2026届安徽中考数学一轮复习考点全突破 第6讲一次方程（组）

专题六一次方程（组） 知识点1等式的概念 用等号“ ”来表示相等关系的式子叫作等式. 知识拓展 1.对称性:等式左、右两边互换,所得结果仍是等式. 即如果 ,那么 ; 2.传递性:如果 , ,那么 (也叫等量代换). 知识点2等式的性质 (1)性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等. 即:如果 ,那么 . (应用于解方程中的移项) (2)性质 2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 即:如果 ,那么 ; (应用于解方程中的去分母) 如果 ,那么 . (应用于解方程中的系数化为 1) 考点一等式的基本性质 1．（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行解答即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 故选：． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，把两个已知条件式相加推出，则当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值，根据a、b、c都是正整数，可确定a的最小值为1，a的最大值为19，据此求出的最大值与最小值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值， ∵a、b、c都是正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故选：D． 3．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质，根据分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵，∴， ∴，∴，原选项正确； 、若，由于，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项正确； 、若，∵， ∴，即，原选项正确； 、若，则， ∴， 将代入等式， 左边，右边， 左边右边，原选项错误， 故选：． 4．（2025·安徽淮南·二模）已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，分式的化简，完全平方公式，根据题意得，则，再代入选项中计算，化简即可求解．利用等式的基本性质得，再代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴，故B正确； ， ∵， ∴，故C正确； ∵，则， ∴，故D正确； ∵，则 ∴当，时，，此时，故A错误； 故选：A． 5．（2022·安徽宣城·一模）已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 6．（2025·安徽·一模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：若，则，即，代入，得，所以A错误； 若，则，代入后得到，于是解得或，所以B选项错误； 同B选项，可得或，故C选项错误； 若，则，，所以D选项正确． 故选：D． 7．（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意； 故选：． 8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， A、两边同时乘得，则A不符合题意， B、两边同时加上2得，则B不符合题意， C、两边同时除以2得，则C不符合题意， D、当时，，则D符合题意， 故选：D． 9．（15-16七年级上·广西南宁·月考）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题关键．等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或代数式），等式仍然成立．根据等式的性质分别判断． 【详解】解：A、等式两边同时减去5，得，原变形正确，本选项不符合题意； B、等式两边同时加上1，得，原变形正确，本选项不符合题意； C、等式两边同时乘以，得，原变形正确，本选项不符合题意； D、等式两边同时乘以，得，原变形不正确，本选项符合题意． 故选：D． 10．（2025·湖北荆州·三模）已知，则下列等式关系不正确的是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于的数，结果仍相等．据此依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，原等式关系不正确，故此选项符合题意； D．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 11．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 12．（2025·贵州·模拟预测）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟记并理解等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A：若，则，故该选项错误，不符合题意； B：若，则，故该选项正确，符合题意； C：若，则，故该选项错误，不符合题意； D：若，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 13．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 14．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 15．（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D． 【详解】解：A．当，，时，，故A错误； B．当，，时，，故B错误； C．整理可得，故C错误； D．整理可得，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 16．（2022·安徽·模拟预测）若实数，，满足，，，都不为0，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质2，即等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，逐项判断即可． 【详解】解：， 由题意得，两边同时除以得：， 移项得： ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．熟练掌握等式的性质是解题关键． 17．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，完全平方公式的应用，等式的性质． 根据得出，结合等式的性质，即可判断A；结合完全平方公式，即可判断B、D；根据等式的性质，即可判断C． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，即，故A为真命题，不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴，则，故B为真命题，不符合题意； C、当时， ∵， ∴，则， 当时，b为任意实数， 当时，，解得，故C为假命题，符合题意； D、∵，， ∴， 整理得：， ∴，解得：，故D为真命题，不符合题意； 故选：C． 18．（2024·安徽·一模）实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式或不等式的运算．分别对各选项进行计算，即可判断． 【详解】若，则，，即A正确； 由得，，若，则，，即B正确； 若，则，，即C正确； 若，则，，，，即D错误． 故选：D． 19．（2025·山东潍坊·模拟预测）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A不符合题意； B、由于，若，则成立，故B符合题意； C、若，当时，不成立，故C不符合题意； D、若，则，故D符合题意； 故选：BD． 知识点3一元一次方程 (1)概念:一般地，只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，等式两边都是整式,这样的方程叫作一元一次方程. (2)标准形式:方程 (其中 是未知数， ， 是已知数，且 ) 叫作一元一次方程的标准形式. 3. 解方程与方程的解 解方程 方程的解 定义 求方程的解的过程 使方程左、右两边的值相等的未知数的值 区别 求解的过程 具体的数值 联系 方程的解是通过解方程这个过程而得到的 新考法解读 本题以“阅读+任务” 的形式, 通过让学生阅读解一元一次方程的过程, 寻找错误, 阐明原因, 更正错误, 让学生养成善于总结、 善于反思、敢于质疑批判的数学思维. 知识拓展 检验一个数是不是方程的解可以把这个数分别代入方程的左右两边. 若左右两边的值相等, 则该数是方程的解,反之不是. 4. 合并同类项与移项 (1)合并同类项:将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程叫作合并同类项; (2)移项:把等式一边的某项变号后移到另一边，解方程时通常把含有未知数的项都移到等号的左边. 5. 去括号与去分母 (1)去括号:解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程； (2)去分母:方程两边的各项都乘各分母的最小公倍数去掉分母的过程. 6. 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 变形依据 去分母 方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式的性质 2 去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号 去括号法则、 乘法分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) 等式的性质 1 合并同类项 把方程化为 的形式 合并同类项法则 系数化为 1 在方程的两边都除以未知数的系数 , 得到方程的解 等式的性质 2 易错警示 1. 去分母时, 方程的每一项都要乘各分母的最小公倍数; 2. 去括号时, 括号前面为负号的, 去掉括号后, 原括号内的每一项都要变号; 3. 移项时, 不管是未知数还是常数项, 只要移项就要变号. 考点二解一元一次方程 20．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 21．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 根据题意，分，，，四种情况，分别去绝对值列方程求解即可． 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 22．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）若代数式的值为6，则x等于（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．根据题意得，然后解一元一次方程即可求出的值． 【详解】∵代数式的值为6 ∴ 解得． 故选：A． 23．（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及解一元一次方程，根据题意，得到，转化成一元一次方程求解即可得到答案，熟记比例性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，即，则，解得， 故答案为：． 24．（2023·安徽滁州·三模）若，则 ． 【答案】 【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 25．（2023·安徽六安·三模）关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】先去分母再移项即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 移项，得 方程的解为． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 26．（2023·安徽滁州·三模）已知关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程得到，根据关于x的方程的解为负数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得，， 系数化1得，， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的解法，读懂题意，正确求解是解题的关键． 27．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 28．（2025·浙江杭州·三模）解方程：，则方程的解是 ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了解一元一次方程．先去括号，再移项，最后系数化为1即可求解． 【详解】解：∵， ∴去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：1． 29．（2019·安徽合肥·二模）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 【答案】 【分析】先解方程，利用m表示出x的值，然后根据x是负数即可得到一个关于m的不等式，即可求得m的范围． 【详解】解：移项，得：2x=1+3m， ∴x=， ∵方程的解为负数， ∴＜0， 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式的解题步骤是解答本题的关键． 30．（2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先求出方程的解，然后结合解是负数，解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程的解是负数， ∴， ∴． 31．（2022·安徽六安·一模）已知x= - 1是关于x的方程的解，则代数式100-3a+3b= 。 【答案】106 【分析】把x=-1代入2x+ax+b=0，求得-a+b=2，再把100-3a+3b整理后整体代入求值． 【详解】∵x= - 1是关于x的方程的解， ∴-2-a+b=0， ∴-a+b=2， ∴． 故答案为106． 【点睛】本题考查了方程的根，整式的化简求值，熟练掌握方程根的定义和性质，整体代入法求代数式的值，是解决此类问题的关键． 32．（2023·浙江·一模）解方程： 【答案】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤． 知识点4二元一次方程(组) (1)二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程. 考法解读 常在简单解答题中直接考查, 此外多在利用待定系数法求函数解析式中涉及考查, 常利用代入消元法和加减消元法直接解二元一次方程组, 也会运用换元法或整体思想解方程组. 考法解读 常在选填题中考查, 设问常为含参方程的解满足等量关系, 求参数的值. 思备考方法 (2)二元一次方程组的概念 方程组中有两个未知数, 含有每个未知数的项的次数都是 1 , 并且一共有两个方程, 像这样的方程组叫作二元一次方程组. 2. 二元一次方程 (组) 的解 (1)二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值, 叫作二元一次方程的解. (2)二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解, 叫作二元一次方程组的解. 3. 消元——解二元一次方程组 (1)消元思想 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想. (2)两种消元法 消元法 代入消元法 加减消元法 定义 把二元一次方程组中一个方程 的 一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程, 实现消元, 进而求得这个二元一次方程组的解 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时, 把这两个方程的两边 分别相加或相减, 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程 适用情况 当方程组中某个未知数的系数是 1 或 -1 , 或 当方程组中其中一个方程的常数项为 0时 ①当方程组中同一个未知数的系数互为相反数或相等时； ② 当同一个未知数的系数不同也不互为相反数时, 可通过找系数的最小公倍数, 使其变为系数相同或互为相反数 示例 由①得 ③，将③代入② 中,得 ， ①+②(消去 )，得 4. 解二元一次方程组的一般步骤 2 知识拓展 二元一次方程组可能有唯一解，也可能有无数个解或无解. 例如: 有无数个解, 无解. 方法总结 解已知的二元一次方程组中含参问题的步骤: (1)将方程组的解代入二元一次方程组中，得到关于参数的新方程组； (2)解新方程组，求出参数的值; (3)将参数的值代入题中所给的代数式中进行计算. 考点三解二元一次方程组 33．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了加减消元法、同底数幂的除法等知识点，准确求解方程组是解题的关键． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后整体代入即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 34．（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相减，可得， 根据题意得：， 解得：． 所以的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键． 35．（2017·安徽合肥·一模）已知关于x,y的方程组的解为正数，则 . 【答案】7 【详解】， ①+②得：2x=6k+4，即x=3k+2， ①−②得：2y=−2k+10，即y=−k+5， 根据题意得：， 解得：−<k<5， ∴k−6<0，k+1>0， 则原式=6−k+k+1=7， 故答案为7 36．（2022·四川眉山·模拟预测）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组． 求出，将代入求出即可． 【详解】解：， 得， 解得：， 将代入得， 解得， ∴， 故答案为：． 37．（2025·安徽·模拟预测）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】解： 得， 解得； 把代入①解得， 故方程组的解为． 38．（2025·安徽蚌埠·三模）解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： ，得， 解得 将代入①，得 解得 原方程组的解为． 39．（2022·安徽铜陵·模拟预测）解方程组 【答案】 【分析】运用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入①得：， 解得， ∴方程组的解为． 【点睛】题目主要考查运用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． 40．（2021·安徽·二模）解方程组： ． 【答案】． 【分析】利用加减消元将方程组化简成一元一次方程，即可得解其一，再将其代入任意一个方程即可得解． 【详解】解： 上下两方程相加，得，解得． 把代入中，得． ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组；关键在于能利用加减消元或者代入消元的方法将其转化成一元一次方程的形式． 41．（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 【答案】， 【分析】本题考查解二元二次方程组，把二元二次方程组化为两个二元一次方程组是解题的关键，先将二元二次方程组化成二元一次方程组，然后再运用加减消元求解即可． 【详解】解： 整理得：， 即或， 解得： ，． 综上，原方程组的解为：，． 42．（2025·江苏苏州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 首先用加减消元法消去y求出x，然后代入原方程求出y即可． 【详解】解：， 由①+②得：，解得：， 将代入①，得：，解得：， ∴原方程组的解为． 43．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得； 把代入，得：，解得； ∴方程组的解为． 44．（2022·广东潮州·二模）（1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 方程组的解为； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 45．（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②，得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 46．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 利用加减消元法，即可解方程组． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解． 考点四一次方程组的实际应用 47．（2025·安徽淮北·三模）某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组．分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】解：设电动汽车万辆，燃油汽车万辆， ∵电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆， ∴， ∵燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆， ∴， 联立可得：， 故选：C． 48．（2024·山东威海·一模）我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，分析题意，找准等量关系是解题关键．设客人为人，银子为两，根据每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设客人为人，银子为两， 根据题意得： 故选：C． 49．（2025·安徽·模拟预测）从前有座山，山上有座庙，庙里有60个和尚吃了60个馒头，大和尚一人吃2个，小和尚2人吃一个，大和尚和小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，根据题意，总人数为60，总馒头数也为60．大和尚每人吃2个，小和尚每2人吃1个，据此建立方程组． 【详解】人数关系：大和尚人数x与小和尚人数y之和为60，即； 馒头数量关系：大和尚共吃馒头数为，小和尚共吃馒头数为（因2人吃1个，故每人吃个），总馒头数为60，即； 综上，正确方程组为选项B， 故选：B． 50．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 51．（2023·安徽宣城·二模）若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的性质，解题的关键是先用含的代数式表示出、的值．先联立已知的等式，通过解二元一次方程组用含的代数式表示出、的值，然后通过等式和不等式的性质逐项判断各选项即可． 【详解】解：联立， 由得，， 把代入得，，解得， 把代入得，， ，的值未定， 无法确定正负性，即无法确定，故A选项结论不符合题意； 若，则，故B选项结论不符合题意； ，故C选项结论符合题意； 若，则，故D选项结论不符合题意． 故选：C ． 52．（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的应用． （1）根据题意列出代数式． （2）根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司前年收入为x元，支出为y元， ∵去年收入比前年增加，支出比前年减少 ∴去年收入为：，去年支出为：． （2）解：由题意得 解得． 53．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 54．（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 55．（2021·安徽安庆·三模）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长36尺，井深为8尺． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折来量，绳多四尺；②绳四折来量，绳多一尺． 【详解】解：设绳长为x尺，则井深为y尺，依题意得： 解得 ， 答：绳长36尺，井深为8尺． 56．（2024·安徽·二模）如图，8个全等的小矩形拼成一个大矩形，若大矩形的周长为40，则大矩形的面积是多少？ 【答案】96 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，设小矩形的长为x，宽为y，根据图中可发现一个小矩形的长等于三个宽，大矩形的周长为40可列出方程组，求解后即可得到小矩形的面积，而大矩形由8个小矩形组成，即可解答． 【详解】解：设小矩形的长为x，宽为y，根据题意，得 ， 解得， ∴小矩形的面积， ∴大矩形的面积为． 答：大矩形的面积是96． 57．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 58．（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【答案】16道 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题， ， 解得， 答：刘畅同学做对了16道题． 59．（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 【答案】甲型书架的单价为200元，乙型书架的单价为300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组并求解． 设甲型书架单价为x元，乙型书架单价为元；根据“每个甲型书架比每个乙型书架低元”可得根据“购买2个甲型书架和3个乙型书架共需元”可得联立两个方程组成方程组，解方程组即可得到两种型号书架的单价． 【详解】解：设甲型书架的单价为x元，乙型书架的单价为y元． 根据题意，可列方程组： 由第一个方程可得：． 将代入第二个方程：，解得 把代入得． 答：甲型书架的单价为元，乙型书架的单价为元． 60．（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【答案】A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元，根据“购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元． 61．（2025·安徽滁州·三模）安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 【答案】黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，根据题意设出未知数，找出相等关系列出方程组，即可解答． 【详解】解：设黄山茶手工炒制体验项目开展了x小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了y小时， 则， 解得， 答：黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 62．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳13米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？ 【答案】(1)编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米 (2)该中学最多编织15个大号中国结 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，根据编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳13米，再建立方程组解题即可； （2）设春浩中学编织个大中国结，则编织个小中国结，根据编织这两种中国结的用绳长不超过165米，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 根据题意，得， 解得， 答：编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米． （2）解：设该中学编织个大号中国结． 根据题意，得， 解得：， 答：该中学最多编织15个大号中国结． 63．（2025·安徽滁州·三模）春节期间，商场搞促销活动．同时购买家电A 和家电B 可以打8折优惠，能比标价省132元．已知家电A 比家电B 的3倍少60元，那么家电A 和家电B 的标价各是多少元？ 【答案】家电A和家电B的标价分别是480元和180元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.根据题意列出方程组，求解即可. 【详解】设家电A 和家电B 的标价分别为x 元和y元，根据题意， 得 解得 答：家电A和家电B的标价分别是480元和180元 64．（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 【答案】树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得 ， 解得． 答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子． 65．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【答案】该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩，根据题中关系列出二元一次方程组即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 66．（2025·安徽宿州·模拟预测）随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 【答案】销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元， 由题意得 解得 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元． 67．（2025·安徽芜湖·模拟预测）随着校园对信息化教学需求的提升，某学校计划采购一批教学设备．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量 总费用（单位：万元） 甲型设备 乙型设备 分别求甲、乙两种型号的设备的单价． 【答案】甲型设备的单价是万元，乙型设备的单价是万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲型设备的单价是万元，乙型设备的单价是万元，根据表格信息列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设甲型设备的单价是万元，乙型设备的单价是万元． 根据题意得 解得 答：甲型设备的单价是25万元，乙型设备的单价是10万元． 68．（2025·安徽亳州·模拟预测）某校校园艺术节有歌唱挑战活动，参加活动的学生在指定歌曲中选择一首演唱，专业评委对学生的“演唱技巧”和“艺术表现”分别打分，若两项得分之和不低于分，且“艺术表现”得分不低于分，则挑战成功，可获得校园文创饰件一枚．参加活动的学生有一次试唱机会．欣欣在试唱环节两项得分之和为分；在正式演唱时，“演唱技巧”项的得分比试唱时增加了，“艺术表现”项的得分比试唱时增加了，共得分．请判断欣欣是否可以获得校园文创饰件，并说明理由． 【答案】欣欣可以获得校园文创饰件，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设欣欣试唱时“演唱技巧”得了分，“艺术表现”得了分，列方程组可以求出试唱时欣欣的“艺术表现”得了分，正好符合规定的不低于分，且两项得分之和分，超过了规定的分，所以欣欣可以获得校园文创饰件． 【详解】解：欣欣可以获得校园文创饰件， 设欣欣试唱时“演唱技巧”得了分，“艺术表现”得了分， 根据题意可得：， 解方程组可得：， 正式演唱时，欣欣的“艺术表现”得了分， 正式演唱时，欣欣两项得分之和分，超过了规定的分，“艺术表现”得了分， 欣欣可以获得校园文创饰件． 69．（2025·安徽池州·模拟预测）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 【答案】三种产品的总件数为件 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设学校制作展板件，宣传册件，横幅件，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校制作展板件，宣传册件，横幅件 则： 解得： 所以这三种产品的总件数为件． 70．（2025·安徽六安·三模）安徽历史悠久，山川秀美．某校以“大美安徽”为主题举办征文比赛，其中七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级的一半少2篇，求七年级和八年级分别收到多少篇征文． 【答案】七年级收到的征文有38篇，八年级收到的征文有80篇 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设七年级收到的征文有x篇，八年级收到的征文有y篇，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设七年级收到的征文有x篇，八年级收到的征文有y篇， 由题意可得：， 解得， 答：七年级收到的征文有38篇，八年级收到的征文有80篇． 71．（2025·安徽六安·模拟预测）某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 【答案】第一个月款商品卖出件，款商品卖出件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 得 解得 答：第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 72．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 73．（2025·安徽阜阳·三模）水东蜜枣，宣城市特产，中国国家地理标志产品．在当地农业技术部门指导下，小明家种植的蜜枣喜获丰收．去年种植蜜枣的利润为12000元，今年蜜枣的收入比去年增加了，支出比去年减少了，今年的利润比去年多11400元．求去年种植蜜枣的收入和支出分别是多少元． 【答案】去年种植蜜枣的收入和支出分别为42000元、30000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设去年种植蜜枣的收入和支出分别是x元、y元，则今年年种植蜜枣的收入和支出分别是元、元，再根据利润等于收入减去支出建立方程组求解即可． 【详解】解：设去年种植蜜枣的收入和支出分别是x元、y元． 由题意，可得， 解得． 答：去年种植蜜枣的收入和支出分别为42000元、30000元． 74．（2025·安徽蚌埠·三模）超市要采购甲、乙两种玩具．若超市采购甲种玩具10个和乙种玩具4个需要110元，采购甲种玩具7个和乙种玩具8个需要103元．求甲、乙两种玩具的进价． 【答案】甲种玩具的进价为每个9元，乙种玩具的进价为每个5元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲种玩具的进价为每个x元，乙种玩具的进价为每个y元，根据超市采购甲种玩具10个和乙种玩具4个需要110元，采购甲种玩具7个和乙种玩具8个需要103元建立方程组求解即可． 【详解】解：设甲种玩具的进价为每个x元，乙种玩具的进价为每个y元． 由题意，得 ， 解得 ， 答：甲种玩具的进价为每个9元，乙种玩具的进价为每个5元． 75．（2025·安徽蚌埠·三模）小明两次到某糕点店购买A糕点和B 糕点，第一次购买A糕点4盒，B糕点6盒，总共花费120元；第二次购买时，糕点店正在进行促销活动（所有糕点按原价的八折销售），小明购买A糕点和B糕点的数量均比第一次购买的多1盒，总共花费116元．求促销前每盒A糕点和B糕点的售价． 【答案】促销前每盒A糕点的售价为15元，每盒 B糕点的售价为10元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售价分别为x元、y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售价分别为x元、y元， 根据题意，得， 解得， 答：促销前每盒A糕点的售价为15元，每盒B糕点的售价为10元． 76．（2025·安徽阜阳·三模）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3辆，据了解，2辆A型汽车和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆B型汽车和1辆A型汽车的进价共计50万元，分别求A型汽车和B型汽车的单价． 【答案】每辆A型汽车的价格为20万元，每辆B型汽车的价格为15万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案． 【详解】解：设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元． 由题意得， 解得， 答：每辆A型汽车的价格为20万元，每辆B型汽车的价格为15万元． 77．（2025·安徽合肥·三模）“砀山梨”是安徽名特产，果农为了便于销售，将采摘的砀山梨分装为大箱和小箱两种规格，已知2个大箱和3个小箱能装公斤砀山梨，4个大箱和1个小箱能装公斤砀山梨．求每个大箱和小箱各装多少公斤砀山梨． 【答案】大箱可装5公斤砀山梨，小箱可装2公斤砀山梨 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是正确设出未知数，找准等量关系列出方程组求解． 先设大箱可装公斤砀山梨，小箱可装公斤砀山梨，再根据“2个大箱和3个小箱能装公斤砀山梨”、“4个大箱和1个小箱能装公斤砀山梨”列出方程组求解． 【详解】解：设大箱可装公斤砀山梨，小箱可装公斤砀山梨， 根据题意得：，解得． 答：大箱可装5公斤砀山梨，小箱可装2公斤砀山梨． 78．（2025·安徽宣城·二模）乡村振兴，科技助农．某农户用甲、乙两种原料配制植物生长肥料，已知每克甲原料含0.5单位氮和0.4单位磷，每克乙原料含1单位氮和0.6单位磷．若一种植物每天需要40单位氮和26单位磷，则每天配制的植物生长肥料中含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足需要？ 【答案】每天需甲种原料20克，乙种原料30克． 【分析】本题通过建立二元一次方程组解决实际问题，关键步骤是根据氮和磷的单位含量分别列方程，解方程组后需验证结果是否符合实际需求．设每天需甲原料克，乙原料克，根据每克甲原料和乙原料的氮、磷含量，结合植物每天所需的氮和磷总量，可以列出二元一次方程组，通过解方程组即可得到甲、乙原料的用量． 【详解】解：设每天需甲原料克，乙原料克．   根据题意，氮的总量为40单位，磷的总量为26单位， 可得：，   解得：． 答：每天需甲原料20克，乙原料30克． 79．（2025·安徽淮北·三模）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 【答案】50件，30件 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．据此列出方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y． 由题意可得， 解得． 答：这批陶器摆件中A型号的数量为50件，B型号的数量为30件 80．（2025·安徽池州·三模）某地区在年的经济活动中表现出色，其进出口总额达到了亿元．随着经济的持续发展，年的进出口总额相比年增加了亿元．其中，进口额增长了，出口额则增长了，求年进口额和出口额分别是多少亿元？注：进出口总额进口额出口额 【答案】年进口额为亿元，出口额为亿元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设年进口额为亿元，出口额为亿元，根据题意列出方程组求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设年进口额为亿元，出口额为亿元， 由题意得，， 解得， ∴年进口额为亿元， 年出口额为亿元， 答：年进口额为亿元，出口额为亿元． 81．（2025·安徽合肥·二模）受国际政治形式的影响，某公司4月份的营业额为万元，出口营业额比3月份减少，国内营业额比3月份增加，总营业额比3月份增加万，求该公司3月份出口和国内营业额各是多少万元？ 【答案】该公司3月份出口和国内营业额分别是万元、万元 【分析】本题主要考查百分比变化的应用及二元一次方程组的建立与求解．通过设定变量表示3月份的出口和国内营业额，根据题目中的百分比变化和总营业额变化建立方程组，求解即可． 【详解】解：设该公司3月份出口和国内营业额分别是x万元、y万元，由题意得， 解得， 答：该公司3月份出口和国内营业额分别是万元、万元 82．（2025·海南省直辖县级单位·二模）在“双减”背景政策下，学校将课后延时服务活动作为学生核心素养培养的重要阵地，某校为了丰富课后延时服务活动的内容，特开设了篮球和足球兴趣班，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价贵40元，购买10个篮球和5个足球共用去1600元．问篮球和足球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价为120元，足球的单价为80元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据篮球的单价比足球的单价贵40元，购买10个篮球和5个足球共用去1600元，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元 依题意可得：， 解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为80元． 83．（2025·安徽亳州·三模）某校组织师生到金寨县红色革命教育基地开展研学活动，他们租住了一个民宿，若每个房间住人，则有人无房可住；若每个房间住人，则会空出个房间，求这个民宿的房间数和参加这次研学活动的师生人数． 【答案】这个民宿的房间数有间，参加这次研学活动的师生人数有人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个民宿的房间数有间，参加这次研学活动的师生人数有人，由题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个民宿的房间数有间，参加这次研学活动的师生人数有人， 由题意得，， 解得：， 答：这个民宿的房间数有间，参加这次研学活动的师生人数有人． 84．（2025·安徽宿州·二模）某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多，卖出B款商品的数量比第一个月少，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 【答案】第一个月A种款式的商品卖了300件，第一个月B种款式的商品卖了100件． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设第一个月A种款式的商品卖了x件，第一个月B种款式的商品卖了y件，则第二个月A种款式的商品卖了件，第二个月B种款式的商品卖了件，再根据第一个月一共卖了400件，第二个月比第一个月多卖25件建立方程组求解即可． 【详解】解：设第一个月A种款式的商品卖了x件，第一个月B种款式的商品卖了y件， 由题意得，， 解得， 答：第一个月A种款式的商品卖了300件，第一个月B种款式的商品卖了100件． 85．（2025·安徽铜陵·三模）独具徽味特色的合肥卤菜深受全国吃货们的喜爱．“徽徽卤味食品”的老板将本店的卤肉技术处理后销往外地，外地的食客需付费用（包含卤肉费和快递费），其中卤肉每千克元．若购买卤肉数量在及以内（包含）一次性支付快递费30元；若超出，超出的部分每千克支付元．外地某食客两次购买卤肉、，分别支付各种费用265元和435元．根据以上条件求，的值． 【答案】，的值分别是75和10． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据不同购买量对应的费用情况列出方程组． 根据两次购买卤肉的重量和支付费用列出关于、的二元一次方程组，然后求解方程组得到、的值． 【详解】解：由题意得，， 解得， ，的值分别是75和10． 86．（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【答案】该店有客房8间，房客63人 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键，设该店有客房x间，房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．列出方程组求解即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该店有客房8间，房客63人． 87．（2025·安徽安庆·一模）某公司计划组建直播带货团队，需协调直播与短视频制作两类项目．已知，每场直播需配备1名主播和3名运营人员，单场成本为1.2万元；每场短视频制作需配备2名剪辑人员和1名运营人员，单场成本为0.8万元．若总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，问应安排直播和短视频制作各多少场？ 【答案】安排直播2场，安排短视频制作4场 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设安排直播场，安排短视频制作场，根据：总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，即可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设安排直播场，安排短视频制作场． 由题意可得，， 解得； 答：安排直播2场，安排短视频制作4场． 88．（2025·安徽合肥·二模）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚，第一批和第二批其投入的资金如下表，求修建每个种，种光伏车棚分别需投入的资金． 进货批次 种光伏车棚/个 种光伏车棚/个 费用/万元 第一批 2 1 8 第二批 5 3 21 【答案】修建每个A种光伏车棚需投资3万元，每个B种光伏车棚需投资2万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，每个B种光伏车棚需投资y元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，每个B种光伏车棚需投资y元，根据题意得： ， 解得：． 答：修建每个A种光伏车棚需投资3万元，每个B种光伏车棚需投资2万元． 89．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 90．（2025·安徽淮南·三模）根据以下素材，完成项目任务： 有关教辅图书的素材 素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元． 素材2 小明按定价计算发现3本种资料的总价与4本种资料的总价相同． 素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料． 问题解决 任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）． 任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元． 任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元． 【答案】任务1：；任务2：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元；任务3： 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，有理数的四则运算，熟知相关等量关系是解题的关键． 任务1：根据每本，种资料的定价和为105元即可解答； 任务2：根据3本种资料的总价与4本种资料的总价相同列方程即可解答； 任务3：按照题意计算价格即可． 【详解】任务1：由题意可得， 故答案为：； 任务2：由题意得， 解得， 答：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元； 任务3：（元）． 故答案为：． 91．（2025·安徽合肥·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】每枚黄金重两，每枚白银重两。 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量等于11枚白银的重量；②（10枚白银的重量枚黄金的重量）（1枚白银的重量枚黄金的重量）等于13两，根据等量关系列出方程组求解即可． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得， 解得， 答：每枚黄金重两，每枚白银重两。 92．（2025·安徽合肥·二模）今年2月17日，习近平总书记在京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前景广阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时．”总书记的讲话给民营企业打了强心针，某企业信心百倍，年初提出目标：今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，力争实现利润翻一番．已知该工厂去年的利润（总产值－总支出）为2亿元，求今年的总产值将达到多少亿元？ 【答案】今年的总产值将达到7.2亿元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为万元，总支出万元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为万元，总支出万元， 根据题意得， 解得， ∴今年的总产值为亿元， 答：今年的总产值将达到7.2亿元． 93．（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 94．（24-25九年级下·广东广州·期中）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班级胜负场数分别是12场和3场． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为39分，再建立方程组求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得，， 答：该班级胜负场数分别是12场和3场． 95．（2025·安徽合肥·二模）某市2023年的耕地面积和林地面积共有1000万亩，2024年该市响应国家“退耕还林”号召，将一部分耕地恢复为林地后，耕地面积减少了，林地面积增加了．求2023年耕地面积和林地面积分别是多少万亩？ 【答案】2023年耕地面积和林地面积分别是750万亩，250万亩 【分析】本题考查了元一次方程组的实际应用．设2023年耕地面积为x万亩，林地面积为y万亩，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设2023年耕地面积为x万亩，林地面积为y万亩， 由题意知：， 解得：， 答：2023年耕地面积和林地面积分别是750万亩，250万亩． 96．（2025·湖南常德·二模）某小区在小区内安装垃圾分类的A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱，已知购买3个A型固定垃圾箱和2个B型移动垃圾箱共需560元，1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元． (1)求A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱的单价各是多少元； (2)如果需要购买A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱共90个，且费用不超过6000元，问：那该小区最多可以购买A型固定垃圾箱多少个？ 【答案】(1)A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元 (2)该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A型固定垃圾箱的单价是元，B型移动垃圾箱的单价是元，再结合题意列出二元一次方程组，即可作答． （2）设购买A型固定垃圾箱个，则购买B型移动垃圾箱个．再结合题意列出一元一次不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设A型固定垃圾箱的单价是元，B型移动垃圾箱的单价是元， 根据题意，得， 解得， 答：A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元． （2）解：设购买A型固定垃圾箱个，则购买B型移动垃圾箱个． 根据题意，得， 解得． 的最大值为20． 答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个． 97．（2025·安徽淮北·二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 【答案】合伙人数为7人，物价为53钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①人数−物品价值，②物品价值人数，据此可列方程组即可解答． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱， 根据题意得 解得 答：合伙人数为7人，物价为53钱． 98．（2025·安徽·二模）为了有效落实中小学每天60分钟大课间体育活动，某中学为七年级各班购买了一些彩色鸡毛毽子和跳绳，表格是部分班级购买的情况： 班级 毽子（个） 跳绳（根） 费用总计（元） 注：，都不为． (1)求购买一个毽子、一根跳绳各需多少元？ (2)直接写出表中，的值． 【答案】(1)购买一个毽子需元，一根跳绳需元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设购买一个毽子需元，一根跳绳需元，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）依题意，得出为的倍数，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个毽子需元，一根跳绳需元，依题意得 解得： 答：购买一个毽子需元，一根跳绳需元 （2）解：依题意， ∴，且为正整数， ∴为的倍数， 当时， ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题六一次方程（组） 考点四一次方程组的实际应用 知识点等式的概念 考点三解二元一次方程组 知识点2等式的性质 专题六一次方程（组） 知识点4二元一次方程组) 考点一等式的基本性质 考点二解一元一次方程 知识点3一元一次方程 知识梳理 知识点1等式的概念 用等号“=”来表示相等关系的式子叫作等式 知识拓展 l.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式.即如果a=b,那么b=a; 2.传递性：如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换) 知识点2等式的性质 (I)性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果a=b,那么 a士c=b士c.(应用于解方程中的移项) (②)性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 试卷第1页，共20页 如果a=b,那么ac=bc;(应用于解方程中的去分母) 如果a=b(c≠0)，那么日=.（应用于解方程中的系数化为1） 高分必 考点一等式的基本性质 1,(2025安徽合肥三模)若a,b,c为互不相等的实数，且a+c=b则下列结论正确的是（) A.a-c=4(b-a) B.a-b=5(a-c) C.a-b=4(b-c) D.a-c=5(a-b) 2.(2025安徽蚌埠·模拟预测)己知正整数a,b,c满足a+b=20,a+c=23,则a+b+c的最大值与最 小值的差为() A.22 B.20 C.19 D.18 3.(2025·安徽阜阳·三模)已知a,b,c是互不相等的实数，且满足a2+b2+c-3ab=0,则下列结论错 误的是() A.ab>c B.若c=-ab,则+=4 C.若b=0,则c<0 D.若c=0,则a=2b 4.(2025安徽淮南二模)已知bc≠0，a≠c,若号-号名则下列说法错误的是（) A.c>b>aB.8g=是 C.b2+3ac≥0 D.。= 5.(2022安徽宣城一模)已知数a,b,c满足a-1=b,号=c-2,则a与c的关系是() A.a=2c+3B.a=2c-3 c.a=2c+3 D.a=ic-3 6.(2025·安徽.一模)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,ab=-c-1,则下列结论正确的是() A.若a=b,则a2-2b=1 B.若a=c,则b=1 C.若b=c,则a=1 D.若a=1,则b2-4c≥0 7.(2025贵州一模)已知a,b,c为有理数，若a=b,则下列变形不正确的是() A.a+3=b+3 B.3-a=3-b C.ac=bc D.=f 试卷第2页，共20页 8.(2025·甘肃平凉·模拟预测)若m=n,则下列等式中错误的是() A.-2m=-2nB.2+m=2+n C.- D.2-m=2+n 9.(15-16七年级上：广西南宁.月考)已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是() A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6 C.a-b+ D.3ac=2bc+5 10.(2025湖北荆州三模)已知a=b,则下列等式关系不正确的是() A.a-1=b-1B.2a=2b C.a+b=0 D.月 11.(2025:安徽滁州三模)己知α，6，c均为非实数，且时a-b=c,则下列结论正确的是（) A.若c=3b,则a=4c B.若a=b,则b=c C.若b>0,则4a<3c D.a+c=23a-b+4 12.(2025·贵州·模拟预测)下列等式的变形中，正确的是() A.若3=x-1,则3-1=x B.若x=y,则3x=3y C.若-2x=-3,则x=- D.若x=y,则2x=3y 13.(2022青海中考真题)根据等式的性质，下列各式变形正确的是() A.若a2=b2,则a=b B.若ac=bc,则a=b C.若8=(c≠0)，则a=b D.若-x=6,则x=-2 14.(2024安徽蚌埠·三模)若实数a、b满足a-2b+1=0,则代数式2024-2a+4b的值为(). A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 15.(2021安徽中考真题)设，b,c为互不相等的实数，且b=a+c,则下列结论正确的是（) A.a>b>c B.c>b>a C.a-b=4(b-c)D.a-c=5(a-b) 16.(2022安徽·模拟预测)若实数a,b,c满足ab-ac=bc,a,b,c都不为0，则下列等式成立的是() A日吉=0B.日吉+片=0c.++=0 D.a+6-=0 17.(2024·安徽·模拟预测)己知实数、b、c满足a2+b2=4ab=2c,则下列命题为假命题的是() A.当c≠0时，2+分=4 B.当a>b>0时，=V3 C.当c=a时，b=0 D.当a+b=3时，c=3 18.(2024安徽一模)实数a,b,c满足a+b=c,则下列结论不正确的是() 试卷第3页，共20页 A.若a=b,则a=c B.若c=2a,则b=2c C.若a>b,则a>c D.若a>c,则b>c 19.(2025山东潍坊·模拟预测)根据等式的性质，下列变形正确的是（) A.若a=b,则a-x=b-y B.若a=b,则品品 C.若ax=bx,则a=b D.若4a=7b,则号= 知识梳理 知识点3一元一次方程 ()概念：一般地，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等式两边都是整 式，这样的方程叫作一元一次方程. (2)标准形式：方程ax+b=0(其中X是未知数，a,b是已知数，且a≠0)叫 作一元一次方程的标准形式 3.解方程与方程的解 解方程 方程的解 定义 求方程的解的过程 使方程左、右两边的值相等的未知数的值 区别 求解的过程 具体的数值 联系 方程的解是通过解方程这个过程而得到的 试卷第4页，共20页 新考法解读 本题以“阅读+任务”的形式，通过让学生阅读解一元一次方程的过程，寻找错 误，闸明原因，更正错误，让学生养成善于总结、善于反思、敢于质疑批判的数 学思维 知识拓展 检验一个数是不是方程的解可以把这个数分别代入方程的左右两边.若左右两边 的值相等，则该数是方程的解，反之不是 4.合并同类项与移项 (1)合并同类项：将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程叫 作合并同类项； (②)移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，解方程时通常把含有未知数的项 都移到等号的左边 5.去括号与去分母 (1)去括号：解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程； (②)去分母：方程两边的各项都乘各分母的最小公倍数去掉分母的过程. 6.解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 变形依据 去分母 方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、乘 试卷第5页，共20页 法分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到 等式的性质1 方程的另一边（记住移项要变号） 合并同把方程化为Ax=B(A≠O)的形式 合并同类项法则 类项 系数化 在方程的两边都除以未知数的系数A，得到方程 等式的性质2 为1 的解x=只(a≠0) 易错警示 1.去分母时，方程的每一项都要乘各分母的最小公倍数： 2.去括号时，括号前面为负号的，去掉括号后，原括号内的每一项都要变号， 3.移项时，不管是未知数还是常数项，只要移项就要变号 考点二解一元一次方程 20.(2024广东清远·二模)关于x的一元一次方程2x=4与2x+a=3的解相同，则a的值为() A.-1 B.1 C.7 D.-7 21.(2025·四川成都.一模)方程Ix+2+12x+3引+13x+4=3解的个数是() A.0 B.1 C.2 D.无数个 22.(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)若代数式x+3的值为6，则x等于() A.3 B.-3 C.9 D.-9 23.(2024安徽滁州·模拟预测)若3：(m+1)=5:(m+2),则m=一 试卷第6页，共20页 24.(2023安徽滁州：三模)若2=3，则x= 25.(2023安徽六安三模)关于x的一元一次方程牛=0的解为一 26.(2023·安徽滁州·三模)已知关于x的方程2x-3k=6-x的解为负数，则k的取值范围是 27.(2025浙江宁波模拟预测)定义a*b=3a-b,若2*(5-x)=1,则x= 28.(2025·浙江杭州三模)解方程：2(x-1)=0,则方程的解是 29.(2019安徽合肥.二模)若关于x的方程2x一3m=1的解为负数，则m的取值范围是 30.(2025·安徽宣城一模)已知关于x的方程3x-2=2x-a的解是负数，则a的取值范围是· 31.(2022安徽六安.一模)已知x=-1是关于x的方程2x+ax+b=0的解，则代数式 100-3t3b= 32.(2023浙江一模)解方程：3-2-1=5= 3 6 知识梳理 知识，点4二元一次方程（组） (1)二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一 次方程。 考法解读 常在简单解答题中直接考查，此外多在利用待定系数法求函数解析式中涉及考查」 常利用代入消元法和加减消元法直接解二元一次方程组，也会运用换元法或整体 思想解方程组」 试卷第7页，共20页 考法解读 常在选填题中考查，设问常为含参方程的解满足等量关系，求参数的值 思备考方法 (2)二元一次方程组的概念 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方 程，像这样的方程组叫作二元一次方程组 2.二元一次方程（组）的解 (1)二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 (2)二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解 3.消元—解二元一次方程组 (1)消元思想 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想 (2)两种消元法 消 代入消元法 加减消元法 元 法 定 把二元一次方程组中一个方程 当二元一次方程组的两个方程中同一个 义 的一个未知数用含另一个未知 未知数的系数相反或相等时，把这两个 试卷第8页，共20页 数的式子表示出来，再代入另一 方程的两边分别相加或相减，就能消去 个方程，实现消元，进而求得这 这个未知数，得到一个一元一次方程 个二元一次方程组的解 适 当方程组中某个未知数的系数是 ①当方程组中同一个未知数的系数互为 用 1或1，或当方程组中其中一 相反数或相等时；②当同一个未知数的 情 个方程的常数项为0时 系数不同也不互为相反数时，可通过找 况 系数的最小公倍数，使其变为系数相同 或互为相反数 公 x-y=3① 3x+10y=27① 由①得x ①+②（消去y),得 例 3x-8y=14② 15x-10y=9② y+3③，将③代入②中，得 18x=36 3(y+3)-8y=14 4.解二元一次方程组的一殷步骤2 代人其中一个 二元一次消元 元一次求解」解出一个 二元一次方程 方程组 方程 未知数 写出方程联立 解出另一 组的解 个未知数 知识拓展 二元一次方程组可能有唯一解，也可能有无数个解或无解 试卷第9页，共20页 例如 X+y=1 4牧+4y=4有无数个解， a+b=2。无解. a+b=-2 方法总结 解已知的二元一次方程组中含参问题的步骤： ()将方程组的解代入二元一次方程组中，得到关于参数的新方程组； (②)解新方程组，求出参数的值， (③)将参数的值代入题中所给的代数式中进行计算 考点三解二元一次方程组 33.(2025·安徽模拟预测)若关于x的方程组 2x-y=2a-1 x-2y=b 的解满足x+y=-3,则4÷2的值为() A.4 B.-4 C. D.-月 34.(202山东聊城中考真题)关于，y的方程组xx'22k3的解中x与y的和不小于5，则k的取值 范围为() A.k≥8 B.k>8 C.k≤8 D.k<8 5,2017安徽合肥一模)已知关于的方程塑化十y二2欢十了的解为正数，则k-6+k+1斗一 36《202四川眉山模银候训》方程生名y二音的解为 37.(2025·安徽模拟预测)解方程组： (3x+2y=5 2x-3y=-1 (x+y=7 38.(2025·安徽蚌埠·三模)解方程组 x+2y=6 39.(2022安徽铜陵模拟预测)解方程组3x5y=8 2x+4y=9 40.（2021·安徽二模)解方程组： fx+y=5 2x-y=4 试卷第10页，共20页 专题六一次方程（组） 知识点1等式的概念 用等号“ ”来表示相等关系的式子叫作等式. 知识拓展 1.对称性:等式左、右两边互换,所得结果仍是等式. 即如果 ,那么 ; 2.传递性:如果 , ,那么 (也叫等量代换). 知识点2等式的性质 (1)性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等. 即:如果 ,那么 . (应用于解方程中的移项) (2)性质 2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 即:如果 ,那么 ; (应用于解方程中的去分母) 如果 ,那么 . (应用于解方程中的系数化为 1) 考点一等式的基本性质 1．（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 3．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·安徽淮南·二模）已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽宣城·一模）已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽·一模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．（15-16七年级上·广西南宁·月考）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北荆州·三模）已知，则下列等式关系不正确的是（   ） A． B．2 C． D． 11．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 12．（2025·贵州·模拟预测）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 15．（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2022·安徽·模拟预测）若实数，，满足，，，都不为0，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 18．（2024·安徽·一模）实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（2025·山东潍坊·模拟预测）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点3一元一次方程 (1)概念:一般地，只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，等式两边都是整式,这样的方程叫作一元一次方程. (2)标准形式:方程 (其中 是未知数， ， 是已知数，且 ) 叫作一元一次方程的标准形式. 3. 解方程与方程的解 解方程 方程的解 定义 求方程的解的过程 使方程左、右两边的值相等的未知数的值 区别 求解的过程 具体的数值 联系 方程的解是通过解方程这个过程而得到的 新考法解读 本题以“阅读+任务” 的形式, 通过让学生阅读解一元一次方程的过程, 寻找错误, 阐明原因, 更正错误, 让学生养成善于总结、 善于反思、敢于质疑批判的数学思维. 知识拓展 检验一个数是不是方程的解可以把这个数分别代入方程的左右两边. 若左右两边的值相等, 则该数是方程的解,反之不是. 4. 合并同类项与移项 (1)合并同类项:将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程叫作合并同类项; (2)移项:把等式一边的某项变号后移到另一边，解方程时通常把含有未知数的项都移到等号的左边. 5. 去括号与去分母 (1)去括号:解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程； (2)去分母:方程两边的各项都乘各分母的最小公倍数去掉分母的过程. 6. 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 变形依据 去分母 方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式的性质 2 去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号 去括号法则、 乘法分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) 等式的性质 1 合并同类项 把方程化为 的形式 合并同类项法则 系数化为 1 在方程的两边都除以未知数的系数 , 得到方程的解 等式的性质 2 易错警示 1. 去分母时, 方程的每一项都要乘各分母的最小公倍数; 2. 去括号时, 括号前面为负号的, 去掉括号后, 原括号内的每一项都要变号; 3. 移项时, 不管是未知数还是常数项, 只要移项就要变号. 考点二解一元一次方程 20．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 21．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 22．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）若代数式的值为6，则x等于（   ） A．3 B． C．9 D． 23．（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 24．（2023·安徽滁州·三模）若，则 ． 25．（2023·安徽六安·三模）关于的一元一次方程的解为 ． 26．（2023·安徽滁州·三模）已知关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是 ． 27．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 28．（2025·浙江杭州·三模）解方程：，则方程的解是 ． 29．（2019·安徽合肥·二模）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 30．（2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ． 31．（2022·安徽六安·一模）已知x= - 1是关于x的方程的解，则代数式100-3a+3b= 。 32．（2023·浙江·一模）解方程： 知识点4二元一次方程(组) (1)二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程. 考法解读 常在简单解答题中直接考查, 此外多在利用待定系数法求函数解析式中涉及考查, 常利用代入消元法和加减消元法直接解二元一次方程组, 也会运用换元法或整体思想解方程组. 考法解读 常在选填题中考查, 设问常为含参方程的解满足等量关系, 求参数的值. 思备考方法 (2)二元一次方程组的概念 方程组中有两个未知数, 含有每个未知数的项的次数都是 1 , 并且一共有两个方程, 像这样的方程组叫作二元一次方程组. 2. 二元一次方程 (组) 的解 (1)二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值, 叫作二元一次方程的解. (2)二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解, 叫作二元一次方程组的解. 3. 消元——解二元一次方程组 (1)消元思想 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想. (2)两种消元法 消元法 代入消元法 加减消元法 定义 把二元一次方程组中一个方程 的 一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程, 实现消元, 进而求得这个二元一次方程组的解 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时, 把这两个方程的两边 分别相加或相减, 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程 适用情况 当方程组中某个未知数的系数是 1 或 -1 , 或 当方程组中其中一个方程的常数项为 0时 ①当方程组中同一个未知数的系数互为相反数或相等时； ② 当同一个未知数的系数不同也不互为相反数时, 可通过找系数的最小公倍数, 使其变为系数相同或互为相反数 示例 由①得 ③，将③代入② 中,得 ， ①+②(消去 )，得 4. 解二元一次方程组的一般步骤 2 知识拓展 二元一次方程组可能有唯一解，也可能有无数个解或无解. 例如: 有无数个解, 无解. 方法总结 解已知的二元一次方程组中含参问题的步骤: (1)将方程组的解代入二元一次方程组中，得到关于参数的新方程组； (2)解新方程组，求出参数的值; (3)将参数的值代入题中所给的代数式中进行计算. 考点三解二元一次方程组 33．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 34．（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（2017·安徽合肥·一模）已知关于x,y的方程组的解为正数，则 . 36．（2022·四川眉山·模拟预测）方程组的解为 ． 37．（2025·安徽·模拟预测）解方程组： 38．（2025·安徽蚌埠·三模）解方程组 39．（2022·安徽铜陵·模拟预测）解方程组 40．（2021·安徽·二模）解方程组： ． 41．（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 42．（2025·江苏苏州·二模）解方程组：． 43．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶ 44．（2022·广东潮州·二模）（1）解方程组； （2）解不等式组． 45．（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 46．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 考点四一次方程组的实际应用 47．（2025·安徽淮北·三模）某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 48．（2024·山东威海·一模）我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 49．（2025·安徽·模拟预测）从前有座山，山上有座庙，庙里有60个和尚吃了60个馒头，大和尚一人吃2个，小和尚2人吃一个，大和尚和小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 51．（2023·安徽宣城·二模）若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 52．（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 53．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 54．（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 55．（2021·安徽安庆·三模）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？” 56．（2024·安徽·二模）如图，8个全等的小矩形拼成一个大矩形，若大矩形的周长为40，则大矩形的面积是多少？ 57．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 58．（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 59．（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 60．（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 61．（2025·安徽滁州·三模）安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 62．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳13米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？ 63．（2025·安徽滁州·三模）春节期间，商场搞促销活动．同时购买家电A 和家电B 可以打8折优惠，能比标价省132元．已知家电A 比家电B 的3倍少60元，那么家电A 和家电B 的标价各是多少元？ 64．（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 65．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 66．（2025·安徽宿州·模拟预测）随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 67．（2025·安徽芜湖·模拟预测）随着校园对信息化教学需求的提升，某学校计划采购一批教学设备．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量 总费用（单位：万元） 甲型设备 乙型设备 分别求甲、乙两种型号的设备的单价． 68．（2025·安徽亳州·模拟预测）某校校园艺术节有歌唱挑战活动，参加活动的学生在指定歌曲中选择一首演唱，专业评委对学生的“演唱技巧”和“艺术表现”分别打分，若两项得分之和不低于分，且“艺术表现”得分不低于分，则挑战成功，可获得校园文创饰件一枚．参加活动的学生有一次试唱机会．欣欣在试唱环节两项得分之和为分；在正式演唱时，“演唱技巧”项的得分比试唱时增加了，“艺术表现”项的得分比试唱时增加了，共得分．请判断欣欣是否可以获得校园文创饰件，并说明理由． 69．（2025·安徽池州·模拟预测）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 70．（2025·安徽六安·三模）安徽历史悠久，山川秀美．某校以“大美安徽”为主题举办征文比赛，其中七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级的一半少2篇，求七年级和八年级分别收到多少篇征文． 71．（2025·安徽六安·模拟预测）某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 72．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 73．（2025·安徽阜阳·三模）水东蜜枣，宣城市特产，中国国家地理标志产品．在当地农业技术部门指导下，小明家种植的蜜枣喜获丰收．去年种植蜜枣的利润为12000元，今年蜜枣的收入比去年增加了，支出比去年减少了，今年的利润比去年多11400元．求去年种植蜜枣的收入和支出分别是多少元． 74．（2025·安徽蚌埠·三模）超市要采购甲、乙两种玩具．若超市采购甲种玩具10个和乙种玩具4个需要110元，采购甲种玩具7个和乙种玩具8个需要103元．求甲、乙两种玩具的进价． 75．（2025·安徽蚌埠·三模）小明两次到某糕点店购买A糕点和B 糕点，第一次购买A糕点4盒，B糕点6盒，总共花费120元；第二次购买时，糕点店正在进行促销活动（所有糕点按原价的八折销售），小明购买A糕点和B糕点的数量均比第一次购买的多1盒，总共花费116元．求促销前每盒A糕点和B糕点的售价． 76．（2025·安徽阜阳·三模）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3辆，据了解，2辆A型汽车和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆B型汽车和1辆A型汽车的进价共计50万元，分别求A型汽车和B型汽车的单价． 77．（2025·安徽合肥·三模）“砀山梨”是安徽名特产，果农为了便于销售，将采摘的砀山梨分装为大箱和小箱两种规格，已知2个大箱和3个小箱能装公斤砀山梨，4个大箱和1个小箱能装公斤砀山梨．求每个大箱和小箱各装多少公斤砀山梨． 78．（2025·安徽宣城·二模）乡村振兴，科技助农．某农户用甲、乙两种原料配制植物生长肥料，已知每克甲原料含0.5单位氮和0.4单位磷，每克乙原料含1单位氮和0.6单位磷．若一种植物每天需要40单位氮和26单位磷，则每天配制的植物生长肥料中含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足需要？ 79．（2025·安徽淮北·三模）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 80．（2025·安徽池州·三模）某地区在年的经济活动中表现出色，其进出口总额达到了亿元．随着经济的持续发展，年的进出口总额相比年增加了亿元．其中，进口额增长了，出口额则增长了，求年进口额和出口额分别是多少亿元？注：进出口总额进口额出口额 81．（2025·安徽合肥·二模）受国际政治形式的影响，某公司4月份的营业额为万元，出口营业额比3月份减少，国内营业额比3月份增加，总营业额比3月份增加万，求该公司3月份出口和国内营业额各是多少万元？ 82．（2025·海南省直辖县级单位·二模）在“双减”背景政策下，学校将课后延时服务活动作为学生核心素养培养的重要阵地，某校为了丰富课后延时服务活动的内容，特开设了篮球和足球兴趣班，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价贵40元，购买10个篮球和5个足球共用去1600元．问篮球和足球的单价各是多少元？ 83．（2025·安徽亳州·三模）某校组织师生到金寨县红色革命教育基地开展研学活动，他们租住了一个民宿，若每个房间住人，则有人无房可住；若每个房间住人，则会空出个房间，求这个民宿的房间数和参加这次研学活动的师生人数． 84．（2025·安徽宿州·二模）某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多，卖出B款商品的数量比第一个月少，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 85．（2025·安徽铜陵·三模）独具徽味特色的合肥卤菜深受全国吃货们的喜爱．“徽徽卤味食品”的老板将本店的卤肉技术处理后销往外地，外地的食客需付费用（包含卤肉费和快递费），其中卤肉每千克元．若购买卤肉数量在及以内（包含）一次性支付快递费30元；若超出，超出的部分每千克支付元．外地某食客两次购买卤肉、，分别支付各种费用265元和435元．根据以上条件求，的值． 86．（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 87．（2025·安徽安庆·一模）某公司计划组建直播带货团队，需协调直播与短视频制作两类项目．已知，每场直播需配备1名主播和3名运营人员，单场成本为1.2万元；每场短视频制作需配备2名剪辑人员和1名运营人员，单场成本为0.8万元．若总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，问应安排直播和短视频制作各多少场？ 88．（2025·安徽合肥·二模）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚，第一批和第二批其投入的资金如下表，求修建每个种，种光伏车棚分别需投入的资金． 进货批次 种光伏车棚/个 种光伏车棚/个 费用/万元 第一批 2 1 8 第二批 5 3 21 89．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 90．（2025·安徽淮南·三模）根据以下素材，完成项目任务： 有关教辅图书的素材 素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元． 素材2 小明按定价计算发现3本种资料的总价与4本种资料的总价相同． 素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料． 问题解决 任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）． 任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元． 任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元． 91．（2025·安徽合肥·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 92．（2025·安徽合肥·二模）今年2月17日，习近平总书记在京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前景广阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时．”总书记的讲话给民营企业打了强心针，某企业信心百倍，年初提出目标：今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，力争实现利润翻一番．已知该工厂去年的利润（总产值－总支出）为2亿元，求今年的总产值将达到多少亿元？ 93．（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 94．（24-25九年级下·广东广州·期中）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 95．（2025·安徽合肥·二模）某市2023年的耕地面积和林地面积共有1000万亩，2024年该市响应国家“退耕还林”号召，将一部分耕地恢复为林地后，耕地面积减少了，林地面积增加了．求2023年耕地面积和林地面积分别是多少万亩？ 96．（2025·湖南常德·二模）某小区在小区内安装垃圾分类的A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱，已知购买3个A型固定垃圾箱和2个B型移动垃圾箱共需560元，1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元． (1)求A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱的单价各是多少元； (2)如果需要购买A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱共90个，且费用不超过6000元，问：那该小区最多可以购买A型固定垃圾箱多少个？ 97．（2025·安徽淮北·二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 98．（2025·安徽·二模）为了有效落实中小学每天60分钟大课间体育活动，某中学为七年级各班购买了一些彩色鸡毛毽子和跳绳，表格是部分班级购买的情况： 班级 毽子（个） 跳绳（根） 费用总计（元） 注：，都不为． (1)求购买一个毽子、一根跳绳各需多少元？ (2)直接写出表中，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $