2026届安徽中考数学一轮复习考点全突破 第7讲分式方程

专题六 分式方程 知识点1分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 考法解读 直接解分式方程和解含参分式方程常在选填题中考查, ① 直接解分式方程通常先将分式方程化为一元一次方程, 再解这个方程,最后验根; ② 解含参分式方程设问通常是分式方程有增根或无解求参数. 考法解读 含参分式方程和一元一次不等式组的结合常在选填题中考查, 设问通常是求符合条件的参数 的特殊解. 2. 解分式方程的一般步骤 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程 (中考试题中化简后的整式方程多为一元一次方程), 具体做法是 “去分母”, 即方程两边乘最简公分母 (各分母的最小公倍数). 用流程图表示如下: 3. 分式方程的增根 使分式方程最简公分母为 0 的根称为分式方程的增根. 4. 分式方程无解和增根的区别 (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为 0 的根; (2)分式方程无解的原因有两个:一是去分母后的整式方程无解;二是整式方程的解使得最简公分母为 0 注:产生增根的原因:去分母时，未知数的取值范围扩大 考点一分式方程 1．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 2．如果关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A． B． C．2 D． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮北·二模）解方程，的值为（    ） A． B．1 C． D． 5．（2024·安徽·一模）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ） A．0 B． C． D．8 6．（2022·安徽·模拟预测）若分式和的值互为相反数，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D． 7．（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 8．（2025·天津红桥·二模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北·二模）方程的解是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽淮南·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽·一模）方程的解为（　　） A． B． C．1 D． 12．（23-24八年级上·广西柳州·期末）若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． 且 D． 且 13．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． 且 B． C． 且 D． 14．（22-23八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 15．（2025·安徽六安·三模）分式方程的解是 ． 16．（2025·安徽合肥·三模）分式方程的解是 ． 17．（2025·安徽淮北·三模）分式方程的解是x= ． 18．（2025·安徽宿州·模拟预测）方程的解是 ． 19．（2023·内蒙古包头·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 20．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 21．（2023·海南海口·模拟预测）若代数式和的值互为相反数，则x等于（    ） A．1 B． C．2 D． 22．（2025·安徽淮南·模拟预测）若，则 ． 23．（2025·安徽安庆·一模）方程的根是 ． 考点二解分式方程 24．（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 25．（2025·安徽蚌埠·二模）解方程：． 26．（2025·安徽芜湖·二模）解方程：． 27．（2025·安徽阜阳·二模）解方程：． 28．（2024·安徽芜湖·一模）求方程的解． 29．（2023·安徽·模拟预测）解方程：． 30．（2023·安徽·模拟预测）解方程：． 31．（2023·安徽合肥·三模）解方程： 32．（2023·安徽合肥·模拟预测）解方程：． 33．（2023·安徽合肥·一模）解方程： 34．（2022·广西玉林·中考真题）解方程：． 35．（2023·安徽亳州·二模）解分式方程：． 36．（2023·安徽宣城·模拟预测）解方程：． 知识点2分式方程中含参问题的解题步骤 第一步:用含参数的代数式表示出分式方程的解; 第二步:根据解的情况得到 的值； 第三步:求出参数的值,注意分式方程的分母不为 0 . 考法解读 ①常在选填题中考查由实际问题列分式方程； ②在解答题中考查由实际问题列分式方程求解或结合其他方程与不等式考查. 考点三分式方程的实际应用 37．（2025·四川广安·二模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 39．（2025·安徽蚌埠·三模）某班同学到距离学校的活动基地开展团建活动．部分同学骑自行车先行，其余同学在半小时后乘公交车，结果他们同时到达．已知公交车的速度是自行车速度的4倍，设自行车的速度为，根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 40．（2025·江苏扬州·二模）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，求该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ 41．（2025·安徽池州·三模）某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划提高，这样就可提前天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完此乡镇的水稻收割任务？ 42．（2025·安徽蚌埠·三模）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”．某电商平台销售，两种型号的“已升升”吉祥物，已知每个型吉祥物比型吉祥物的售价贵20元，花费2800元购买的型吉祥物数量比花费4000元购买的型吉祥物数量少5个，且每个型吉祥物的售价低于100元．求每个，型吉祥物的售价分别为多少元． 43．（2025·安徽宣城·三模）某超市开展端午节促销活动，将某品牌粽子降价出售，用元购买该品牌粽子，比促销前多买了盒．求促销前该品牌粽子每盒的价格． 44．（2025·安徽淮北·三模）在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条千米长的乡村公路．甲工程队每月比乙工程队能多完成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多．已知这两个工程队单独完成这项工程所需经费相同．求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间． 45．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 46．（2025·安徽滁州·二模）用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 47．（2025·安徽安庆·三模）某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A，B两类笔记本，A类笔记本比B类笔记本每本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求A，B两类笔记本的单价． 48．（2025·安徽阜阳·三模）随着人工智能的飞速发展，机器人的功能越来越强大．某公司为了扩大生产，决定购买甲、乙两种不同型号的机器人若干台．已知用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同，且甲型机器人的单价比乙型机器人的单价多2万元，求甲、乙两种机器人的单价各是多少万元？ 49．（2025·安徽六安·三模）为进一步推进美丽乡村建设，某县准备改造一条通往长江的河道，甲、乙两个工程队合作完成共需3个月，如果甲、乙两个工程队单独完成，那么乙工程队所需时间比甲工程队多，求甲工程队单独完成这个项目所需要的时间． 50．（2025·安徽宿州·一模）某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价出售，李叔叔本周用120元购买这种农产品，比上周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为元． (1)根据上面提供的信息，请完成下列表格． 时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克 上周 本周 (2)与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？ 51．（2025·安徽·一模）长丰县是合肥市重要的蔬果产地，长丰草莓具有果肉细膩、汁多味甜、富含维生素C等特点，深受顾客的喜爱．春节期间，种植户将种植的草莓制成礼盒销售，已知每盒甲种草莓比每盒乙种草莓贵15元，用270元购买乙种草莓的盒数是甲种草莓盒数的1.5倍．求每盒甲种草莓、乙种草莓各是多少元． 52．（2025·安徽阜阳·二模）为切实落实初中信息技术新课程标准，某校准备购买两种型号的配套器材．已知型器材的单价比型器材的单价多500元，用8000元购买型器材和用6000元购买型器材的数量相同．求两种型号器材的单价． 53．（2025·四川成都·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 54．（2025·山西太原·一模）2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 55．（2025·安徽池州·二模）去年全国粮食产量再创新高，为推进乡村振兴奠定了坚实基础．某粮食生产专业户原计划生产水稻吨和小麦吨，但实际水稻超产，小麦超产，该专业户去年水稻种植面积是小麦种植面积的倍，且水稻亩产量比小麦多千克，求水稻种植面积是多少亩？ 56．（2025·安徽·模拟预测）“碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．”春暖花开的时候，某商铺打算购进甲、乙两种纪念品对游客销售．已知元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，并且甲种纪念品的进价比乙种纪念品的进价每件多元，求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？ 57．（2025·安徽马鞍山·一模）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 58．（2024·安徽蚌埠·二模）某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独完成此项工程的天数． 59．（2023·安徽合肥·二模）科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，革新技术实现产值三连增．第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的月平均增长率． 60．（2022·安徽合肥·二模）已知某商品的进价为每件元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表： 第x天 日销售单价（元/千克） 日销售量（千克） (1)第几天该商品的销售单价是元？ (2)在这天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 61．（2025·河南平顶山·三模）开学季到来的时候，某文具店在今年月份购进了数量相同的，两种品牌的钢笔，其中品牌钢笔花费元，品牌钢笔花费元．已知品牌钢笔的单价比品牌钢笔单价少元，那么品牌钢笔的单价为多少元？设品牌钢笔的单价为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 分式方程 知识点1分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 考法解读 直接解分式方程和解含参分式方程常在选填题中考查, ① 直接解分式方程通常先将分式方程化为一元一次方程, 再解这个方程,最后验根; ② 解含参分式方程设问通常是分式方程有增根或无解求参数. 考法解读 含参分式方程和一元一次不等式组的结合常在选填题中考查, 设问通常是求符合条件的参数 的特殊解. 2. 解分式方程的一般步骤 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程 (中考试题中化简后的整式方程多为一元一次方程), 具体做法是 “去分母”, 即方程两边乘最简公分母 (各分母的最小公倍数). 用流程图表示如下: 3. 分式方程的增根 使分式方程最简公分母为 0 的根称为分式方程的增根. 4. 分式方程无解和增根的区别 (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为 0 的根; (2)分式方程无解的原因有两个:一是去分母后的整式方程无解;二是整式方程的解使得最简公分母为 0 注:产生增根的原因:去分母时，未知数的取值范围扩大 考点一分式方程 1．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】解：， 方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选：C． 2．如果关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】 解：去分母得： 解得． 当分母，即时方程无解， ． 时方程无解． 故选∶ A． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：C 4．（2024·安徽淮北·二模）解方程，的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程两边同时乘以，变形为整式方程，求解，最后检验即可． 【详解】解： 经检验，是原方程的解， 故选：C． 5．（2024·安徽·一模）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ） A．0 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，解题的关键是正确解和，由不等式组有且仅有4个整数解和分式方程解是非负整数确定a的值． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的4个整数解为4，3，2，1， ， ， 解分式方程，得， 为非负整数， 且， 分式的解是非负整数， 可取， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 所有满足条件的只有， 所有整数a的值之积是， 故选：C． 6．（2022·安徽·模拟预测）若分式和的值互为相反数，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】解分式方程即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得： 经检验：是方程的解 故选：D 【点睛】本题考查了相反数的应用、分式方程的求解．根据题意列出分式方程是解题关键． 7．（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】 解：去分母得：， 解得：， ∵方程的解是负数， 且， 解得：， 故选：C． 8．（2025·天津红桥·二模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故选：． 9．（2025·湖北·二模）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程．根据题意方程两边同时乘以最简公分母，再移项合并同类项计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 即：， 检验：当时，原分式方程有解， ∴时分式方程的根， 故选：A． 10．（2025·安徽淮南·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤进行即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 经检验得是原方程的解； 故选：D ． 11．（2025·安徽·一模）方程的解为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，先去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后验根即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， ，解得， 经检验，当时，， 是原分式方程的解， 故选：D． 12．（23-24八年级上·广西柳州·期末）若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． 且 D． 且 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况即可求出 取值范围 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 故选：D 13．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． 且 B． C． 且 D． 【答案】D 【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得是解题的关键． 【详解】解： 两边同时乘上，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵原分式方程的解为负数， ∴， 解得： 故选：D． 14．（22-23八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】3或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和产生了增根两种情况分别进行求解即可． 【详解】解： 解：去分母得：， 整理得，， ①当时，整式方程无解， 解得，，此时原分式方程无解； ②由，时，解得是增根， 把代入得， ， 整理得，， 解得， 经检验是的根， ∴的解是， 当时，关于x的分式方程无解， 即m的值为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 15．（2025·安徽六安·三模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 故答案为： 16．（2025·安徽合肥·三模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，得，再验根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：． 17．（2025·安徽淮北·三模）分式方程的解是x= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 18．（2025·安徽宿州·模拟预测）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵， 去分母得：， 解得：； 检验：把代入； ∴原方程的解为：； 故答案为：． 19．（2023·内蒙古包头·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据解为正数，求出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故答案为：且． 20．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 21．（2023·海南海口·模拟预测）若代数式和的值互为相反数，则x等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，分式方程的求解，根据相反数定义列式，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】解：代数式和的值互为相反数， ， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的解， 故选：B． 22．（2025·安徽淮南·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 23．（2025·安徽安庆·一模）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，注意分母不为0，即可作答． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：． 考点二解分式方程 24．（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解： 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， 故原方程的解为：． 25．（2025·安徽蚌埠·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，先整理原式得，再化为整式方程，解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：原方程可化为 整理得，， 解得，， 经检验符合题意， 原方程的解为． 26．（2025·安徽芜湖·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 当时，， ∴是原方程的解． 27．（2025·安徽阜阳·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 28．（2024·安徽芜湖·一模）求方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 29．（2023·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟记方程的解法是解题关键．需注意的是，求出解后一定要代入分式方程进行检验． 将分式方程转化为整式方程，然后计算求解，注意结果要进行检验． 【详解】解： 整理，可得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的根． 原分式方程的解是． 30．（2023·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 去括号、移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 31．（2023·安徽合肥·三模）解方程： 【答案】 【分析】首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，然后检验即可． 【详解】解：方程两边都乘，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 检验：当时， ∴是该分式方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键． 32．（2023·安徽合肥·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】按解分式方程的步骤解方程，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤是解决本题的关键． 33．（2023·安徽合肥·一模）解方程： 【答案】 【分析】根据解分式方程的解法：先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】去分母，得：， 去括号，得， 整理，得， 解得， 将代入， ∴是原方程的解． 【点睛】此题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 34．（2022·广西玉林·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】两边同时乘以公分母，先去分母化为整式方程，计算出x，然后检验分母不为0，即可求解． 【详解】， ， 解得， 经检验是原方程的解， 故原方程的解为： 【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程要检验． 35．（2023·安徽亳州·二模）解分式方程：． 【答案】 【分析】首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，然后检验即可． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当时，， ∴是该分式方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键． 36．（2023·安徽宣城·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 知识点2分式方程中含参问题的解题步骤 第一步:用含参数的代数式表示出分式方程的解; 第二步:根据解的情况得到 的值； 第三步:求出参数的值,注意分式方程的分母不为 0 . 考法解读 ①常在选填题中考查由实际问题列分式方程； ②在解答题中考查由实际问题列分式方程求解或结合其他方程与不等式考查. 考点三分式方程的实际应用 37．（2025·四川广安·二模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得： 故答案为：A． 38．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题目中给出的两款扫地机器人的清扫性能关系，列出关于甲款和乙款扫地机器人清扫效率的方程即可． 本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 39．（2025·安徽蚌埠·三模）某班同学到距离学校的活动基地开展团建活动．部分同学骑自行车先行，其余同学在半小时后乘公交车，结果他们同时到达．已知公交车的速度是自行车速度的4倍，设自行车的速度为，根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设自行车的速度为，则公交车的速度是，根据乘公交车的同学的乘车时间加上半小时等于骑自行车的同学的骑车时间，列出方程即可． 【详解】解：由题意可知，公交车的速度是，根据乘公交车的同学的乘车时间加上半小时等于骑自行车的同学的骑车时间，得： ， 故选：B． 40．（2025·江苏扬州·二模）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，求该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ 【答案】该商场节后每千克粽子的进价是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设该商场节后每千克粽子的进价是元，根据“节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同”，列分式方程并检验即可． 【详解】解：设该商场节后每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：该商场节后每千克粽子的进价是元． 41．（2025·安徽池州·三模）某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划提高，这样就可提前天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完此乡镇的水稻收割任务？ 【答案】仍可比计划提前13天完成此项工程 【分析】本题主要考查了运用分式方程解决实际问题，设原计划天完成该项任务，则一天完成的任务是，因为每天的工作效率能比原计划提高，所以每天的实际工作效率是，可以列出分式方程：，解方程求出原计划用天完成工作，再根据实际工作效率只比计划提高了，计算出实际少用的天数． 【详解】解：设原计划天完成该项任务， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， （天）， 答：仍可比计划提前天完成此项工程． 42．（2025·安徽蚌埠·三模）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”．某电商平台销售，两种型号的“已升升”吉祥物，已知每个型吉祥物比型吉祥物的售价贵20元，花费2800元购买的型吉祥物数量比花费4000元购买的型吉祥物数量少5个，且每个型吉祥物的售价低于100元．求每个，型吉祥物的售价分别为多少元． 【答案】每个型吉祥物的售价为80元，每个型吉祥物的售价为100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设每个型吉祥物的售价为元，则每个型吉祥物的售价为元．根据花费2800元购买的型吉祥物数量比花费4000元购买的型吉祥物数量少5个，再建立分式方程求解即可. 【详解】解：设每个型吉祥物的售价为元，则每个型吉祥物的售价为元． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ． 答：每个型吉祥物的售价为80元，每个型吉祥物的售价为100元． 43．（2025·安徽宣城·三模）某超市开展端午节促销活动，将某品牌粽子降价出售，用元购买该品牌粽子，比促销前多买了盒．求促销前该品牌粽子每盒的价格． 【答案】促销前该品牌粽子每盒的价格为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设促销前该品牌粽子每盒的价格为元，由题意，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设促销前该品牌粽子每盒的价格为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：促销前该品牌粽子每盒的价格为元． 44．（2025·安徽淮北·三模）在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条千米长的乡村公路．甲工程队每月比乙工程队能多完成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多．已知这两个工程队单独完成这项工程所需经费相同．求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间． 【答案】3个月 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程求解． 先设甲工程队每月修建千米，可用表示出乙工程队的修建速度、甲单独完成该项工程量、乙单独完成该项工程量，再乙工程队每月需要经费为，用表示出甲工程队每月需要的经费，列出分式方程求解． 【详解】解：设甲工程队每月修建千米，则乙工程队每月能修建（）千米，甲单独完成该项工程量为千米，乙单独完成该项工程量为千米．设乙工程队每月需要经费为，则甲工程队每月需要的经费为 由题意得，，解得． 经检验，是原方程的根，（月）． 答：甲工程队单独修建这条公路需要3个月． 45．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【答案】规定时间为8天 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得，经检验是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 46．（2025·安徽滁州·二模）用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 【答案】蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 【分析】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍．根据前后的浓度关系列出方程求解即可，注意检验． 【详解】解：设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍． 依题意，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解 答：蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 47．（2025·安徽安庆·三模）某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A，B两类笔记本，A类笔记本比B类笔记本每本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求A，B两类笔记本的单价． 【答案】A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A类笔记本的单价是x元，则B类笔记本的单价是元，根据用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设A类笔记本的单价是x元，则B类笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元． 48．（2025·安徽阜阳·三模）随着人工智能的飞速发展，机器人的功能越来越强大．某公司为了扩大生产，决定购买甲、乙两种不同型号的机器人若干台．已知用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同，且甲型机器人的单价比乙型机器人的单价多2万元，求甲、乙两种机器人的单价各是多少万元？ 【答案】甲型机器人的单价是10万元，乙型机器人的单价是8万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出分式方程是解题的关键． 设甲型机器人的单价是x万元，则乙型机器人的单价是万元．根据用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲型机器人的单价是x万元，则乙型机器人的单价是万元． 根据题意，得． 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲型机器人的单价是10万元，乙型机器人的单价是8万元． 49．（2025·安徽六安·三模）为进一步推进美丽乡村建设，某县准备改造一条通往长江的河道，甲、乙两个工程队合作完成共需3个月，如果甲、乙两个工程队单独完成，那么乙工程队所需时间比甲工程队多，求甲工程队单独完成这个项目所需要的时间． 【答案】甲工程队单独完成这个项目需要5个月 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设甲工程队单独完成这个项目需要个月，将整个工程看作单位1，根据甲、乙两个工程队合作完成共需3个月，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲工程队单独完成这个项目需要个月． 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队单独完成这个项目需要5个月． 50．（2025·安徽宿州·一模）某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价出售，李叔叔本周用120元购买这种农产品，比上周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为元． (1)根据上面提供的信息，请完成下列表格． 时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克 上周 本周 (2)与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)每千克便宜了1元 【分析】（1）由本周与上周该农产品单价间的关系可得出本周这种农产品的单价为元//千克，利用数量=总价÷单价，可得出上周和本周购买这种农产品的数量； （2）由(1)的结论结合本周比上周多买了6千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，即可求出结论． 【详解】（1）解：补充表格如下． 时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克 上周 本周 （2）由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，（元）， ∴与上周相比，这种农产品每千克便宜了1元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量及找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 51．（2025·安徽·一模）长丰县是合肥市重要的蔬果产地，长丰草莓具有果肉细膩、汁多味甜、富含维生素C等特点，深受顾客的喜爱．春节期间，种植户将种植的草莓制成礼盒销售，已知每盒甲种草莓比每盒乙种草莓贵15元，用270元购买乙种草莓的盒数是甲种草莓盒数的1.5倍．求每盒甲种草莓、乙种草莓各是多少元． 【答案】每盒甲种草莓45元，每盒乙种草莓30元 【分析】本题考查了分式方程解实际问题的应用．设每盒乙种草莓元，则每盒甲种草莓元，根据“用270元购买乙种草莓的盒数是甲种草莓盒数的1.5倍”列方程求解． 【详解】解：设每盒乙种草莓元，则每盒甲种草莓元． 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每盒甲种草莓45元，每盒乙种草莓30元． 52．（2025·安徽阜阳·二模）为切实落实初中信息技术新课程标准，某校准备购买两种型号的配套器材．已知型器材的单价比型器材的单价多500元，用8000元购买型器材和用6000元购买型器材的数量相同．求两种型号器材的单价． 【答案】型器材的单价为2000元，型器材的单价为1500元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设型器材的单价为元，则型器材的单价为元．根据题意列出关于x的分式方程，解分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设型器材的单价为元，则型器材的单价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：型器材的单价为2000元，型器材的单价为1500元． 53．（2025·四川成都·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)小时，小时 (2)小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； （2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 54．（2025·山西太原·一模）2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 【答案】弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个 【分析】此题考查了分式方程的应用，设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 由题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的解． 当时， ； 答：弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个． 55．（2025·安徽池州·二模）去年全国粮食产量再创新高，为推进乡村振兴奠定了坚实基础．某粮食生产专业户原计划生产水稻吨和小麦吨，但实际水稻超产，小麦超产，该专业户去年水稻种植面积是小麦种植面积的倍，且水稻亩产量比小麦多千克，求水稻种植面积是多少亩？ 【答案】水稻种植面积是亩 【分析】本题考查实际问题抽象出分式方程，先计算出该专业户去年实际生产水稻吨， 生产小麦吨，设水稻种植面积是亩，则小麦种植面积为亩，再根据“水稻亩产量比小麦多千克”列出分式方程求解即可．解题的关键是分析题意找出相等关系． 【详解】解：该专业户去年实际生产水稻：（吨）， 生产小麦：（吨）， 设水稻种植面积是亩，则小麦种植面积为亩， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：水稻种植面积是亩． 56．（2025·安徽·模拟预测）“碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．”春暖花开的时候，某商铺打算购进甲、乙两种纪念品对游客销售．已知元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，并且甲种纪念品的进价比乙种纪念品的进价每件多元，求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？ 【答案】甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元，根据元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，可列关于的分式方程，解分式方程要注意检验． 【详解】解：设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的根，且符合题意， ， 答：甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元． 57．（2025·安徽马鞍山·一模）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 【答案】“致远号”的行驶速度为米/秒 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“致远号”的行驶速度为米/秒． 58．（2024·安徽蚌埠·二模）某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独完成此项工程的天数． 【答案】乙队单独完成此项工程需要20天 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设乙队单独完成此项工程需要天，根据工作总量等于各劳动分量之和，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵甲队单独施工 10天完成 后， ∴甲队单独施工需要30天， 设乙队单独完成此项工程需要天，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解； 答：乙队单独完成此项工程需要20天． 59．（2023·安徽合肥·二模）科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，革新技术实现产值三连增．第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的月平均增长率． 【答案】 【分析】设一月至三月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 【详解】设一月至三月的月平均增长率为x，根据题意，得， 整理，得， 解得， 解得（舍去）， 故一月至三月的月平均增长率． 【点睛】本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 60．（2022·安徽合肥·二模）已知某商品的进价为每件元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表： 第x天 日销售单价（元/千克） 日销售量（千克） (1)第几天该商品的销售单价是元？ (2)在这天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)第天或天该商品的销售单价是元 (2)在这天中，第天获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据该商品的销售单价是元，可求出x的值，此题得解； （2）设每天获得的利润为y元，分及两种情况找出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及反比例函数的性质，可求出当及时y的最大值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第天或天该商品的销售单价是元； （2）设每天获得的利润为y元， 当时，， 即， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为； 当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值， ∵， ∴在这天中，第天获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及反比例的应用，分及两种情况，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 61．（2025·河南平顶山·三模）开学季到来的时候，某文具店在今年月份购进了数量相同的，两种品牌的钢笔，其中品牌钢笔花费元，品牌钢笔花费元．已知品牌钢笔的单价比品牌钢笔单价少元，那么品牌钢笔的单价为多少元？设品牌钢笔的单价为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键． 根据“某文具店在今年月份购进了数量相同的，两种品牌的钢笔”，列出分式方程即可． 【详解】解：依题意得：， 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题大 分式方程 知识点2分式方程中含参问 题的解题步骤 知识点分式方程的概念 分式方程 考点三分式方程的实际应用 考点二解分式方程 知识梳理 知识点1分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫作分式方程」 考法解读 直接解分式方程和解含参分式方程常在选填题中考查，①直接解分式方程通常 先将分式方程化为一元一次方程，再解这个方程，最后验根；②解含参分式方程 设问通常是分式方程有增根或无解求参数， 考法解读 含参分式方程和一元一次不等式组的结合常在选填题中考查，设问通常是求符合 条件的参数a的特殊解。 2.解分式方程的一般步骤 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程（中考试题中化简后的整式 方程多为一元一次方程)，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母（各 分母的最小公倍数).用流程图表示如下： 试卷第1页，共13页 最简公分 母还0，x=a是原分式方程的解 rta 检骏验代人最简 解整式 最简公分 分式 去分母 整式方程 公分母 母为0 x=a是分式方程的增根， 方程乘最简公分母方程 分式方程无解 整式方程无解，则原分式方程无解 3.分式方程的增根 使分式方程最简公分母为0的根称为分式方程的增根 4.分式方程无解和增根的区别 (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根； (②)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解 使得最简公分母为0 注：产生增根的原因：去分母时，未知数的取值范围扩大 高分必 考点一分式方程 1.(2025交敏宣城一模)若关于x的分式方程号+是=1有增根，则m的值为(） A.1 B.-1 C.3 D.-3 2.如果关于x的分式方程子=2+品无解，则a的值为（) A.-4 B.月 C.2 D.-2 3.(2024安徽六安模拟预测)若代数式和3的值相等，则x的值为() +1 A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.X=-2 4.(2024安徽准北二模)解方程告=己x的值为《) 试卷第2页，共13页 A.-1 B.1 C.-3 D.-2 5.(2024安徽一模)若关于x的一元一次不等式组{ 3x-1<x+2 2 有且仅有4个整数解，且关于y的分 5x-3≥a-2x 式方程，+=1的解是非负整数，则满足条件的所有整数α的值之积为() A.0 B.-8 C.-16 D.8 6.(202安微模拟预测)若分式，号和27的值互为相反数，则x的值为（) A.3 B.7 C.-4 D.-8 7.(2025安徽蚌埠三模)若关于x的分式方程二=2的解是负数，则a的取值范围是() A.a>-1 B.a>-1且a≠1C.a<-1 D.a≤-1 8.(2025天津红桥二模)分式方程，22+3=的解为（) 2-X A.X=-4 B.X=月 C.x= D.X=6 ).(2025湖北二模)方程，品-云=0的解是（) A.X=2 B.X=-2 C.x=1 D.X=-1 10.(2025安微准南二模)分式方程-芸=1的解是() A.X=0 B.x= C.X=-1 D.X=1 11.(2025安徽一模)方程，3=1的解为() 1-2x A.月 B.-月 C.1 D.-1 12.(23-24八年级上广西柳州期末)若关于x的方程，-2=的解为正数，则m的取值范围是（) A.m>-子B.m<等 C.m>-且m≠0D.m<粗m≠号 13.(2024黑龙江齐齐哈尔二模)若关于x的分式方程名+1=巴的解为负数，则m的取值范围是（） A.m<-1且m≠-2 B.m<-1 C.m>1且m≠-2D.m>1 14.(22-23八年级上·重庆九龙坡阶段练习)若关于x的分式方程3x-”=1无解，则m的值为 mx-2 15.(2025安徽六安三模)分式方程，3=-1的解是x=一 16.(2025安徽合肥三模)分式方程5=-1的解是x= “X-3 17.(2025安徽淮北三模)分式方程1=3的解是= Γx+4x+2 试卷第3页，共13页 18.(2025安徽宿州模拟预测)方程+=0的解是 19.(2023内蒙古包头一模)已知关于x的分式方程”-名=1的解是正数，则m的取值范围是一· x-1 20.(2024安徽模拟预测)关于x的方程”-3=产的解为非负数，则m的取值范围是一 21.(2023海南海口模拟预测)若代数式2和的值互为相反数，则x等于（) A.1 B. C.2 D. 2.(2025安微准南模拟预测)若品品=0，则x 23.(2025安徽安庆一模)方程16=0的根是」 4-x 高分必 考点二解分式方程 24.(2025安徽模拟预测)解方程：÷-2=品 25,(2025安微蚌埠二模)解方程：会格=吕 26.(2025安徽芜湖二模)解方程：3-0. 27.(2025安徽阜阳二模)解方程：= 试卷第4页，共13页 28.(2024安徽芜湖一模)求方程x+1=4的解. 1-x 29.(2023安徽模拟预测)解方程：号-2=4. 30.(2023安徽模拟预测)解方程：点-二=点 31.(2023安微合肥三模)解方程：a09-2 32.(2023安徽合肥模拟预测)解方程：=2 33.(2023安徽合肥一模)解方程：产=1-1 34.(2022广西玉林申考真题)解方程：六-号品 试卷第5页，共13页 35.(2023安徽毫州二模)解分式方程：二32= 36.(2023安徽宣城模拟预测)解方程：是三+品=专 知识梳理 知识点2分式方程中含参问题的解题步骤 第一步：用含参数的代数式表示出分式方程的解； 第二步：根据解的情况得到x的值； 第三步：求出参数的值，注意分式方程的分母不为0. 考法解读 ①常在选填题中考查由实际问题列分式方程； ②在解答题中考查由实际问题列分式方程求解或结合其他方程与不等式考查 高分必刷 考点三分式方程的实际应用 37.(2025·四川广安·二模)某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点 1400m和900m的两地同时出发，参加活动.甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min 试卷第6页，共13页 到达活动地点.若设乙同学的速度是xm/min,则下列方程正确的是() A.1400-900=7 B.90-1400=7 1.1x 1.1x c.地=7 D.地-=7 38.(2025·安徽淮北·三模)在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能.乙 款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多50%，甲款扫地机器人清扫10m2所用的时间比乙款扫 地机器人多4mim.若设甲款扫地机器人每分钟清扫xm2,根据题意可列方程为 39.(2025·安徽蚌埠·三模)某班同学到距离学校9m的活动基地开展团建活动.部分同学骑自行车先行， 其余同学在半小时后乘公交车，结果他们同时到达.已知公交车的速度是自行车速度的4倍，设自行车的 速度为xkam/h,根据题意可列出方程为() A.-0.5=是 B.05+= C.30+9=9 4x x D.是-30=9 40.(2025江苏扬州·二模)端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场预测今年端午节期间A 粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后 用200元购进的数量相同.根据以上信息，求该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ 41.(2025·安徽池州·三模)某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划 提高30%，这样就可提前15天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了 25%,那么仍可比计划提前几天完此乡镇的水稻收割任务？ 试卷第7页，共13页 42.(2025·安徽蚌埠三模)2025年春节联欢晚会吉祥物“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造 型参考甲骨文中的“已”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”.某电商平台 销售A,B两种型号的“已升升”吉祥物，已知每个B型吉祥物比A型吉祥物的售价贵20元，花费2800元购买 的A型吉祥物数量比花费4000元购买的B型吉祥物数量少5个，且每个A型吉祥物的售价低于100元.求每 个A,B型吉祥物的售价分别为多少元. 43.(2025·安徽宣城·三模)某超市开展端午节促销活动，将某品牌粽子降价20%出售，用1200元购买该 品牌粽子，比促销前多买了6盒.求促销前该品牌粽子每盒的价格. 44.(2025·安徽准北·三模)在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条36千米长的乡村公路.甲工程队 每月比乙工程队能多完成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多20%.已知这两个工程队单独 完成这项工程所需经费相同.求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间. 45.(2025·安徽合肥·三模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份 文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3 天，己知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 试卷第8页，共13页 46.(2025·安徽滁州·二模)用蒸发的方法可以提高溶液的浓度.某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐 水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 47.(2025·安徽安庆·三模)某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A,B两类笔记本，A类 笔记本比B类笔记本每本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求 A,B两类笔记本的单价， 48.(2025·安徽阜阳·三模)随着人工智能的飞速发展，机器人的功能越来越强大.某公司为了扩大生产， 决定购买甲、乙两种不同型号的机器人若干台.已知用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙 型机器人的台数相同，且甲型机器人的单价比乙型机器人的单价多2万元，求甲、乙两种机器人的单价各 是多少万元？ 49.(2025·安徽六安·三模)为进一步推进美丽乡村建设，某县准备改造一条通往长江的河道，甲、乙两个 工程队合作完成共需3个月，如果甲、乙两个工程队单独完成，那么乙工程队所需时间比甲工程队多50%， 求甲工程队单独完成这个项目所需要的时间， 试卷第9页，共13页 50.(2025·安徽宿州一模)某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价20%出售，李叔叔本周用120元 购买这种农产品，比上周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为x元. (1)根据上面提供的信息，请完成下列表格 时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克 上周 本周 (2)与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？ 51.(2025·安徽一模)长丰县是合肥市重要的蔬果产地，长丰草莓具有果肉细膩、汁多味甜、富含维生素 C等特点，深受顾客的喜爱.春节期间，种植户将种植的草莓制成礼盒销售，己知每盒甲种草莓比每盒乙 种草莓贵15元，用270元购买乙种草莓的盒数是甲种草莓盒数的1.5倍.求每盒甲种草莓、乙种草莓各是 多少元. 52.（(2025安徽阜阳·二模)为切实落实初中信息技术新课程标准，某校准备购买A,B两种型号的配套器材.已 知A型器材的单价比B型器材的单价多500元，用8000元购买A型器材和用6000元购买B型器材的数量相 同.求A,B两种型号器材的单价. 试卷第10页，共13页