2026届安徽中考数学一轮复习考点全突破 第8讲不等式

专题8不等威 考点三不等式组的实际应用 知识点一元一次不等式的概念 知识点3实际问题与一元一 次不等式中常见的关键词语 不等式 知识点2解一元一次不等式组 考点二不等式的基本性质 考点一解不等式 知识梳理 知识点1一元一次不等式的概念 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式 6.解一元一次不等式的步骤 易错警示 1.去分母、去括号、移项时的易错点 2.系数化为1时，系数是负数的，不等号要改变方向 步骤 具体做法 变形依据 去分 不等式两边同乘各分母的 同乘正数，则依据不等式的性质2，同乘负 试卷第1页，共28页 母 最小公倍数 数，则依据不等式的性质3 去括 括芳前的数乘括号内的每 乘法分配律或去括号法则 号 一项 移项 把含有未知数的项移到不 依据不等式的性质1 等式的一边，常数项移到另 一边 合并 把不等式化成Ax>B或 合并同类项法则 同类 Ax<B(A≠O)的形式 项 系数 不等式两边同除以未知数 当未知数的系数为正数时，依据不等式的 化 为 的系数，得到不等式的解集 性质2；当未知数的系数为负数时，依据不 等式的性质3 知识点2解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集 一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组 的解集。 3.解一元一次不等式组的步骤 试卷第2页，共28页 第一步 分别求出不等式组中各不等式的解集 第二步 将各不等式的解集在数轴上表示出来 第三步 在数轴上找出各不等式的解集的公共部分， 这个公共部分就是不等式组的解集 4.一元一次不等式组解集的基本类型 类型(a>b) 在数轴上的表示 解集 x≥a lx>b b a x≥a x<a x≤b X≤b ≤a x≥b b≤x≤a (x>a 无解 lx<b b a 个不等式组，求出解集并在数轴上表示，考查学生对不同不等式组解题方法的掌 握程度 方法总结 试卷第3页，共28页 含参不等式组的解题步骤： ()分别解出两个不等式； (2)根据已知条件（无解、有解、有特殊解）确定以参数为未知数的不等式（组）， (3)解该不等式（组）即可. 助记口诀 同大取大， 同小取小， 大小小大取中间， 大大小小取不了 高分化刷 考点一解不等式 【题1】(2025安徽马鞍山二模)在数轴上表示不等式号x+1≥0的解集，正确的是（) A.-21012→ B.之01 C.2-1012→ D.-2-101→ 【题2】(2024安徽·模拟预测)在数轴上表示不等式组 (+1之0的解集，正确的是（） 2 -x+1≥0 A.4320十234 B.41024 c4。时 【题3】(2025·湖北襄阳·三模)不等式x≥3的解集在数轴上表示正确的是() 试卷第4页，共28页 B.01234→ c01254> D.012}4> 【题4】(2025·安徽马鞍山三模)在数轴上表示不等式<1的解集，正确的是（） A.-2-1012345 B.-2-1012345 C.-2-1012345 D.21012345→ 【题5】（(2025安散安庆三模)不等式组三5的解集在数铂上表示，正确的是() A. B C 【题6】(2023安数蚌蜂三候)在数销上表示不等式细土，二的解米表示正偏的是〈） B -5 0 0 D 0 【题7】〈2025安微龙候技测)不等式细十”6的解米在数轴上表示正确的是(） A B. 。。 【题8】(2025·安徽六安·三模)不等式，≤x的解集在数轴上表示正确的是() 2x-1>X+1 【题9】(2024·安徽模拟预测)在数轴上表示不等式组{ x>1的解集，正确的是() 2 试卷第5页，共28页 A.对01方好 B.-2-101全34 c.-20134 D.-201支34 【题10】(2024七年级下全国专题练习)犯不等式年6十？≥0的解失表示在数轴上，正确的是() A. -10123 B.-10123 C. -10123 D.-10123 您更】(2025安徽宿州模拟预一元一次不等式组4十三1的解架在数轴上表示正确的是( A. 2-1013 c.2013 。210 【题12】(2025安徽：一模)在数轴上表示不等式>0的解集，正确的是() A.2-1012345分 B.-2-1012345 c.1024寸 D.2-1012分45 【题13】(2025·安徽模拟预测)不等式，3x≥x+3的解集在数轴上表示正确的是() 2 A 2101 B.-2-101 c.2-90→ D.-2-1 0 (x+2>0 【题14】(2025安徽安庆·模拟预测)不等式组 x≤1的解集在数轴上表示正确的是() A.-3-2-10123 B.-32-1023→ 【题15】(2024湖南长沙模拟预测)不等式组区x+号二含的解类在数辅上表示正确的是（) 试卷第6页，共28页 A.43-2101234 B.43201方34 c.4-3-2101234 D.43201134 【圈16】（2025安微合肥模拟预)不等式组2（千x生5的解柴在数轴上表示正确的是《） x<3x+4 A.2寸02→ 02→ c.-3-2-1012 D.-3-2-1012 【题17】(2024安徽阜阳·三模)不等式组 }+51中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是( -3-2-101 -3-2-10 1 A. B B.C. -3-2-101 -3-2-101 D. 【题18】(2024安徽合肥·模拟预测)不等式组 号-2<0的解集在数轴上表示正确的是（） 3 x-1≤0 。310 。6 【题10】(2024安微合肥根报预》在数销上表示不等式组(2：+1子的解柴，正确的是(） A. -2-1012 B.-2-1012 。2-1012 3时 D 【题20】(2024安微楼拟预测)不等式组（十的解集在数精上表示止棉的是(） 。可0 试卷第7页，共28页 【腰21】(2024内蒙古赤峰：中考真题)解不等式组32<2x①。时，不等式0和不等式②的解集 2(x+1)≥x-1② 在数轴上表示正确的是() -3 0 A B.-3 0 -3 02之 D.-3 0→ -X+3<2X 【愿2】(2024安徽准北模拟预测）不等武组{受≤4-女的解集，在数转上表示正确的是（） A. 0 B.0 C. 0 D.0→ 1-x≥-1 【题23】(2024安徽合肥二模)在数轴上表示不等式组 >-1的解集，正确的是() -3-2-10123 B. -3-2-10123 A c.-32-10123 D.-3-2-10123 【题24】(2025安徽合肥一模)解不等式：，>31-1. 2 【题25】(2025安徽六安，二模)解不等式：1-1<x. 【题26】(2025安徽二模)解不等式：3<1. 试卷第8页，共28页 【题27】(2025安徽合肥三模)解不等式：“，-x>1. 【题28】(2025：安徽合肥一模)解不等式：号>x+1. 【题29】(2025安徽淮北·模拟预测)解不等式：号≤x+1. 【题30】(2025安徽合肥·三模)解不等式：号-1≤0 【题31】(2025安徽合肥三模)解不等式：≥1-x. 【题32】(2025：安徽准北三模)解不等式-1<3 2 试卷第9页，共28页 【题33】(2025安徽蚌埠二模)解不等式：≤号 【题34】(2025安徽合肥·二模)解不等式-1≥ 【题35】(2025安徽滁州一模)解不等式：2-号>x, 【题36】(2024安徽三模)解不等式：45>x-1. 2 【题37】(2024安徽蚌埠·三模)解不等式：号-2(x+3)≥1. 【题38】(2024陕西西安模拟预测)解不等式：4-2x兰≥1. 46 x-4≤3(x-2) 【题39】(2025江苏扬州·二模)解不等式组 +2+1>x，并求出整数解的和. 3 (2x-3>X+1 【题40】(2025·安徽宿州二模)解不等式组： Gx+1≥x-2 试卷第10页，共28页 专题8 不等式 知识点1一元一次不等式的概念 含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式. 6. 解一元一次不等式的步骤 易错警示 1. 去分母、去括号、移项时的易错点 2. 系数化为 1 时, 系数是负数的, 不等号要改变方向. 步骤 具体做法 变形依据 去分母 不等式两边同乘各分母的最小公倍数 同乘正数，则依据不等式的性质 2;同乘负数，则依据不等式的性质 3 去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则 移项 把含有未知数的项移到不等式的一边, 常数项移到另一边 依据不等式的性质 1 合并同类项 把不等式化成 或 的形式 合并同类项法则 系数化为 1 不等式两边同除以未知数的系数, 得到不等式的解集 当未知数的系数为正数时, 依据不等式的性质 2 ;当未知数的系数为负数时, 依据不等式的性质 3 知识点2解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集 一般地, 几个一元一次不等式的解集的公共部分, 叫作由它们所组成的不等式组的解集. 3. 解一元一次不等式组的步骤 4. 一元一次不等式组解集的基本类型 类型 在数轴上的表示 解集 无解 个不等式组, 求出解集并在数轴上表示, 考查学生对不同不等式组解题方法的掌握程度. 方法总结 含参不等式组的解题步骤: (1)分别解出两个不等式； (2)根据已知条件(无解、有解、有特殊解) 确定以参数为未知数的不等式(组); (3)解该不等式(组) 即可. 助记口诀 同大取大， 同小取小， 大小小大取中间, 大大小小取不了. 考点一 解不等式 【题1】 （2025·安徽马鞍山·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，注意表示时空心点和实心圈的区别：不带等号用空心圈，带等号用实心点．先求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 该不等式的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【题2】 （2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式组的解和数轴表示，熟练不等式的求解方式是解题的关键． 根据题意解不等式组，得到解集判断即可． 【详解】解不等式，得； 解不等式，得， 故原不等式组的解集为， 数轴表示为： 故选：C． 【题3】 （2025·湖北襄阳·三模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为 ． 故选：C 【题4】 （2025·安徽马鞍山·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集． 先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：解得， 在数轴上表示为， 故选：A 【题5】 （2025·安徽安庆·三模）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组解集的表示方法． 本题可根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“”，“”表示，大于向右小于向左．”画出数轴即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【题6】 （2023·安徽蚌埠·三模）在数轴上表示不等式组的解集表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集；先解出一元一次不等式组的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 解①，， ， 解②，， ， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集： 故选：A． 【题7】 （2025·安徽芜湖·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在数轴上表示为 则不等式组的解集为， 故选：D． 【题8】 （2025·安徽六安·三模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集．熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 首先按去分母、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求出不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得， 化系数为1，得， 解集在数轴上表示为： 故选：A． 【题9】 （2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后表示在数轴上即可． 【详解】 解：解不等式①得， 解不等式②得． ∴不等式组的解集是． 故选：A． 【题10】 （2024七年级下·全国·专题练习）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 故选：A． 【题11】 （2025·安徽宿州·模拟预测）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示： 故选：A. 【题12】 （2025·安徽·一模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：空心圆点向右画折线，实心圆点向右画折线，空心圆点向左画折线，实心圆点向左画折线．先求出不等式的解集，再根据在数轴上表示不等式解集的方法解答． 【详解】解：由题意得， 移项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示如下：． 故选：A． 【题13】 （2025·安徽·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，利用数轴表示不等式的解，解题关键是正确求解不等式． 先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后把结果表示在数轴上． 【详解】解不等式，得， 其解集在数轴上表示如图． 【题14】 （2025·安徽安庆·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，正确得出各不等式的解集，熟练掌握解集的表示方法是解题关键．注意：表示解集时，带等号的要用实心点表示，不带等号的用空心点表示．分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得出不等式组的解集，根据解集在数轴上表示方法即可得答案． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为：， ∴不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【题15】 （2024·湖南长沙·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得，得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：D． 【题16】 （2025·安徽合肥·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式组，分别解两个不等式，再在数轴上表示，找出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解，得 解，得 ， ∴原不等式组的解集为． 故选A． 【题17】 （2024·安徽阜阳·三模）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上进行表示，正确求出每一个不等式解集及熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键； 先求出不等式组的解集，再根据带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点，在数轴上表示出来，判断即可． 【详解】解：解不等式组，得： ， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： ； 故选B． 【题18】 （2024·安徽合肥·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并将不等式组解集在数轴上表示出来，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律（同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解）找出不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组解集为：， 在数轴上的表示为：， 故选：D． 【题19】 （2024·安徽合肥·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：令， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示． 故选：B． 【题20】 （2024·安徽·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查解一元一次不等式组，求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可. 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ∴不等式组的解集为， 故选：B 【题21】 （2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【题22】 （2024·安徽淮北·模拟预测）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图所示： ， 故选：B． 【题23】 （2024·安徽合肥·二模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是在数轴上表示不等式的解集． 先解一元一次不等式组，遵循大小小大取中间的原则确定不等式组的解集，再根据，用空心圈表示，，用实心圈表示，即可进行判断． 【详解】解：解不等式组得，， 所以不等式组的解集应为． 在数轴上表示不等式组的解集为B， 故选：B． 【题24】 （2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 【题25】 （2025·安徽六安·二模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据不等式的性质取分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：去分母得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【题26】 （2025·安徽·二模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去分母再移项，然后合并同类项，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去分母得， ∴移项得， ∴系数化1得， 【题27】 （2025·安徽合肥·三模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，注意在系数化为1时若系数为负数需改变不等号方向． 先给不等式两边同时乘以3去分母，去掉分母后进行去括号操作；接着把含未知数的项移到左边，常数项移到右边并合并同类项；最后将未知数的系数化为1，得到不等式的解集． 【详解】解：， 去分母，两边同时乘以3得：， 合并同类项得：， 移项得：， 即． 【题28】 （2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】此题考查了求一元一次不等式的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．去分母，移项，合并，将系数化为1即可求出不等式的解集． 【详解】解： ． 【题29】 （2025·安徽淮北·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 按照去分母、移项合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题30】 （2025·安徽合肥·三模）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一次不等式，解题关键是熟悉一元一次不等式得到解法；根据解法去分母，移向，合并同类项，化系数为1，得到答案. 【详解】 解： . 【题31】 （2025·安徽合肥·三模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 【题32】 （2025·安徽淮北·三模）解不等式． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题33】 （2025·安徽蚌埠·二模）解不等式：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的方法即可得出不等式的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式，熟知求解的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题34】 （2025·安徽合肥·二模）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．根据解一元一次不等式的步骤，先去分母，再去括号，移项合并，系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得：， 合并同类项，得：． 【题35】 （2025·安徽滁州·一模）解不等式：． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解法求解即可，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 【题36】 （2024·安徽·三模）解不等式：． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴，     ∴， ∴， 解得：． 【题37】 （2024·安徽蚌埠·三模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，利用解一元一次不等式方法和步骤求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ． 【题38】 （2024·陕西西安·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1进行求解即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题39】 （2025·江苏扬州·二模）解不等式组，并求出整数解的和． 【答案】，6 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求整数解；先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再求出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：，整数解为1，2，3； 不等式组的解集为，． 【题40】 （2025·安徽宿州·二模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 【题41】 （2025·安徽·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 【题42】 （2025·安徽宿州·模拟预测）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等组，先求出每一个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可，掌握解不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得要：， ∴该不等式组的解集为：． 【题43】 （2025·浙江丽水·二模）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解是：． 【题44】 （2025·安徽宿州·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可得到不等式组的解． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 【题45】 （2025·安徽淮南·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键在于找到不等式组中各不等式解集的公共部分． 先求得不等式组中各不等式的解集，然后找出各解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 【题46】 （2025·安徽阜阳·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及解一元一次不等式及不等式组解决的求法，先分别解不等式组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 原不等式组的解集为． 【题47】 （2025·安徽六安·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 【题48】 （2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其负整数解即可． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的负整数解为 【题49】 （2024·安徽滁州·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】．数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：，解得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：． 解集在数轴上表示如图： ． 【题50】 （2024·安徽滁州·一模）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为． 【题51】 （2024·安徽六安·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查解不等式组的解集，正确计算是解题的关键．先分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 所以不等式组的解集为：． 【题52】 （2024·陕西西安·一模）解关于x的不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤．分别求解两个不等式，再根据“同大取大，通小取小，大小小大中间找，大大小小没得找”即可写出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 考点二不等式的基本性质 【题53】 （2023·安徽宣城·二模）若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的性质，解题的关键是先用含的代数式表示出、的值．先联立已知的等式，通过解二元一次方程组用含的代数式表示出、的值，然后通过等式和不等式的性质逐项判断各选项即可． 【详解】解：联立， 由得，， 把代入得，，解得， 把代入得，， ，的值未定， 无法确定正负性，即无法确定，故A选项结论不符合题意； 若，则，故B选项结论不符合题意； ，故C选项结论符合题意； 若，则，故D选项结论不符合题意． 故选：C ． 【题54】 （2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意得出，因式分解得出，分类讨论得出或，，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴， ∴或 即或，故A，B不正确 ∵ ∴，故C选项不正确，D选项正确 故选：D． 【题55】 （2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的变形、不等式的性质以及完全平方公式的运用．解题关键在于利用已知等式进行合理变形，将用、表示后，代入不等式得出变量间的大小关系；同时，对于判断与的大小关系，通过对进行配方变形，利用完全平方的非负性来判断．本题给出了关于、、的两个等式和以及的条件．首先通过将用和表示出来，再代入中，得到与的大小关系．然后根据进一步推导与的大小关系，最后通过对进行变形，判断其正负，从而确定各个选项的正误． 【详解】解： ． 又 ，即①． ，故A错误． ，即． ②，故B错误． 由①②，得． ， 必为正数． ，故C正确． ， ，故D错误． 故选C． 【题56】 （2025·安徽安庆·二模）已知实数满足，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，不等式的性质，根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 解得：， ， ，故A不符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故B不符合题意； ， ， ， ， ， ，故C符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故D不符合题意； 故选：C． 【题57】 （24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知非零实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式，掌握不等式的性质是解题关键． 根据不等式性质进行变形即可得出结论． 【详解】解： ， ． ， ，即，故A选项错误； ， ， ，即，故B选项错误； ， ， ． 即故C选项错误； ， ， ． 即故D选项正确； 故选：D 【题58】 （2025·安徽蚌埠·一模）已知，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解三元一次方程组，不等式的性质，将看作已知数解关于的三元一次方程组，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D.∵ ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【题59】 （2025·安徽合肥·一模）已知a，b，c为非零实数，且满足，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质以及代数式的变形，解题的关键是利用将用和表示出来，再代入不等式进行分析． 先由得出，将其代入得到关于和的不等式，再对格选项逐一分析判断． 【详解】因为，所以，将代入，可得，进一步变形为， A、由不能直接推出，所以选项A错误； B、前面已推出，而不是，所以选项B错误； C、将代入可得：， 由两边同时乘以2得，即，选项C正确； D、将代入可得： 由两边同时乘以，可得，，选项D错误． 【题60】 （2025·安徽阜阳·三模）已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式变形、不等式的性质，根据代数式变形结合不等式的性质得出，即可推出，再结合题意得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由得，， 由得，， ，即； 由得，， ， 故选：D． 【题61】 （2025·安徽池州·三模）已知实数满足，则以下判断正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 【题62】 （2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，进一步可得，而根据现有条件无法得到A、B、D中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故C选项结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论， 故选：C． 【题63】 （2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行解答即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 故选：． 【题64】 （2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，，然后分别代入和计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， 综上所述，，， 故选：D． 【题65】 （2025·安徽合肥·一模）已知实数 满足：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故正确； 故选：． 【题66】 （2025·安徽·一模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：若，则，即，代入，得，所以A错误； 若，则，代入后得到，于是解得或，所以B选项错误； 同B选项，可得或，故C选项错误； 若，则，，所以D选项正确． 故选：D． 【题67】 （2024·安徽安庆·一模）已知为非零实数，且满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质，根据题意，将选项中的代数式表示为，根据多项式相等的条件解方程组求出的值，再由不等式性质变形求解即可得到答案，熟练掌握不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、 ， ，即， ，且， ，故该选项错误，不符合题意； B、 ， ，即， ，且， ，故该选项正确，符合题意； C、由A知，则， 为非零实数， 不一定成立，故该选项错误，不符合题意； D、 ， ，即， ，且， ，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题68】 （2024·安徽·二模）已知三个实数a，b，c，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题的关键． 利用得到， 再推出即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【题69】 （2024·安徽亳州·三模）设为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质得到，则，据此可判断D；例如当时，满足，据此可判断A、C；例如当，满足，据此可判断B． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，故D结论正确，符合题意； 例如当时，满足，故A结论错误，不符合题意； ∴此时，故C结论错误，不符合题意； 例如当，满足，故B结论错误，不符合题意； 故选：D． 【题70】 （2022·安徽·模拟预测）已知非负实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式，完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据，通过解不等式及完全平方公式的运算进行判断即可． 【详解】由得． ， 又为非负实数， 解得， 又 ， 易得 ， A项、B项错误，C项正确． 当时，； 当时，由题可知 ， 即． 由得 ， 即， D项错误． 故选：C 【题71】 （2023·安徽·模拟预测）已知，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据题意将变形即可； 【详解】①，②， ② -①得 A项不符合题意； 由①得③，将③代入②得，整理得 ∴B项不符合题意； ， C项不符合题意； ， D项符合题意． 【题72】 （2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 【题73】 （2025·安徽合肥·二模）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵， ∴， ∴， 即，故该选项正确， C．， ∵， ∴，即，故该选项错误，符合题意． D．∵，， ∴，， ∴，故该选项正确． 故选：C． 【题74】 （2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加法，整式的混合运算，根的判别式等知识点由已知条件，结合代数运算和不等式性质，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：、．显然成立，故该选项不符合题意； 、展开得：，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n同号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个同号根， ∴， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n异号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个异号根， ∴， ∴，则或, 又∵ 综上可，故该选项符合题意； 故选：D． 【题75】 （2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．根据题意用表示出，即代入，即可判断A，进而得出，代入，即可判断B，进而判断C，根据，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∴，则，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项正确 ，不符合题意； 故选：C． 【题76】 （2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，根据题意可得，再利用不等式的性质逐一判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，∴．故选项A正确； ∵，∴，故选项B正确； ∵，∴，故选项C正确； ∵，， ∴，， ∴，故D选项错误． 故选：D． 【题77】 （2025·安徽合肥·一模）已知实数，满足：，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质．由得到，把，代入求出，进而得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A、 ， ， ， ， 故A正确，不符合题意； B、 ， ， ，即， 故B正确，不符合题意； C、 ， ， ， ， ， ，即， 故C错误，符合题意； D、 ， ， ， ， ， ，即， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【题78】 （2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到，则，再逐一计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 若，则， ∴， 若，则， ∴， ， ∵， ∴，∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【题79】 （2024·安徽合肥·二模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵，∴，∴，即，故该选项正确， C．，∵，∴，即，故该选项正确． D．把变形为：，∵，，∴，，∴，即故该选项错误． 故选：D． 【题80】 （2024·安徽滁州·二模）已知实数a，b，c，其中且满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴，即， ∴；故A正确； ∴；故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故D错误； 故选D． 【题81】 （2024·安徽·一模）实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式或不等式的运算．分别对各选项进行计算，即可判断． 【详解】若，则，，即A正确； 由得，，若，则，，即B正确； 若，则，，即C正确； 若，则，，，，即D错误． 故选：D． 【题82】 （2023·安徽蚌埠·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若a，b互为相反数，则 B．若，，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质，不等式的性质及互为相反数的两个数和为0直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：当a，b互为相反数时， ∵， ∴， ∴，故A正确， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确， ∵， ∴，故C正确， ∵，， ∴， ∴故D错误， 故选D； 【点睛】本题考查等式的性质，不等式的性质及互为相反数的两个数和为0，解题的关键是熟练掌握几个性质． 【题83】 （2023·安徽合肥·一模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．为定值 C． D． 【答案】D 【分析】由，，两式相加可得，两式相减可得，由此变形判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即：，故A正确； ， 即：，故B正确； 则， ∴，， ∴，，即：，故C正确； ∵， ∴， 当时，， 当时，，即：，则或，故D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查完全完全平方公式和平方差公式，牢记完全完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键．还考查了不等式的基本性质． 【题84】 （2023·安徽·模拟预测）已知实数，满足，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，由，，和不等式性质逐一排除即可，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【题85】 （2025·安徽淮北·三模）已知实数m，n满足，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， 又， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 故选：D． 【题86】 （2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质，根据分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵，∴， ∴，∴，原选项正确； 、若，由于，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项正确； 、若，∵， ∴，即，原选项正确； 、若，则， ∴， 将代入等式， 左边，右边， 左边右边，原选项错误， 故选：． 【题87】 （2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，然后分别代入和计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴， 综上所述，，，， 故选：D． 【题88】 （2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据题意及平方的非负性得，推出，可判断B；由，可推出，可判断A；由得，可判断C、D，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，故选项B不符合题意； ∵，即， ∴，故选项A不符合题意； 又∵， ∴， ∴，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【题89】 （2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 知识点3实际问题与一元一次不等式中常见的关键词语 表示不等关系的关键词 不等号 大于、超过 不低于、至少 不大于、不超过 小于、少于 用二元一次方程组解决实际问题. 备考方法 新考法解读 代数推理是《2022 年版课标》新增内容. 培养学生的推理能力不仅要重视几何，也要重视代数和统计与概率. 本题以代数知识为背景, 经过逻辑推理求解数学问题, 要求学生具有较高的抽象思维能力和数学推理能力, 对学生思维的严谨性要求较高. 代数推理不仅有纯代数问题的推理, 还有从图形问题转化到代数问题的推理, 如几何中常考查用含字母的代数式表示线段长、面积、角度. 方法总结 1. 注意在设未知数和写答案时, 一定要写清单位, 列不等式时, 两边表示的量应该相 2. 列一元一次不等式解应用题的一般步骤 考点三不等式组的实际应用 【题90】 某体育馆计划同时购买一批篮球和排球，已知篮球进价元/个，排球进价元/个．该体育馆计划购买篮球和排球共个，购买经费不少于元且不超过元，该体育馆有哪几种进货方案？ 【答案】有三种进货方案：篮球个，排球个；篮球个，排球个；篮球个，排球个 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，找到不等关系列出不等式是解决问题的关键．设购买篮球x个，排球个，根据购买经费不少于元且不超过元列出不等式组，求其整数解即可． 【详解】解：设购买篮球x个，排球个， ， 解得， 取整数解， ， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 故有三种进货方案：篮球个，排球个；篮球个，排球个；篮球个，排球个． 【题91】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表： 刹车时车速（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离（m） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 (1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； (2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由； (3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 【答案】(1) (2)该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由见解析 (3) 【分析】（1）把，代入可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为； （2）结合（1）令得：或（舍去），根据，即可得到答案； （3）由题意得 ，可解得答案． 【详解】（1）把，代入得： ， 解得， ∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为； （2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下： 在中，令得： ， 解得：或（舍去）， ∵， ∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故； （3）∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴， 由题意得 ， 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式． 【题92】 某咖啡店提供“到店自取”和“线上配送”两种模式，收费标准如下：到店自取20元/杯；线上配送24元/杯，配送费为6元/次．选择“线上配送”模式如果总费用达到58元及以上，可用平台“满58元立减18元”优惠券一次．小明一次性购买若干杯咖啡，发现“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，求小明一次性购买了多少杯咖啡？ 【答案】3杯 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据数量关系列出一元一次方程和不等式是解题的关键．设小明购买了杯咖啡，先根据题意得出小明一定用了“满58元立减18元”优惠券，可列不等式求出x的取值范围，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小明购买了杯咖啡，若“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，则小明一定用了“满58元立减18元”优惠券， 故， 解得． 当时，可列方程为， 解得． ，符合题意， 小明一次性购买了3杯咖啡． 【题93】 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．投篮得分规则：在三分线外投篮，投中一球可得分，在三分线内（含三分线）投篮投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球）．所得总分不少于分，该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【答案】该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【分析】设该班级这场比赛中至少投中了个分球，根据题意列不等式即可解答．本题考查了一元一次不等式与实际问题，审清题意明确题目中的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设该班级这场比赛中至少投中了个分球，根据题意得， ， 解得：， 答：该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【题94】 为推进顺义区创建文明城区，某班开展“我爱顺义”主题知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的同学，班级准备从文具店一次性购买若干橡皮和笔记本（橡皮的单价相同，笔记本的单价相同）作为奖品．笔记本的单价比橡皮的单价多元，若购买块橡皮和本笔记本共需元． (1)橡皮和笔记本的单价各是多少元？ (2)班级需要购买橡皮和笔记本共件作奖品，购买的总费用不超过元，班级最多能购买多少本笔记本？ 【答案】(1)橡皮的单价是元，笔记本的单价是元 (2)班级最多能购买本笔记本 【分析】（1）设橡皮的单价是元，笔记本的单价是元，然后根据笔记本的单价比橡皮的单价多元，购买块橡皮和本笔记本共需元列出方程组求解即可； （2）设购买本笔记本，则购买块橡皮，然后根据购买费用不超过90元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设橡皮的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得：． 答：橡皮的单价是元，笔记本的单价是元； （2）解：设购买本笔记本，则购买块橡皮， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：班级最多能购买本笔记本． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 【题95】 某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务． (1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？ (2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？ 【答案】(1)甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天 (2)甲公司至多工作天 【分析】设甲公司单独完成此项工程天，乙公司天，利用若甲公司先做天，剩余部分再由甲、乙两公司合作，还需要天才能完成，设总工作量为，得出等式方程，求出即可； 设甲公司施工天，利用中所求数据得出甲乙两公司每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出即可． 【详解】（1）设甲公司单独完成此项工程天，由题意得 解得： 经检验是原方程的解， 则 答：甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天． （2）设甲公司施工天，由题意得 解得：， 答：甲公司至多工作天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程求解． 【题96】 某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【答案】(1)甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元 (2)甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解． （1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解； （2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元， 依题意列方程得：， 解得：， 答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元； （2）解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天， 单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天， 设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天， 根据题意得：， 解得：， 则总费用为：， 当时，总费用最少，为（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【题97】 某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元． (1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？ 【答案】(1)进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台；②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台 (2)购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台 【分析】（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果． （2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案． 【详解】（1）解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得： ， 解得：， ②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：， 解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意． ③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：， 解得：， ∴进货方案有两种： ①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台， ②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台， （2）解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得： ， 解得：4≤s≤5， ∵s为整数， ∴s＝4或5， 当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台， s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台， 答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台， ②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台． 【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程组，以及根据题意列出不等式组． 【题98】 某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元 (2)当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠 【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球拍需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元．． （2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则： 选择方案所需总费用为：（元）， 选项方案所需总费用为：（元）， 当时， 解得：， ∵， ∴； 当时， 解得：； 当时， 解得：， ∵， ∴． 答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选项各方案所需总费用． 【题99】 公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元． (1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表． 表一： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台 租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台 表二： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用甲种货车的费用/ 元 租用乙种货车的费用 / 元 (2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由． 【答案】(1)表一：，，，；表二：，，， (2)甲种货车辆，乙种货车辆 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和不等式． （1）根据计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，可以分别把表一和表二补充完整； （2）由（1）中的数据和公司有台机器需要一次性运送到某地，列出不等式，求出，结合一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 在表一中，当甲车辆时，运送的机器数量为：（台）， 则乙车辆，运送的机器数量为：（台）， 当甲车辆时，运送的机器数量为：（台）， 则乙车辆，运送的机器数量为：（台）， 在表二中，当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元）， 则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元）， 当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元）， 则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元）， 故答案为：表一：，，，； 表二：，，，． （2）解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车辆，乙车辆， 理由：当租用甲种货车辆时，设两种货车的总费用为元， 则两种货车的总费用为：， 又∵， 解得：， ∵， ∴在函数中，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车辆，乙种货车辆． 【题100】 《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱欣欣商场进了、两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 进价（元/个） 售价（元/个） (1)第一次欣欣商场用元购进、两款玩具共个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共个若设购进款玩具个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为元， 写出关于的函数解析式；（不必写出的取值范围）； 若款玩具进货数量不超过款玩具进货数量的，则欣欣商场有多少种进货方案？（两种玩具都要购进） 在条件下，怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进款玩具个，购进款玩具个 (2) ； 欣欣商场有种进货方案 第二次购进款玩具个、款玩具个时这批玩具利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键 （1）分别设购进这两款玩具的个数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据所获利的利润款玩具的利润款玩具的利润计算即可； 根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，符合条件的的取值有几个就有几种进货方案； 根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【详解】（1）解：设购进款玩具个，购进款玩具个． 根据题意，得， 解得． 答：购进款玩具个，购进款玩具个． （2）解：①第二次购进款玩具个， 则， 关于的函数解析式为． 根据题意，得， 解得， 且为整数， 符合条件的的取值的个数为， 欣欣商场有种进货方案． ， 随的增大而增大， 且为整数， 当时值最大，最大， 个. 答：第二次购进款玩具个、款玩具个时这批玩具利润最大，最大利润是元． 【题101】 学校组织20名新团员观看爱国主义影片，甲、乙两种电影票价格如下表： 电影票 票价（元/场） 甲 80 乙 40 若总费用不超过1100元，并尽可能多地购买甲种电影票，购买两种电影票各多少张？ 【答案】购买甲种电影票7张，乙种电影票13张 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买甲种电影票x张，则乙种电影票张，根据题意列出不等式，正确理解题意，找到不等关系是解题的关键． 【详解】解：设购买甲种电影票x张，则乙种电影票张， 由题意得， 解得：， 为正整数， ， 答：购买甲种电影票7张，乙种电影票13张． 【题102】 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． (1)求两种型号垃圾桶的单价； (2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 【答案】(1)A，B两种型号的单价分别为60元和100元 (2)至少需购买A型垃圾桶125个 【分析】（1）设两种型号的单价分别为元和元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买A型垃圾桶个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种型号的单价分别为元和元， 由题意：， 解得：， ∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个， 由题意：， 解得：， ∴至少需购买A型垃圾桶125个． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键． 【题103】 合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元． (1)汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？ (2)每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润总租金总支出） 【答案】(1)70元 (2)3580元 【分析】（1）设每辆汽车的日租金为x元，根据“40辆汽车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论； （2）设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，分及两种情况考虑，当时，利用总利润=总租金-总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出w的最大值；当时，每天可租出辆，利用总利润=总租金-总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．再将两个最大值比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆汽车的日租金为x元， 依题意得：， 解得：， 又∵x为10的整数倍， ∴x的最小值为70． 答：每辆汽车的日租金至少为70元； （2）解：设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元． 当时，， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值（元）； 当时，每天可租出辆， ∴ ， ∵， ∴当m=180时，w取得最大值，最大值为3580． 又∵， ∴该汽车租赁公司一天总利润最多为3580元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）分及两种情况，找出w关于m的函数关系式． 【题104】 在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了加工同一种型号的医用防护服任务，已知甲服装厂每天加工的数量是乙服装厂每天加工数量的1.5倍，它们同时加工600套防护服，甲比乙少用5天． （1）求甲、乙两个服装厂每天各加工多少套这种防护服？ （2）已知甲、乙两个服装厂加工这种防护服每天的加工费分别是1500元和1200元，现有3000套这种防护服的加工任务，甲服装厂加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙服装厂单独完成，如果总加工费不超过78000元，那么甲服装厂至少加工了多少天？ 【答案】（1）甲服装厂每天加工60套防护服，乙服装厂每天加工40套防护服；（2）甲服装厂至少加工了40天 【分析】（1）设未知数，根据“甲比乙少用5天”列出分式方程，求解即可； （2）设未知数，根据“总加工费不超过78000元”列一元一次不等式，求解即可； 【详解】（1）设乙服装厂每天加工套这种防护服，则甲服装厂每天加工套这种防护服， 由题意得：，解得： 经检验是原方程的解 （套） 答：甲服装厂每天加工60套防护服，乙服装厂每天加工40套防护服． （2）设甲服装厂加工了天，则由题意得： 解得： 答：甲服装厂至少加工了40天． 【点睛】本题主要考查实际问题与分式方程、实际问题与一元一次不等式．求解分式方程时，要注意检验．求解一元一次不等式时，要注意不等式两边同时乘（或除以）一个负数，不等号要发生改变． 【题105】 为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？ 【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本． 【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解． 【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元， 依题意，得： ， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝18． 答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元； （2）设能购买“科普类”图书m本， 根据题意得：18m+15(100-m)≤1600， 解得：， ∵m为整数， ∴最多能购买“科普类”图书33本． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 【题106】 为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？ （2）设租用x辆乙种客车，租车总费用为w元，请写出w与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少5辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【答案】（1）老师有16名，学生有284名；租用客车总数为8辆；（2）w＝100x+2400；（3）共有3种租车方案：①租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；②租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；③租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 【分析】（1）设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数； （2）由租用x辆乙种客车，得甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出w＝400x+300（8﹣x）即可； （3）由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，且x≥5，得出x取值范围，分析得出即可． 【详解】解：（1）设老师有x名，学生有y名． 依题意，列方程组， 解得：， ∵每辆客车上至少要有2名老师， ∴汽车总数不能超过8辆； 又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆， 综合起来可知汽车总数为8辆； 答：老师有16名，学生有284名；租用客车总数为8辆． （2）∵租用x辆乙种客车， ∴甲种客车数为：（8﹣x）辆， ∴w＝400x+300（8﹣x）＝100x+2400． （3）∵租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少于5辆， ∴400x+300（8﹣x）≤3100，x≥5 解得：5≤x≤7， 为使300名师生都有座， ∴42x+30（8﹣x）≥300， 解得：x≥5， ∴5≤x≤7，（x为整数）， ∴共有3种租车方案： 方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元； 方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键． 【题107】 在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 【答案】(1)购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元 (2)20个 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购买一个“雪花形会徽徽章”需要x元，则一个“滨滨”需要元，根据“购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半”，进行列式，解出，注意验根，即可作答． （2）设购买雪花形会徽徽章m个，根据总费用不超过2700元进行列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购买一个雪花形会徽徽章需元，则一个吉祥物“滨滨”玩偶元． 根据题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解， ， 答：购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元； （2）解：设购买雪花形会徽徽章个．根据题意得， 解得， 答：最多购买雪花形会徽徽章20个． 【题108】 泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 【答案】(1)款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元 (2)应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式． （1）设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元，根据售货员的对话列出方程组，解方程组即可； （2）设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元，根据总费用，两款工艺品费用之和列出函数解析式，再根据购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，求出的取值范围，由函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元， 根据题意得：， 解得， 答：款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元， 根据题意得：， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为950， 此时，， 答：应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元． 【题109】 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元． (2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可； （2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 依题意得：，解得：． 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球， 购买篮球和足球的总费用 依题意得：， 解不等式①得：． 解不等式②得：． ∴m的取值范围为：， ∵购买篮球和足球的总费用，， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，最省钱， ∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【题110】 某市为弘扬中华优秀传统文化，提升知名度，准备举办大型灯笼会．某超市看准商机，分别花费320元购进了A，B两种类型的灯笼，购进A种类型灯笼的数量比B种类型灯笼多4个，且每个A种类型灯笼的成本比每个B种类型灯笼的成本少20%． (1)求A，B种类型的灯笼成本各多少元； (2)该超市计划购进两种灯笼共100个，且每个B种类型灯笼的售价为元，A种类型灯笼的售价为元．设购进B种类型灯笼a个，售卖这两种灯笼可获得的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的，则购进B种类型灯笼多少个时，销售这批灯笼可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A灯笼成本为每个元，B灯笼成本为每个元 (2)①w与a的函数关系式为；②购进A灯笼25个时，销售这批灯笼可以获得最大利润，最大利润为元 【分析】（1）等量关系式：320元购进B种类型灯笼的数量元购进A种类型灯笼的数量，据此列方程，检验合理性，即可求解； （2）①总利润A种类型灯笼的利润B种类型灯笼的利润，据此即可求解； ②可求，再由一次函数的增减性，从而可求的最值． 【详解】（1）解：设B灯笼成本为每个x元，则A灯笼成本为每个(元)， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， (元)， 答：A种类型灯笼成本为每个16元，B种类型灯笼成本为每个20元； （2）解：①设购进B种类型灯笼a个，则购买A种类型灯笼个， 则 ， 与a的函数关系式为； ②∵购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的， ， 解得， ，， 当时， （元）； 答：购进B种类型灯笼25个时，销售这批灯笼可以获得最大利润，得最大利润为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出相应的等量关系及不等关系，会根据一次函数的性质求解是解题的关键． 【题111】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少元，小芳用元钱购买钢笔的数量是小亮用元钱购买笔记本数量的倍． （1）求每支钢笔和每支笔记本的价格； （2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过元．请问至少要买多少支钢笔？ 【答案】（1）每支钢笔元，每本笔记本元；（2）至少要买支钢笔 【分析】（1）由题意可以列出分式方程求解； （2）可以根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】解：（1）设每支钢笔元，则每本笔记本元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意， ． 答：每支钢笔元，每本笔记本元． （2）设要买支钢笔，则要买本笔记本， 根据题意得：， 解得：． 答：至少要买支钢笔． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的综合运用，根据题中等量关系列出合适的方程和不等式是解题关键． 【题112】 某环卫公司承包了市区两个片区道路的清扫任务，需要购买某厂家A，B两种型号的马路清扫车，购买5辆A型马路清扫车和6辆B型马路清扫车共需171万元；购买3辆A型马路清扫车和12辆B型马路清扫车共需237万元． （1）求这两种马路清扫车的单价； （2）恰逢该厂举行30周年庆，决定对这两种马路清扫车开展促销活动，具体方案如下：购买A型马路清扫车按原价的八折销售，购买B型马上清扫车不超过10辆时按原价销售，超过10辆的部分按原价的七折销售．设购买x辆A种马路清扫车需要y1元，购买x（x＞0）个B型马路清扫车需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式； （3）若该公司承包的道路清扫面积为118000m2，每辆A型马路清扫车每天清扫5000m2，每辆B型马路清扫车每天清扫6000m2，公司准备购买20辆马路清扫车，且B型马路清扫车的数量大于10．请你帮该公司设计出最省钱的购买方案．请说明理由． 【答案】（1）A型马路清扫车的单价为15万元，B型马路清扫车的单价为16万元；（2）y1＝12x，当0＜x≤10时，y2＝16x；当x＞10时，y2＝11.2x+48；（3）该公司购买A型马路清扫车2辆，购买B型马路清扫车18辆时最省钱，最低费用为273.6万元． 【分析】(1)设A型马路清扫车的单价为a万元，B型马路清扫车的单价为b万元，根据“购买5辆A型马路清扫车和6辆B型马路清扫车共需171万元；购买3辆A型马路清扫车和12辆B型马路清扫车共需237万元”即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； (2)根据“A型马路清扫车按原价的八折销售，购买B型马上清扫车不超过10辆时按原价销售，超过10辆的部分按原价的七折销售”，即可得出y1、y2关于x的函数关系式； (3)设该公司购买B型马路清扫车m辆，则购买A型马路清扫车(20−m)辆，根据题意求出m的取值范围，即可解答． 【详解】（1）设A型马路清扫车的单价为a万元，B型马路清扫车的单价为b万元， 则由题意可知：，解得， 答：A型马路清扫车的单价为15万元，B型马路清扫车的单价为16万元； （2）由题意可知：y1＝0.8×15x，即y1＝12x， 当0＜x≤10时，y2＝16x； 当x＞10时，y2＝16×10+16（x﹣10）×0.7，即y2＝11.2x+48． ∴y2＝； （3）设该公司购买B型马路清扫车m辆，则购买A型马路清扫车（20﹣m）辆， 根据题意得，， 解得m≥18， ∵A型马路清扫车的单价比B型马路清扫车的单价便宜， ∴m＝18时，该公司最省钱，此时购买总费用为：15×0.8×（20﹣18）+16×10+16×0.7×（18﹣10）＝273.6（万元）． 即该公司购买A型马路清扫车2辆，购买B型马路清扫车18辆时最省钱，最低费用为273.6万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型． 【题113】 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 (2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． （2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 不等式 知识点1一元一次不等式的概念 含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式. 6. 解一元一次不等式的步骤 易错警示 1. 去分母、去括号、移项时的易错点 2. 系数化为 1 时, 系数是负数的, 不等号要改变方向. 步骤 具体做法 变形依据 去分母 不等式两边同乘各分母的最小公倍数 同乘正数，则依据不等式的性质 2;同乘负数，则依据不等式的性质 3 去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则 移项 把含有未知数的项移到不等式的一边, 常数项移到另一边 依据不等式的性质 1 合并同类项 把不等式化成 或 的形式 合并同类项法则 系数化为 1 不等式两边同除以未知数的系数, 得到不等式的解集 当未知数的系数为正数时, 依据不等式的性质 2 ;当未知数的系数为负数时, 依据不等式的性质 3 知识点2解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集 一般地, 几个一元一次不等式的解集的公共部分, 叫作由它们所组成的不等式组的解集. 3. 解一元一次不等式组的步骤 4. 一元一次不等式组解集的基本类型 类型 在数轴上的表示 解集 无解 个不等式组, 求出解集并在数轴上表示, 考查学生对不同不等式组解题方法的掌握程度. 方法总结 含参不等式组的解题步骤: (1)分别解出两个不等式； (2)根据已知条件(无解、有解、有特殊解) 确定以参数为未知数的不等式(组); (3)解该不等式(组) 即可. 助记口诀 同大取大， 同小取小， 大小小大取中间, 大大小小取不了. 考点一 解不等式 【题1】 （2025·安徽马鞍山·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题2】 （2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题3】 （2025·湖北襄阳·三模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【题4】 （2025·安徽马鞍山·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题5】 （2025·安徽安庆·三模）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【题6】 （2023·安徽蚌埠·三模）在数轴上表示不等式组的解集表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题7】 （2025·安徽芜湖·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题8】 （2025·安徽六安·三模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题9】 （2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题10】 （2024七年级下·全国·专题练习）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题11】 （2025·安徽宿州·模拟预测）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题12】 （2025·安徽·一模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题13】 （2025·安徽·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题14】 （2025·安徽安庆·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题15】 （2024·湖南长沙·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【题16】 （2025·安徽合肥·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题17】 （2024·安徽阜阳·三模）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． B．C． D． 【题18】 （2024·安徽合肥·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题19】 （2024·安徽合肥·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题20】 （2024·安徽·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题21】 （2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【题22】 （2024·安徽淮北·模拟预测）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题23】 （2024·安徽合肥·二模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题24】 （2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 【题25】 （2025·安徽六安·二模）解不等式：． 【题26】 （2025·安徽·二模）解不等式：． 【题27】 （2025·安徽合肥·三模）解不等式：． 【题28】 （2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 【题29】 （2025·安徽淮北·模拟预测）解不等式：． 【题30】 （2025·安徽合肥·三模）解不等式： 【题31】 （2025·安徽合肥·三模）解不等式：． 【题32】 （2025·安徽淮北·三模）解不等式． 【题33】 （2025·安徽蚌埠·二模）解不等式：． 【题34】 （2025·安徽合肥·二模）解不等式． 【题35】 （2025·安徽滁州·一模）解不等式：． 【题36】 （2024·安徽·三模）解不等式：． 【题37】 （2024·安徽蚌埠·三模）解不等式：． 【题38】 （2024·陕西西安·模拟预测）解不等式：． 【题39】 （2025·江苏扬州·二模）解不等式组，并求出整数解的和． 【题40】 （2025·安徽宿州·二模）解不等式组： 【题41】 （2025·安徽·一模）解不等式组： 【题42】 （2025·安徽宿州·模拟预测）解不等式组 【题43】 （2025·浙江丽水·二模）解不等式组 【题44】 （2025·安徽宿州·一模）解不等式组：． 【题45】 （2025·安徽淮南·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【题46】 （2025·安徽阜阳·二模）解不等式组：． 【题47】 （2025·安徽六安·模拟预测）解不等式组： 【题48】 （2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 【题49】 （2024·安徽滁州·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【题50】 （2024·安徽滁州·一模）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【题51】 （2024·安徽六安·一模）解不等式组： 【题52】 （2024·陕西西安·一模）解关于x的不等式组：． 考点二不等式的基本性质 【题53】 （2023·安徽宣城·二模）若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【题54】 （2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【题55】 （2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【题56】 （2025·安徽安庆·二模）已知实数满足，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．8 【题57】 （24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知非零实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题58】 （2025·安徽蚌埠·一模）已知，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题59】 （2025·安徽合肥·一模）已知a，b，c为非零实数，且满足，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题60】 （2025·安徽阜阳·三模）已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题61】 （2025·安徽池州·三模）已知实数满足，则以下判断正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【题62】 （2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题63】 （2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题64】 （2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题65】 （2025·安徽合肥·一模）已知实数 满足：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题66】 （2025·安徽·一模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题67】 （2024·安徽安庆·一模）已知为非零实数，且满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题68】 （2024·安徽·二模）已知三个实数a，b，c，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题69】 （2024·安徽亳州·三模）设为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题70】 （2022·安徽·模拟预测）已知非负实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题71】 （2023·安徽·模拟预测）已知，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题72】 （2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【题73】 （2025·安徽合肥·二模）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题74】 （2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【题75】 （2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题76】 （2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题77】 （2025·安徽合肥·一模）已知实数，满足：，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题78】 （2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题79】 （2024·安徽合肥·二模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题80】 （2024·安徽滁州·二模）已知实数a，b，c，其中且满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题81】 （2024·安徽·一模）实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题82】 （2023·安徽蚌埠·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若a，b互为相反数，则 B．若，，则 C． D．若，则 【题83】 （2023·安徽合肥·一模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．为定值 C． D． 【题84】 （2023·安徽·模拟预测）已知实数，满足，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【题85】 （2025·安徽淮北·三模）已知实数m，n满足，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题86】 （2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题87】 （2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 【题88】 （2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【题89】 （2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 知识点3实际问题与一元一次不等式中常见的关键词语 表示不等关系的关键词 不等号 大于、超过 不低于、至少 不大于、不超过 小于、少于 用二元一次方程组解决实际问题. 备考方法 新考法解读 代数推理是《2022 年版课标》新增内容. 培养学生的推理能力不仅要重视几何，也要重视代数和统计与概率. 本题以代数知识为背景, 经过逻辑推理求解数学问题, 要求学生具有较高的抽象思维能力和数学推理能力, 对学生思维的严谨性要求较高. 代数推理不仅有纯代数问题的推理, 还有从图形问题转化到代数问题的推理, 如几何中常考查用含字母的代数式表示线段长、面积、角度. 方法总结 1. 注意在设未知数和写答案时, 一定要写清单位, 列不等式时, 两边表示的量应该相 2. 列一元一次不等式解应用题的一般步骤 考点三不等式组的实际应用 【题90】 某体育馆计划同时购买一批篮球和排球，已知篮球进价元/个，排球进价元/个．该体育馆计划购买篮球和排球共个，购买经费不少于元且不超过元，该体育馆有哪几种进货方案？ 【题91】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表： 刹车时车速（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离（m） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 (1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； (2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由； (3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 【题92】 某咖啡店提供“到店自取”和“线上配送”两种模式，收费标准如下：到店自取20元/杯；线上配送24元/杯，配送费为6元/次．选择“线上配送”模式如果总费用达到58元及以上，可用平台“满58元立减18元”优惠券一次．小明一次性购买若干杯咖啡，发现“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，求小明一次性购买了多少杯咖啡？ 【题93】 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．投篮得分规则：在三分线外投篮，投中一球可得分，在三分线内（含三分线）投篮投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球）．所得总分不少于分，该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【题94】 为推进顺义区创建文明城区，某班开展“我爱顺义”主题知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的同学，班级准备从文具店一次性购买若干橡皮和笔记本（橡皮的单价相同，笔记本的单价相同）作为奖品．笔记本的单价比橡皮的单价多元，若购买块橡皮和本笔记本共需元． (1)橡皮和笔记本的单价各是多少元？ (2)班级需要购买橡皮和笔记本共件作奖品，购买的总费用不超过元，班级最多能购买多少本笔记本？ 【题95】 某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务． (1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？ (2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？ 【题96】 某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【题97】 某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元． (1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？ 【题98】 某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 【题99】 公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元． (1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表． 表一： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台 租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台 表二： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用甲种货车的费用/ 元 租用乙种货车的费用 / 元 (2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由． 【题100】 《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱欣欣商场进了、两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 进价（元/个） 售价（元/个） (1)第一次欣欣商场用元购进、两款玩具共个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共个若设购进款玩具个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为元， 写出关于的函数解析式；（不必写出的取值范围）； 若款玩具进货数量不超过款玩具进货数量的，则欣欣商场有多少种进货方案？（两种玩具都要购进） 在条件下，怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【题101】 学校组织20名新团员观看爱国主义影片，甲、乙两种电影票价格如下表： 电影票 票价（元/场） 甲 80 乙 40 若总费用不超过1100元，并尽可能多地购买甲种电影票，购买两种电影票各多少张？ 【题102】 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． (1)求两种型号垃圾桶的单价； (2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 【题103】 合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元． (1)汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？ (2)每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润总租金总支出） 【题104】 在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了加工同一种型号的医用防护服任务，已知甲服装厂每天加工的数量是乙服装厂每天加工数量的1.5倍，它们同时加工600套防护服，甲比乙少用5天． （1）求甲、乙两个服装厂每天各加工多少套这种防护服？ （2）已知甲、乙两个服装厂加工这种防护服每天的加工费分别是1500元和1200元，现有3000套这种防护服的加工任务，甲服装厂加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙服装厂单独完成，如果总加工费不超过78000元，那么甲服装厂至少加工了多少天？ 【题105】 为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？ 【题106】 为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？ （2）设租用x辆乙种客车，租车总费用为w元，请写出w与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少5辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【题107】 在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 【题108】 泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 【题109】 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【题110】 某市为弘扬中华优秀传统文化，提升知名度，准备举办大型灯笼会．某超市看准商机，分别花费320元购进了A，B两种类型的灯笼，购进A种类型灯笼的数量比B种类型灯笼多4个，且每个A种类型灯笼的成本比每个B种类型灯笼的成本少20%． (1)求A，B种类型的灯笼成本各多少元； (2)该超市计划购进两种灯笼共100个，且每个B种类型灯笼的售价为元，A种类型灯笼的售价为元．设购进B种类型灯笼a个，售卖这两种灯笼可获得的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的，则购进B种类型灯笼多少个时，销售这批灯笼可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【题111】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少元，小芳用元钱购买钢笔的数量是小亮用元钱购买笔记本数量的倍． （1）求每支钢笔和每支笔记本的价格； （2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过元．请问至少要买多少支钢笔？ 【题112】 某环卫公司承包了市区两个片区道路的清扫任务，需要购买某厂家A，B两种型号的马路清扫车，购买5辆A型马路清扫车和6辆B型马路清扫车共需171万元；购买3辆A型马路清扫车和12辆B型马路清扫车共需237万元． （1）求这两种马路清扫车的单价； （2）恰逢该厂举行30周年庆，决定对这两种马路清扫车开展促销活动，具体方案如下：购买A型马路清扫车按原价的八折销售，购买B型马上清扫车不超过10辆时按原价销售，超过10辆的部分按原价的七折销售．设购买x辆A种马路清扫车需要y1元，购买x（x＞0）个B型马路清扫车需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式； （3）若该公司承包的道路清扫面积为118000m2，每辆A型马路清扫车每天清扫5000m2，每辆B型马路清扫车每天清扫6000m2，公司准备购买20辆马路清扫车，且B型马路清扫车的数量大于10．请你帮该公司设计出最省钱的购买方案．请说明理由． 【题113】 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $