2026届安徽中考数学一轮复习考点全突破 第5讲二次根式

专题五 二次根式 知识点1 二次根式的运算 1. 二次根式的乘除 运算 公式 文字描述 逆向运用 乘法法则 两个算术平方根的积, 等于它们被开方数的积的算术平方根 ,称为积的算术平方根, 利用它可以进行二次根式的化简 除法法则 两个算术平方根的商， 等于商的算术平方根 ,利用它可以进行二次根式的化简 2. 最简二次根式满足的两个条件 (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 例如: 是最简二次根式; 不是最简二次根式. 3. 二次根式的加减运算 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样, 先乘方、再乘除, 最后加减, 有括号的先算括号里的 (或先去掉括号). 易错警示 乘除的混合运算，要按照从左到右的顺序依次进行计算. 知识拓展 1. 同类二次根式: 化简后被开方数相同的二次根式. 例如: 与 是同类二次根式. 2. 分母有理化: 在二次根式的运算中, 一般要把最后结果化为最简二次根式, 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 例 如: 考点一二次根式的运算 1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 3．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 4．（2025·安徽淮南·二模）计算： ． 5．（2025·安徽阜阳·三模）计算的结果是 ． 6．（2022·湖南衡阳·中考真题）计算： ． 7．（18-19八年级下·山东临沂·期末）计算： ． 8．（2023·广东广州·三模）计算的结果是 ． 9．（2011·广西柳州·中考真题）计算： ． 10．（2025·安徽六安·模拟预测）计算：． 11．（2025·安徽淮南·三模）计算： 知识点2二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式，“ ” 称为二次根号. “” 的根指数是 2 ,一般省略不写. 2. 二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于 0,即 是 有意义的前提条件. 3. 二次根式的性质 (1)性质 2 性质 应用 若 ,则 正向运用: , 逆向运用: 正向运用: 逆向运用: 知识拓展 1. 被开方数 可以是一个具体的数，也可以是含有字母的代数式. 2. 形如 的式子都是二次根式, 和 是相乘的关系，如 是二次根式; 当 是分数时, 不能写成带分数, 如 需写成 ,不能写成 . 知识拓展 1. 若被开方数是分式或分数(包括小数)， (2) 与 的区别与联系 区别 意义不同 一个非负数的算术平方根的平方 一个数的平方的算术平方根 运算顺序不同 先开方，后平方 先平方, 后开方 作用不同 正向:化简二次根式; 逆向:可以将任意一个非负数写成一个数的平方 正向:可以将根号内开得尽方的因数 (或因式) 移到根号外; 逆向:可以将根号外的非负因数(或因式)移到根号内 联系 ①两者的结果都是非负数； ② 当 时，即 考点二二次根式有意义 12．（2025·安徽阜阳·二模）在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 13．（2025·安徽宿州·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 14．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 15．（2025·安徽合肥·二模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 16．（2025·安徽安庆·三模）代数式有意义的条件是 ． 17．（24-25九年级下·安徽马鞍山·阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 18．（2025·安徽淮北·三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 19．（2025·安徽宿州·模拟预测）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 20．（2025·广东惠州·一模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 21．（2025·安徽滁州·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 22．（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 23．（2025·安徽芜湖·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 24．（2024·山东济南·一模）若分式有意义，则的取值范围是 ． 25．（2021·四川绵阳·一模）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 知识点3无理数的估值 考点三无理数估值 26．（2025·安徽合肥·二模）已知，则以下对实数m的估算正确的（   ） A． B． C． D． 27．（2022·安徽六安·模拟预测）估算的结果在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 28．（2019·安徽·二模）估算在列哪两个相邻的整数之间（    ） A．－2~－1之间 B．0~1之间 C．1~2之间 D．2~3之间 29．（2019·安徽·一模）设，则下列对n的估算正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2018·安徽·一模）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 31．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，下列与m 最接近的整数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 32．（2025·安徽合肥·二模）在实数，，，中，最接近0的数是（    ）． A． B． C． D． 33．（2023·安徽蚌埠·二模）与最接近的两个整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 34．（2023·安徽·三模）与无理数最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 35．（2023·安徽合肥·一模）如图所示的正五角星的中间是一个正五边形，与的比值为，与最接近的整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．（2021·安徽合肥·二模）下列整数中，与最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 37．（20-21八年级上·江苏苏州·期末）下列整数中，与最接近的是（    ） A． B． C． D． 38．（2022·安徽·三模），是两个连续整数，若，则，分别是（    ） A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 39．（2023·安徽滁州·二模）代数式的估值在（    ） A．之间 B．3~4之间 C．之间 D．之间 40．（2023·安徽滁州·一模）若是整数，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 42．（2023·安徽·二模）设n为正整数，且，则n的值为 （    ） A．5 B．4 C．3 D．2 43．（2023·安徽亳州·二模）已知，其中m，n为相邻的两个正整数，则的值为(   ) A．9 B．11 C．13 D．15 44．（2024·安徽滁州·二模）已知正整数m、n满足：，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．27 45．（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n= ． 46．（2022·安徽马鞍山·一模）若，且，为两个连续的整数，则的值为 ． 47．（2022·安徽·一模）已知m、n为两个连续的整数，且，则的值为 ． 48．（2025·安徽阜阳·二模）已知为整数，且满足，则整数的值为 ． 49．（2021·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五 二次根式 知识点1 二次根式的运算 1. 二次根式的乘除 运算 公式 文字描述 逆向运用 乘法法则 两个算术平方根的积, 等于它们被开方数的积的算术平方根 ,称为积的算术平方根, 利用它可以进行二次根式的化简 除法法则 两个算术平方根的商， 等于商的算术平方根 ,利用它可以进行二次根式的化简 2. 最简二次根式满足的两个条件 (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 例如: 是最简二次根式; 不是最简二次根式. 3. 二次根式的加减运算 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样, 先乘方、再乘除, 最后加减, 有括号的先算括号里的 (或先去掉括号). 易错警示 乘除的混合运算，要按照从左到右的顺序依次进行计算. 知识拓展 1. 同类二次根式: 化简后被开方数相同的二次根式. 例如: 与 是同类二次根式. 2. 分母有理化: 在二次根式的运算中, 一般要把最后结果化为最简二次根式, 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 例 如: 考点一二次根式的运算 1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 2．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，根据得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 3．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解绝对值方程等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由二次根式的性质可得，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 4．（2025·安徽淮南·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先计算的化简结果和的值，然后相减． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（2025·安徽阜阳·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2022·湖南衡阳·中考真题）计算： ． 【答案】4 【分析】根据解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：4． 7．（18-19八年级下·山东临沂·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：3． 8．（2023·广东广州·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先把二次根式化简，即可进行减法． 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键． 9．（2011·广西柳州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 10．（2025·安徽六安·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、绝对值、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 11．（2025·安徽淮南·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，负整数指数幂，先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式， ． 知识点2二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式，“ ” 称为二次根号. “” 的根指数是 2 ,一般省略不写. 2. 二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于 0,即 是 有意义的前提条件. 3. 二次根式的性质 (1)性质 2 性质 应用 若 ,则 正向运用: , 逆向运用: 正向运用: 逆向运用: 知识拓展 1. 被开方数 可以是一个具体的数，也可以是含有字母的代数式. 2. 形如 的式子都是二次根式, 和 是相乘的关系，如 是二次根式; 当 是分数时, 不能写成带分数, 如 需写成 ,不能写成 . 知识拓展 1. 若被开方数是分式或分数(包括小数)， (2) 与 的区别与联系 区别 意义不同 一个非负数的算术平方根的平方 一个数的平方的算术平方根 运算顺序不同 先开方，后平方 先平方, 后开方 作用不同 正向:化简二次根式; 逆向:可以将任意一个非负数写成一个数的平方 正向:可以将根号内开得尽方的因数 (或因式) 移到根号外; 逆向:可以将根号外的非负因数(或因式)移到根号内 联系 ①两者的结果都是非负数； ② 当 时，即 考点二二次根式有意义 12．（2025·安徽阜阳·二模）在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性．根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成． 【详解】解：由题意，，解得： 故选：B． 13．（2025·安徽宿州·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为零，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：要使得有意义， 则， 解得：， 故选：C． 14．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 15．（2025·安徽合肥·二模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数建立不等式计算即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（2025·安徽安庆·三模）代数式有意义的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据分母不能为零，被开方数是非负数，建立不等式解答即可． 本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 17．（24-25九年级下·安徽马鞍山·阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，计算即可得解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．（2025·安徽淮北·三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，根据分式分母不为0，得出，即可得解． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：且． 19．（2025·安徽宿州·模拟预测）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 20．（2025·广东惠州·一模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可求解x的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 21．（2025·安徽滁州·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式和二次根式有无意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得且． 故答案为：且． 22．（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：若分式在实数范围内有意义， 则， 解得，且． 故答案为：且． 23．（2025·安徽芜湖·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 24．（2024·山东济南·一模）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，计算即可． 本题考查了分式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义． 故， 解得， 故答案为：． 25．（2021·四川绵阳·一模）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 知识点3无理数的估值 考点三无理数估值 26．（2025·安徽合肥·二模）已知，则以下对实数m的估算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ，即， 故选：B． 27．（2022·安徽六安·模拟预测）估算的结果在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】由“夹逼法”估算出的取值范围，然后利用不等式的性质估算的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的大小要用逼近法． 28．（2019·安徽·二模）估算在列哪两个相邻的整数之间（    ） A．－2~－1之间 B．0~1之间 C．1~2之间 D．2~3之间 【答案】D 【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出5-的范围． 【详解】∵4＜7＜9， ∴2＜＜3． ∴2＜5-＜3． 故选：D． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握夹逼法的运用． 29．（2019·安徽·一模）设，则下列对n的估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算得到，然后再进行估算，即可得到答案. 【详解】解：， 又∵， ∴， . 故选：C. 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是利用二次根式的性质，正确的对无理数进行估算.错因分析  中等难度题.失分的原因是：1.n值的化简出错；2.二次根式估值的方法没有掌握. 30．（2018·安徽·一模）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵、为两个连续整数， ∴，， ， 故选：A． 31．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，下列与m 最接近的整数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：， ∵， ∴，且更接近8， 与整数8最接近． 故选：C． 32．（2025·安徽合肥·二模）在实数，，，中，最接近0的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较、零指数幂，先计算得出，再估算出，，即可得解． 【详解】解：， ∵，， ∴最接近0的数是， 故选：B． 33．（2023·安徽蚌埠·二模）与最接近的两个整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用平方来计算无理数的大小关系．要熟练掌握平方与二次根式之间的计算． 先找到距离11最近的两个完全平方数，即可找到与最接近的两个整数． 【详解】∵ ∴与最接近的两个整数是3和4． 故选：C． 34．（2023·安徽·三模）与无理数最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出最接近的整数是4，再写出最接近的整数是5即可． 【详解】∵， ∴ ∴最接近的整数是4 ∴最接近的整数是5 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，得到最接近的整数是4是解题的关键． 35．（2023·安徽合肥·一模）如图所示的正五角星的中间是一个正五边形，与的比值为，与最接近的整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据无理数大小的估算，结合不等式性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， ，从而确定与最接近的整数为， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数估算，熟练掌握二次根式性质及不等式的性质得到的范围是解决问题的关键． 36．（2021·安徽合肥·二模）下列整数中，与最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由题意得出与23最接近的平方数，即 , 然后可判断 的范围，再估算 即可判断出来． 【详解】解： ∴与最接近的是5 故答案是：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题型． 37．（20-21八年级上·江苏苏州·期末）下列整数中，与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于4＜5＜9，由此根据算术平方根的概念可以找到接近的整数，即可求解． 【详解】解：∵4＜5＜9， ∴2＜＜3． ∵2.52=6.25＞5， ∴＜2.5， ∴最接近的整数是2， 最接近的整数是1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是掌握估算无理数的时候运用“夹逼法”． 38．（2022·安徽·三模），是两个连续整数，若，则，分别是（    ） A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 【答案】D 【分析】根据，，得，即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算． 39．（2023·安徽滁州·二模）代数式的估值在（    ） A．之间 B．3~4之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】先估算的值，进而可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算． 40．（2023·安徽滁州·一模）若是整数，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据无理数的估算计算即可． 【详解】解：∵，在范围内， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的大小估算，准确计算是解题关键． 41．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】求出式子的结果，再估算无理数的大小，即可得出答案． 【详解】解： ， ， 的运算结果应在5到6之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小的应用，关键是求出式子的结果． 42．（2023·安徽·二模）设n为正整数，且，则n的值为 （    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先得出，进而求出的取值范围，即可得出n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，n为正整数， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数，得出是解题的关键． 43．（2023·安徽亳州·二模）已知，其中m，n为相邻的两个正整数，则的值为(   ) A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】估算无理数的大小即可求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，其中m，n为相邻的两个正整数， ∴，， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 44．（2024·安徽滁州·二模）已知正整数m、n满足：，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，，即可得，，问题随之得解． 【详解】∵，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 45．（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n= ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又 的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 46．（2022·安徽马鞍山·一模）若，且，为两个连续的整数，则的值为 ． 【答案】5 【分析】由 可求m，n的值，再计算m+n的值． 【详解】解：∵4＜7＜9 ∴， ∴， ∵ ∴m＝2，n＝3， ∴m+n＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与7相邻的两个为平方数的整数． 47．（2022·安徽·一模）已知m、n为两个连续的整数，且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】首先根据的大小，判断在哪两个整数之间，可得m，n的值，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴n=4，m=5， ∴m+n=4+5=9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了无理数大小的判断，比较和2.5之间的关系是解题的关键． 48．（2025·安徽阜阳·二模）已知为整数，且满足，则整数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，且满足， ∴， 故答案为：． 49．（2021·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】1 【分析】先估算出，再估算出即可完成求解． 【详解】解：∵； ∴； 因为1.236介于整数1和2之间， 所以; 故答案为：1． 【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题玉 二次根或 考点三无理数的估值 知识点1二次根式的运算 知识点3无理数的估值 专题五二次根式 考点一二次根式的运算 考点二二次根式有意义 知识点2二次根式的概念 知识梳理 知识，点1二次根式的运算 1.二次根式的乘除 运算 公式 文字描述 逆向运用 乘法 两个算术平方根的积，等于 va.vb Vab=VaV6,称为积的算术 法则 它们被开方数的积的算术 平方根，利用它可以进行二次 =vab (a 平方根 根式的化简 ≥0，b≥0) 除法 va 两个算术平方根的商， 等 利用它可以进行二 法则 于商的算术平方根 次根式的化简 ≥0，b>0) 试卷第1页，共8页 2.最简二次根式满足的两个条件 (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式： 例如V万V打是最简二次根式V、层 不是最简二次根式。 3.二次根式的加减运算 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数 相同的二次根式进行合并 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加 减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）。 易错警示 乘除的混合运算，要按照从左到右的顺序依次进行计算 知识拓展 1.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式： 例如：√2与√⑧是同类二次根式 2.分母有理化：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式。把 分母中的根号化去的过程称为分母有理化 例如： 5X15 高分必刷 试卷第2页，共8页 考点一二次根式的运算 1.(2022湖北武汉中考真题)下列各式计算正确的是（) A.√2+3=5B.4w3-33=1C.V2×V5=V6D.V12÷2=V6 2.(2025安微模拟预测)若a=,则a3-2a+3的值为一 3.(2025安徽模拟预测)若JGx+1)2+、(x-3)2=6,则x的值为 4.(2025安徽准南二模)计算：V8-(-2)°=一 5.(2025·安徽阜阳·三模)计算V12×V5的结果是 6.(2022湖南衡阳·中考真题)计算：√2×⑧= 7.(18-19八年级下山东临沂期末)计算：√18÷V2= 8.(2023·广东广州·三模)计算√24-√6的结果是 9.(2011广西柳州中考真题)计算：√12-V3= 10.(2025安徽六安·模拟预测)计算：1-1-V☑+(-). 1.（2025-安徽准南三模)计算：V8-1-V风+(-)2 知识梳理 知识点2二次根式的概念 一般地，我们把形如V(a之0)的式子叫作二次根式，“厂” 称为二次根号 的根指数是2，一般省略不写. 2.二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于0，即a≥0是Va有意义的前提条件 3.二次根式的性质 试卷第3页，共8页 (1)性质2 性质 应用 若Va+6=0,则a=0,b=0 va≥0(a≥0) (va)2-a(a≥0) 正向运用： (V2=3,逆向运用：3=(V2 √a2-lal 正向运用 (-4)--4=4-遥向运月25 a(a>0) V22×3=V4×3=V12 0(a=0) -a(a<0) 知识拓展 1.被开方数a可以是一个具体的数，也可以是含有字母的代数式. 2.形如bWa的式子都是二次根式，b和√a是相乘的关系，如3V2是二次根式； 当b是分数时，不能写成带分数，如8需写成，不能写成2V2 知识拓展 1.若被开方数是分式或分数（包括小数）， (2)(a2与a 的区别与联系 (va) va厨 试卷第4页，共8页 区 意义 一个非负数的算术平方根 一个数的平方的算术平方根 别 不同 的平方 运算 先开方，后平方 先平方，后开方 顺序 不同 作用 正向：化简二次根式；递 正向：可以将根号内开得尽方的因数（或 不同 向：可以将任意一个非负数 因式)移到根号外；逆向：可以将根号外 写成一个数的平方 的非负因数（或因式）移到根号内 联系 ①两者的结果都是非负数，②当a≥0时，即(@=Va2=a 高分必刷 考点二二次根式有意义 12.(2025·安徽阜阳·二模)在实数范围内，若二次根式√x+2有意义，则x的取值范围是() A.x≥2 B.x≥-2 C.x≥0 D.全体实数 13.(2025安徽宿州模拟预测)若分式2有意义，则x的取值范围是(） A.x≠0 B.x>2 C.x≠-2 D.x>-2且x=0 14.(2025·江苏南通中考真题)若√x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 15.(2025·安徽合肥·二模)若代数式√x+6有意义，则x的取值范围是 16,(2025安徽安庆三模)代数式有意义的条件是 17.(24-25九年级下·安徽马鞍山阶段练习)若代数式 3有意义，则实数x的取值范围是 试卷第5页，共8页 18.(2025安徽淮北三模)若代数式3三有意义，则实数x的取值范围是 19.(2025·安徽宿州模拟预测)若代数式 1有意义，则实数x的取值范围是 V2025-x 20.(2025广东惠州一模)若式子有意义，则x的取值范国是 21.(2025安徽滁州一模)若代数式一有意义，则实数x的取值范国是 22.(2025安徽淮北.二模)若分式+有意义，则实数x的取值范围是」 x+1 23.(2025安徽芜湖一模)若代数式是有意义，则实数x的取值范围是 24.(2024山东济南一模)若分式有意义，则x的取值范围是 25.(2021·四川绵阳一模)若式子2有意义，则x的取值范围是 知识，点3无理数的估值 先对二次根式平方 例：(7)2=7 找出与平方后所得数字相邻 的两个开得尽方的整数 4<7<9 对以上两个整数开方 4<7<⑨ 确定这个根式的值在开方后 所得的两个整数之间 2<万<3 考点三无理数估值 26.(2025安徽合肥二模)已知m=√7，则以下对实数m的估算正确的() A.1<m<2B.2<m<3 C.3<m<4 D.4<m<5 试卷第6页，共8页 27.(2022·安徽六安.模拟预测)估算V15+1的结果在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 28.(2019·安徽·二模)估算5-√7在列哪两个相邻的整数之间() A.-2~-1之间B.01之间 C.12之间 D.23之间 29.(2019安徽一模)设n=V4+√7，则下列对n的估算正确的是() A.2<n<3B.3<n<4 C.4<n<5 D.5<n<6 30.(2018·安徽一模)已知a,b为两个连续的整数，且a<√11<b,则a+b的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 31.(2025·安徽蚌埠.三模)已知m=V28+√7，下列与m最接近的整数是() A.6 B.7 C.8 D.9 32.(2025安徽合肥二模)在实数-1，- ,√2，(-2)°中，最接近0的数是(). A.-1 B月 C.2 D.(-2)° 33.(2023·安徽蚌埠二模)与V11最接近的两个整数是() A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 34.(2023·安徽·三模)与无理数√14+1最接近的整数是() A.4 B.5 C.6 D.7 35.(2023安徽合肥一模)如图所示的正五角星的中间是一个正五边形，BC与AB的比值为5一、与一最 接近的整数为() A.0 B.1 C.2 D.3 36.(2021·安徽合肥二模)下列整数中，与v23最接近的整数是（) A.3 B.4 C.5 D.6 37.(20-21八年级上·江苏苏州·期末)下列整数中，与5-1最接近的是() A.-1 B.0 C.1 D.2 38.(2022安徽三模)a,b是两个连续整数，若a<7-V7<b,则a,b分别是() 试卷第7页，共8页 A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.4,5 39.(2023·安徽滁州·二模)代数式2V5-1的估值在() A.2~3之间B.34之间 C.3~5之间 D.4~5之间 40.(2023·安徽滁州一模)若m是整数，√1工<m<√17，则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 1.(2023安微鲱埠核拟预测)估计V×,+后的运单结果应在（) A.3到4之间B.5到6之间 C.6到7之间 D.7到8之间 42.(2023·安徽：二模)设n为正整数，且n<√20<n+1,则n的值为() A.5 B.4 C.3 D.2 43.(2023·安徽毫州·二模)已知m<V31<n,其中，n为相邻的两个正整数，则m+n的值为() A.9 B.11 C.13 D.15 44.(2024安徽滁州·二模)已知正整数、n满足：m<√10<m+1,n<√10<n+1,则m"的值为() A.4 B.8 C.9 D.27 45.(2024·安徽准北模拟预测)若估算V125-√45的值在整数n和(n十1)之间，则F 46.(2022安徽马鞍山一模)若m<V7<n,且m,n为两个连续的整数，则m+n的值为 47.(2022安徽.一模)已知、n为两个连续的整数，且n<2V6<m,则m+n的值为 48.(2025·安徽阜阳·二模)已知a为整数，且满足V6<a<V13,则整数a的值为一· 49.(2021·安徽中考真题)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等 腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是V5-1,它介于整数n和n+1之间， 则n的值是 试卷第8页，共8页