二次方程求根公式的推导过程 自我总结 一元二次方程的求根公式的推导过程, 就是用配方法解一般形式的一元二次方程 的过程. 知识点8. 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 的两个根为 和 ,根据求根公式可知 ,由此可得 因此,方程的两个根 和系数 的关系为: . 用文字表述为:一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数, 题型3用合适的方法解方程 14．（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 15．（2025·安徽合肥·三模）解一元二次方程． 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）解方程：． 17．（2025·安徽滁州·三模）解方得：． 18．（2025·安徽合肥·一模）解方程：． 19．（2025·安徽·模拟预测）选择适当的方法解下列方程：； 20．（2025·安徽·一模）解方程：． 21．（2025·安徽淮北·三模）解方程：． 22．（2025·安徽滁州·二模）解方程：． 23．（2025·安徽·一模）解方程：． 24．（2025·安徽淮南·二模）解方程：. 25．（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 26．（2025·安徽六安·模拟预测）解方程：． 27．（2025·安徽蚌埠·一模）解一元二次方程： 28．（2025·安徽芜湖·一模）解方程． 29．（2025·安徽芜湖·一模）解方程：． 30．（2025·安徽池州·一模）解方程：． 题型4判别式与根的个数关系 31．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 32．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·安徽合肥·二模）已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 34．（2025·安徽阜阳·二模）下列一元二次方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 35．（2025·安徽马鞍山·三模）下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·安徽合肥·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B． C．0 D． 37．（2025·安徽阜阳·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 38．（2025·安徽·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 39．（2025·安徽淮北·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（　　） A． B．1 C．4 D． 40．（2025·安徽合肥·二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 41．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 42．（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 43．（2025·安徽安庆·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（   ） A．2026 B．4 C．3 D． 44．（2025·安徽淮南·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为 ．（写出一个即可） 45．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 46．（2025·安徽宿州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 47．（2025·安徽合肥·三模）直线与的图象有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 48．（2025·安徽蚌埠·三模）等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为 ． 49．（2025·安徽宿州·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 题型5韦达定理的应用 50．（2025·安徽淮南·一模）已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ． 51．（2025·安徽亳州·二模）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（    ） A．2 B． C． D． 52．（2025·安徽合肥·三模）设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 53．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 54．（2024·安徽·模拟预测）若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 55．（2025·湖南娄底·一模）已知方程的两个解分别为a，b，则 ． 56．（2025·安徽合肥·一模）已知方程的一个根是，则方程的另一个根为 ． 57．（2025·安徽淮北·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 58．（2025·安徽芜湖·一模）已知m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 59．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 60．（2025·安徽合肥·二模）已知实数，，，，其中，满足，．则以下说法： ； ，是关于的一元二次方程的两个根； ；若，，均为奇数，则，可能都为整数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型6一元二次方程解的应用 61．（2025·安徽·模拟预测）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为 ． 62．（2025·安徽·二模）如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于A，B两点，与轴交于点．若，的面积为5，的值为 ．    63．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，反比例函数与边、分别交于M、N，若，，则k值为    64．（2025·安徽滁州·三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连接．若，，，则的值为 ． 65．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 66．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第9讲一元二次方程 题型6一元二次方程解的应用 知识点一元二次方程 题型五韦达定理的应用 知识点2一元二次方程的解 题型4判别试与根的个数关系 知识点2一元二次方程的解 题型3用合适的方法解方程 元二次方程 题型1一元二次方程的定义 知识点8.一元二次方程根与系数的关 题型2由定义求参 系 知识点4直接开方法解一元二次方程 知识点7.公式法解一元二次方程 知识点5.配方法解一元二次方程 知识点6.因式分解法解一元二次方程 知识梳理 知识点1一元二次方程 (1)概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程， 叫作一元二次方程 (2)一般形式 二次项一次项常数项 a]+bx+c☐=0(a≠0) 二次项系数一次项系数 试卷第1页，共13页 知识点2一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次 方程的根。 知识点3一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示，即 △=b2-4ac. 根的判别式与根的情况 方程有两个不相等的实数根 b2-4ac >0 方程有两个相等的实数根 b2-4ac =0 方程没有实数根 b2-4ac <0 两个根的积等于常数项与二次项系数的比 高分必刷 题型1一元二次方程的定义 1.(25-26九年级上·甘肃张掖期中)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2+V2x-1=0 B.2x2+x-2 C.3+x-1=0D.2x2+y-2=0 2.(25-26九年级上·广东广州·月考)方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的条件是（) A.a≠0 B.b≠0 C.c≠0 D.b≠0且c≠0 3.(25-26九年级上·广东湛江·期中)下列方程中，是一元二次方程的是() A.3x+1=0B.x2+y=0 C.是+x=1 D.3x2-4x+2=0 4.(25-26九年级上广东江门期中)下列是一元二次方程是() 试卷第2页，共13页 A.(32-3x+4=0 B.x2+1=0 C.是-x=1 D.2x-3+y=0 5.(25-26九年级上·辽宁鞍山月考)若关于x的方程2xm-2+3x+5=0是一元二次方程，则m的值 为 6.（25-26九年级上·河南开封·期中)若关于x的方程(a+1)x2+2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范 围是 高分必 题型2由定义求参 7.(25-26八年级上·上海奉贤·期中)若关于x的方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值 范围是() A.k≠0 B.k>2 C.k<2 D.k≠2 8.(25-26九年级上·湖南岳阳·期中)关于x的方程(m-2)x2-6x+3=0是一元二次方程，则m的取值范 围是() A.m>2 B.m<2 C.m≠2 D.为任意数 9.(25-26九年级上·广东东莞·期中)若方程(a-4)x2+2x+1=0是一元二次方程，则a的取值范围 是 10.(25-26九年级上·北京·期中)己知关于x的方程(m-1)x2-2x+5=0是一元二次方程，则m的取值范 围是一· 11.(25-26九年级上·甘肃平凉·月考)若方程(a-3)xd-1+x-2=0是关于x的一元二次方程，则a的值 为一· 12.(25-26九年级上.宁夏固原·期中)若方程(m-2)xm2-2+(3-m)x-2=0是一元二次方程，则 m= 13.(25-26九年级上·安徽宿州·月考)若关于x的方程(m+1)xm-1到一2x-3=0是一元二次方程，则m 的值为 知识梳理 试卷第3页，共13页 知识点4直接开方法解一元二次方程 (1)概念：如果x2=4,那么x=±V4，即x=士2，像这种根据平方根的意义直接开方求一元二次 方程解的方法叫作直接开方法. (②)直接开方法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程转化为x2=p或(mx+n)子=p(p≥0)的形式（即平方项的系数化为1）； 式求出a的取值范围，即可写出符合条件的a的值. 易错警示 1.使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值 2.b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 3.用根的判别式求字母的值或取值范围时，若一元二次方程的二次项系数为字母，则需要注意二次 项系数不为0. 知识点5.配方法解一元二次方程 (1)概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 (2)配方法解一元二次方程的一般步骤： 第一步 二次项系数化为1 如果二次项系数不是1，给方 程两边同时除以二次项系数 第二步 移项 将常数项移到等号右边，含 未知数的项移到等号左边 第三步 配方 方程两边同时加上一次项系 数一半的平方 第四步 写成(x±h)2=k(G≥0)的形式 第五步 用直接开方法求解 知识点6.因武分解法解一元二次方程 (1)概念：先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等 于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 试卷第4页，共13页 第一步 移项 将方程右边化为零 第二步 化积 把方程左边分解为两个一次因式的积 第三步 转化 分别令每一个一次因式为零，转化成两个 元一次方程 第四步 求解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方 程的解 知识点7.公式法解一元二次方程 (1)概念：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得 出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. (2)求根公式：当A≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=t-a 2a 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. (3)公式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程化为一般形式，并确定a,b,c的值； ②求出判别式△=b2-4ac的值，判断根的情况； ③当A≥0时，把ab,c的值代入求根公式×=bt-4 2a 有解一元二次方程和近两年云南新考查的高次代数式的求值或证明 方法总结 如何选取合适的方法解一元二次方程： (1)配方法适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数，各项系数比较小且便于配方的一元二 次方程， (2)公式法适用于所有的一元二次方程； (3)因式分解法适用于当方程缺少常数项时，即形如ax2+bx=0(a≠0)的方程，一元二次方程等号 的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积； (4)直接开平方法适用于当一元二次方程中缺少一次项时，即形如ax2+c=0(a≠0，ac<0)的方程。 不能在一元二次方程两边同除以相同的因式 例如：(x-3)2=x(x-3) (④一元二次方程求根公式的推导过程 自我总结 一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程x2+bx+c= 0(a≠0)的过程 试卷第5页，共13页 方程两边同时除以a, 第一步 二次项系数化为1 得x2+名x+台=0 将常数项移到等号右边，含未知数 第二步 移项 的项移到等号左边得x+各x=-台 方程两边同时加上一次项系数一半 第三步 配方 的平方得x+名x+(岛)=-台+（品）》 第四步 因式分解 得x+2会P-6:4ae 4a2 第五步 直接开平方 得*+品=4@ b 2a 第六步 整理 得x=-b±B-4@ 2a 知识点8.一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1和2，根据求根公式可知1= -40一-b-c,由此可得8+83=+2=2=-名x=624c 2a 2a 2a 2a 2a -b-V62-4ae_ 2a b-(6时--c=- 4a2 4a2 因此，方程的两个根X,x:和系数ab,c的关系为：81+x,=-台xx,=,用文字表述为：一元二次 方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 高分必刷 题型3用合遁的方法解方程 14.（2025·安徽模拟预测)解方程：x2+3x-10=0. 试卷第6页，共13页 15.(2025·安徽合肥三模)解一元二次方程x2+4x-3=0. 16.(2025·安徽合肥模拟预测)解方程：x2-2x-8=0. 17.（2025·安徽滁州三模)解方得：x2+3x=10. 18.（2025·安徽合肥一模)解方程：2x2+3x+1=x2+1. 19.（2025·安徽·模拟预测)选择适当的方法解下列方程：x2-2x-143=0: 20.(2025·安徽一模)解方程：(x+3)2+2x(x+3)=0. 21.(2025·安徽准北三模)解方程：(x+1)(x-3)=2. 22.(2025·安徽滁州二模)解方程：x(x-3)=x. 试卷第7页，共13页 23.（2025·安徽.一模)解方程：4x-x2=3. 24.（2025·安徽准南·二模)解方程：x(x-2)=3x-4 25.(2025·安徽模拟预测)解方程：3x2+3x-1=0. 26.（2025·安徽六安模拟预测)解方程：(x+2)2-8=4x. 27.(2025·安徽蚌埠.一模)解一元二次方程：x2+6x=7. 28.（2025·安徽芜湖一模)解方程x2=3x. 29.（2025·安徽芜湖一模)解方程：x2+3x-10=0. 试卷第8页，共13页 30.(2025安徽池州一模)解方程：x2+x=6(x+1). 题型4判别式与根的个数关系 31.(2025·安徽合肥.一模)已知mn=m+n=k≠0，下列结论不正确的是（) A.品+日=1 B.(m-1)2+(n-1)2≥2 C.若m,n同号，则k≥4 D.若m,n异号，则-4≤k≤0 32.(2025·安徽合肥·三模)下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2-2x+3=0 B.x2+6x+9=0C.x2-x=2D.3x2-x+2=0 33.(2025·安徽合肥.二模)已知互不相等的实数a,b,c满足ab+a2=c2,ab+b2=c2,ab≠0，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况为() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定根的存在情况 34.(2025安徽阜阳·二模)下列一元二次方程有实数根的是() A.x2-x+1=0 B.3x2-2x+1=0 C.5x2+2x+1=0 D.2x2+5x=-1 35.(2025·安徽马鞍山三模)下列方程中，有实数根的是() A.x2+1=0B.x2+1=x C.2x2+1=x D.x2-1=x 36.(2025安徽合肥一模)已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m2+1=0有两个不相等的实数根， 则m的值可能是() A.-2 B.- C.0 p.含 37.(2025·安徽阜阳·二模)关于x的一元二次方程4x2-3x+1=0的根的情况是() A.必有两个相等的实数根 B.必有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.必有实数根 试卷第9页，共13页 38.(2025·安徽模拟预测)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0(m≠0、n≠0)的两根是am和B,若a+B> 0、邱<0，则下列选项正确的是() A.m>0、n<0B.m=1-n C.n=-1-2m2D.m2-4n>0 39.(2025安徽淮准北三模)已知关于x的一元二次方程(x-1)c-2)=有两个相等实数根，则实数m的值 为() A.-1 B.1 C.4 D.-4 40.(2025·安徽合肥·二模)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个相等的实数根， a的值为(). A.1 B.2 C.3 D.4 41.(2025·安徽毫州·三模)已知关于x的一元二次方程x2-(3-k)x+k=0有两个相等的实数根，则k的值 是() A.k=1 B.k=9 C.k=1或k=9D.k=-1或k=-9 42.（2025·安徽宣城二模)若关于x的一元二次方程mx2-4x-3=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为() A.m B.m>- C.m>-且m≠0 D.m<且m≠0 43.(2025·安徽安庆·三模)若关于x的一元二次方程(m-3)x2+x+1=0有两个不相等的实数根，则m 可能取的值是() A.2026 B.4 C.3 D.-月 44.(2025安徽准南·二模)已知关于x的一元二次方程x2-3x+p=0有两个不相等的实数根，则整数p 的值可以为·（写出一个即可） 45.(2025·安徽阜阳模拟预测)已知方程x2-6x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 46.(2025·安徽宿州模拟预测)若关于x的一元二次方程2x2+6x-m=0有实数根，则m的取值范围 是 47.(2025·安徽合肥三模)直线y=2与y=ax(1-x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是 48.（2025·安徽蚌埠·三模)等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长4，b是关于x的一元二次方程x2- 6x+2+m=0的两个实数根，则m的值为 49.(2025·安徽宿州一模)若关于x的一元二次方程ax2-ax=1有两个相等的实数根，则实数a的值 试卷第10页，共13页 第9讲一元二次方程 知识点1一元二次方程 (1)概念:等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程, 叫作一元二次方程. (2)一般形式 二次项系数 一次项系数 知识点2一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 知识点3 一元二次方程根的判别式 式子 叫作一元二次方程 根的判别式,通常用希腊字母 表示，即 . 根的判别式与根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 题型1一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：选项A： 中，只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． 选项B：不是方程，缺少等号． 选项C： 中，分母含未知数，不是整式方程． 选项D： 中含两个未知数x和y，不是一元方程． 故选A． 2．（25-26九年级上·广东广州·月考）方程是关于的一元二次方程的条件是（） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程的定义要求二次项系数不为零，即，其他系数不影响方程的次数． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东湛江·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程． 选项A：，未知数次数为1，不符合条件②； 选项B：，含两个未知数，不符合条件①； 选项C：，含有分式，不是整式方程，不符合条件③； 选项D：，只含一个未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合所有条件． 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）下列是一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A、化简后为，最高次数为，不符合一元二次方程的定义； B、，满足一元二次方程的定义； C、含有分式，不是整式方程； D、含有两个未知数和，不符合一元二次方程的定义； 故选：B． 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 题型2由定义求参 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 8．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．为任意数 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是掌握二次项系数不为零的条件． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵方程 是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：C． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零求解即可． 【详解】由题意得：， 解得． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为 （其中 ）. 根据二次项系数不为零的条件求解即可. 【详解】解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数， 解得：. 故答案为：. 11．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∴， 又∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）若方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，需满足： 解得， 所以． 又，即， 因此． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，可得且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为3． 知识点4直接开方法解一元二次方程 (1)概念:如果 ，那么 ，即 ，像这种根据平方根的意义直接开方求一元二次方程解的方法叫作直接开方法. (2)直接开方法解一元二次方程的一般步骤: ①将方程转化为 或 的形式(即平方项的系数化为 1)； 式求出 的取值范围, 即可写出符合条件的 的值. 易错警示 1. 使用一元二次方程根的判别式时, 应先将方程整理成一般形式,再确定 的值. 2. 时,方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 3. 用根的判别式求字母的值或取值范围时, 若一元二次方程的二次项系数为字母, 则需要注意二次项系数不为 0 . 知识点5. 配方法解一元二次方程 (1)概念:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法. (2)配方法解一元二次方程的一般步骤: 知识点6. 因式分解法解一元二次方程 (1)概念:先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式， 再使这两个一次因式分别等于 0 , 从而实现降次, 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 知识点7. 公式法解一元二次方程 (1)概念:解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式， 可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法. (2)求根公式:当 时，方程 的实数根可写为 (3)公式法解一元二次方程的一般步骤: ①将方程化为一般形式，并确定 的值； ②求出判别式 的值，判断根的情况； ③ 当 时，把 的值代入求根公式 . 有解一元二次方程和近两年云南新考查的高次代数式的求值或证明. 方法总结 如何选取合适的方法解一元二次方程: (1)配方法适用于二次项系数化为 1 后, 一次项系数是偶数, 各项系数比较小且便于配方的一元二次方程; (2)公式法适用于所有的一元二次方程； (3)因式分解法适用于当方程缺少常数项时,即形如 的方程，一元二次方程等号的一边为 0 , 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积; (4)直接开平方法适用于当一元二次方程中缺少一次项时, 即形如 , 的方程. 不能在一元二次方程两边同除以相同的因式. 例如: 3) (4)一元二次方程求根公式的推导过程 自我总结 一元二次方程的求根公式的推导过程, 就是用配方法解一般形式的一元二次方程 的过程. 知识点8. 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 的两个根为 和 ,根据求根公式可知 ,由此可得 因此,方程的两个根 和系数 的关系为: . 用文字表述为:一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数, 题型3用合适的方法解方程 14．（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：因式分解，得， ∴或， 解得，． 15．（2025·安徽合肥·三模）解一元二次方程． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 解得或． 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 则， 故， ∴， 即，． 17．（2025·安徽滁州·三模）解方得：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 即， 或． ． 18．（2025·安徽合肥·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，． 19．（2025·安徽·模拟预测）选择适当的方法解下列方程：； 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，熟悉配方法是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 20．（2025·安徽·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：． 21．（2025·安徽淮北·三模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为 ， 22．（2025·安徽滁州·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解： ∴或， ∴． 23．（2025·安徽·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．先将方程整理为一般式，再进行配方求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 24．（2025·安徽淮南·二模）解方程：. 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．先将方程化为一般式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ，． 25．（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：，，， ， ， ，． 26．（2025·安徽六安·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意化简得到，再利用直接开方法进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得，． 27．（2025·安徽蚌埠·一模）解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， ∴或， 解得：． 28．（2025·安徽芜湖·一模）解方程． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 29．（2025·安徽芜湖·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再化为两个一次方程解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； 30．（2025·安徽池州·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 整理，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，． 题型4判别式与根的个数关系 31．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加法，整式的混合运算，根的判别式等知识点由已知条件，结合代数运算和不等式性质，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：、．显然成立，故该选项不符合题意； 、展开得：，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n同号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个同号根， ∴， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n异号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个异号根， ∴， ∴，则或, 又∵ 综上可，故该选项符合题意； 故选：D． 32．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故此方程没有实数根，不符合题意； B、，故此方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、，故此方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、，故此方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 33．（2025·安徽合肥·二模）已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 34．（2025·安徽阜阳·二模）下列一元二次方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根的判别式，分别利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可．熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 【详解】解：A、， 一元二次方程没有实数根，不符合题意； B、， 一元二次方程没有实数根，不符合题意； C、， 一元二次方程没有实数根，不符合题意； D、， 一元二次方程有实数根，符合题意； 故选：D． 35．（2025·安徽马鞍山·三模）下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根的情况即可． 【详解】解：A、方程，，方程没有实数根，所以本选项不符合题意； B、方程化为，，方程没有实数根，所以本选项不符合题意； C、方程为，，方程没有实数根，所以本选项不符合题意； D、方程化为，，方程有两个不相等的实数根，所以本选项符合题意； 故选：D． 36．（2025·安徽合肥·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式计算即可． 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得， ∴m的值可能是， 故选：D． 37．（2025·安徽阜阳·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据判别式，直接得到没有实数根，即可求解本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 38．（2025·安徽·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可判断A；B、C举反例说理即可；根据一元二次方程根的判别式结合不等式的性质即可判断． 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴， ∴， ∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但 故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但 故C错误，不符合题意； D、， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：D． 39．（2025·安徽淮北·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（　　） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 先把方程整理成一般式，再根据方程有两相等实数根，得，求解即可． 【详解】解：∵，即有两个相等实数根， ∴ 解得：， 故选：A． 40．（2025·安徽合肥·二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 41．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解关于k的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得，， 即k的值为1或9． 故选：C． 42．（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且， 故选：C． 43．（2025·安徽安庆·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（   ） A．2026 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 44．（2025·安徽淮南·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式和解一元一次不等式的步骤． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，求出p的取值范围，解接一元一次不等式，再取整数解． 【详解】解：方程的判别式为， 由于有两个不相等的实数根，故，即， 解得， 因此，整数p可以取 2、1、0 等， 故答案为：2． 45．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：9． 46．（2025·安徽宿州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 47．（2025·安徽合肥·三模）直线与的图象有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意联立与，得出，求解即可． 【详解】解：联立与，则，整理得：， ∵直线与的图象有两个不同的交点， 则， 解得：或， 故答案为：或． 48．（2025·安徽蚌埠·三模）等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为 ． 【答案】6或7/7或6 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 当4为腰长时，将代入原方程，求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形；当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形． 【详解】解：当4为腰长时，将代入原方程，得， ∴， 原方程为， 解得 ， 又∵， ∴边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴原方程为 ， 解得， 又∵， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m的值为6或7 故答案为：6或7． 49．（2025·安徽宿州·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：由得， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得． 故答案为． 题型5韦达定理的应用 50．（2025·安徽淮南·一模）已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 51．（2025·安徽亳州·二模）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握其知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意知：． 故选：C ． 52．（2025·安徽合肥·三模）设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根与系数的关系，设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两正实数根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积相等， ∴， ∴， ∴且． 故答案为：且． 53．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查一无二次方程极与系数的关系，根据所给等式可得是一元二次方程的两根，由根与系数的关系得，，将变形为，再整体供稿计算即可． 【详解】解：∵实数 m，n满足 ， ∴m，n为一元二次方程. 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ 故答案为：20． 54．（2024·安徽·模拟预测）若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】39 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 将其中一根a代入到一元二次方程根的定义得出，根与系数的关系得出，，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵a，b为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 将a代入得，， ∴， ∵ ， 将，，代入， 得 ， 故答案为：39． 55．（2025·湖南娄底·一模）已知方程的两个解分别为a，b，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系得出，，变形后代入，即可求解． 【详解】解：方程的两个实数根为a、b， ，， ∴， 故答案为：2024． 56．（2025·安徽合肥·一模）已知方程的一个根是，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个根是、，则，．根据方程得到两根之和为，即可求出另一个根． 【详解】解：方程， 方程的两根之和为， 方程的一个根为， 方程的另一个根为， 故答案为：． 57．（2025·安徽淮北·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 所以． 故答案为：． 58．（2025·安徽芜湖·一模）已知m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：， ． 根据根与系数的关系求出，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 59．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得，，，，则，，联立，，解得，，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，， 联立解得：，， ∴，， ∴以两实数根分别为，的方程是， 故选：． 60．（2025·安徽合肥·二模）已知实数，，，，其中，满足，．则以下说法： ； ，是关于的一元二次方程的两个根； ；若，，均为奇数，则，可能都为整数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，得出，可判断；若，是关于的一元二次方程的两个根，则，，可判断；由，，则，可判断；当，，均为奇数时，则为奇数，即中一奇一偶；为奇数，即中全为奇数，可判断． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ，故正确； 若，是关于的一元二次方程的两个根， 则，， ∴与题中不符，故错误； ∵，， ∴ ， ∴，故正确； 设，为整数， 当，，均为奇数时， ∴为奇数，即中一奇一偶；为奇数，即中全为奇数， ∴，相矛盾，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 题型6一元二次方程解的应用 61．（2025·安徽·模拟预测）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的两腰相等，可分两种情况求解，当等腰三角形的腰是时，则方程有一根是，把代入方程，可得关于的方程，解方程即可求出的值；当是等腰三角形的底边长时，则有，所以方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可得：，解方程即可求出的值． 【详解】解：等腰的三边长分别为、、， 当等腰的腰长是时， 则方程有一个根是， 可得：， 解得：； 当等腰的底边长是时， 则有， 则方程有两个相等的根， ， 解得：； 当时，三边长为1、3、3，满足，可以构成三角形； 当时，三边长为2、2、3，满足，可以构成三角形． 综上所述，的值是或． 62．（2025·安徽·二模）如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于A，B两点，与轴交于点．若，的面积为5，的值为 ．    【答案】12 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数相结合，交点坐标和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上性质． 设点A的坐标为，点B的坐标为，得到，，由勾股定理得出，求得，，然后利用三角形的面积列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，则，是方程=的两个根， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴=， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∵， ∴， ∴． 63．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，反比例函数与边、分别交于M、N，若，，则k值为    【答案】 【分析】由反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点、，证得，即可得，可得，然后作于点，得为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，则可得到点的坐标，继而求得答案． 【详解】解：∵点、都在反比例函数的图象上， ，即， ∵四边形为正方形， ， ， 在和中， ， ， ， 作于点，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在 中，， ，即， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设正方形的边长为，则， ∵在中，， ， 解得（舍去）， ， ， ， ∴N点坐标为， 将点代入反比例函数，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算． 64．（2025·安徽滁州·三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连接．若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，设与交于点，由题意可得四边形是矩形，则，从而求得，则， ，然后通过勾股定理在中， ，即，即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∴， 把代入求得， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴于点， 把代入 ，得， ∴， ∵，， 在中， ， ∴，解得 ， ∵， ∴， 故答案为：． 65．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 66．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题． 【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确； ②若，则,解得， ， ，故②错误； ③若，则, ， ，故③正确； ④中只有两个数相等， 当时，有， 解得，， 当时，不合题意， 当时，， ， 当时，得,则， 此时不符合题意， 当时，，此时，不符合题意； 故只能是，故④正确 其中正确的是①③④． 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $