福建省同安第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题

2023年高三同安一中10月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 　　解出集合B中的不等式，得到集合B，再进行补集和交集的运算. 　　由，解得，则有，， 　　所以. 　　故选：C. 2. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 　　利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 　　当时，，，∴在上单调递增，故充分性成立， 　　当在单调递增，∴，即，∴，故必要性不成立， 　　所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 　　故选：B 3.  函数在上的图像大致为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 　　根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答. 　　函数定义域为， 　　而，且， 　　即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD； 　　而当时，，排除选项A，选项B符合要求. 　　故选：B 4. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（       ） A. B. C. D. 5.  已知函数的最小正周期为，则错误的是（       ） A． B．直线是曲线的一条对称轴 C．点是曲线的一个对称中心 D．在区间内只有一个零点 【答案】B 【解析】 　　利用辅助角公式及三角函数的周期公式可得函数解析式，结合三角函数的性质一一判定即可. 　　由条件可得，，∴，A对； 　　由，∴不是对称轴，是对称中心，B错，C对； 　　由，而在只有一个零点， 　　∴在有且只有一个零点，D对. 　　故选：B 6.（看不清） 7. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（       ） 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 　　确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算． 　　由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为， 　　则， 　　所以． 　　故选：D． 8. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 　　先得出的周期以及对称轴，再证明在上恒成立，通过对称性画出函数和在上的简图，由图象得出解集. 　　由题意可得，，即是周期为的函数，且图像关于对称. 　　令　　时，，时，　　函数在上单调递增 　　当时，，即　　设，　　即函数在上单调递减，则，即　　故在上恒成立 　　结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示 　　 　　由图象可知，不等式在上的解集为　　故选：A 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分． 9. 下列各命题为真命题的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 　　依次判断各命题的真假即可得其否定的真假. 　　解：对于A，为真命题，正确； 　　对于B，因为时，，为真命题，正确； 　　对于C，当时，，为真命题，正确； 　　对于D，当时，，故为假命题，错误； 　　故选：ABC 10. 下列命题中正确的是（       ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 　　利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 　　A选项，①， 　　但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误. 　　B选项，当时，， 　　， 　　当且仅当时等号成立，所以B选项正确. 　　C选项，当时，， 　　所以， 　　当且仅当时等号成立，所以C选项正确. 　　D选项，是正数，　　， 　　当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 　　故选：BCD 11. 已知函数，则（       ） A．对任意正奇数n，为奇函数 B．对任意正整数n，的图像都关于直线对称 C．当时，在上的最小值 D．当时，的单调递增区间是 【答案】BC 【解析】 　　A.取，由奇偶性的定义判断；B.由是否成立判断；C. 由，利用导数法判断；D. 由，将函数转化为，利用余弦函数的性质求解判断； 　　取，则，从而，此时不是奇函数，则A错误； 　　因为，所以的图象关于直线对称，则B正确； 　　当时，，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，故C正确； 　　当时，　　，则的递增区间为，则D错误. 　　故选：BC. 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式． 　　 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. 　　 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质． 12.  已知实数a，b满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 　　先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可. 　　由题意可得，则由，得.对于A：设，，则在区间上，，为增函数，所以由题意可得，所以，故A正确；对于B：由，得,故B错误；对于C：由A可知在区间上为增函数，且，则，即,则,由,得,令,则,所以在上单调递增,所以,所以,故C错误；对于D：又,令,则,所以在上单调递增,所以，所以,又，且,令， 　　根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 　　所以， 　　综上可得，故D正确；故选:AD. 　　关键点睛： 　　本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则  . 14. 函数的部分图象如图所示，如果、，且，则  . 　　 【答案】 【解析】 　　由图象可知，，函数的最小正周期为，则， 　　此时，， 　　由于，且函数在附近单调递增， 　　所以，则， 　　，，，即. 　　、，且， 　　由图象可知，点、关于直线对称，则， 　　因此，. 　　故答案为：. 　　本题主要考查由函数的部分图象求解析式，还考查了正弦函数的图象的对称性，属于中档题. 15. 已知函数则函数的所有零点构成的集合为  ． 【答案】 【解析】 　　本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求． 　　函数的零点，即方程的所有根， 　　令，根据函数，方程的解是， 　　则方程的根，即为方程的根， 　　当时，，由，， 　　当时，，由，， 　　综上，函数所有零点构成的集合是. 　　故答案为：. 16.  在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为  ． 【答案】 【解析】 　　根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 　　设点的坐标为， 　　显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为， 　　因此切线方程为， 　　设曲线的切点为，即， 　　由，所以过该切点的切线的斜率为， 　　则有， 　　设的切点为，即， 　　由，所以过该切点的切线的斜率为， 　　则有， 　　由题意可知：，于是有：　　，得，或， 　　当时，则有， 　　当时，则有， 　　由可解，. 　　故答案为：　　关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出公切线的方程. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.  在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1) 求A； 【答案】 【解析】 　　由正弦定理，　　因为，所以，所以　　因为，所以，所以. (2) 若，求的面积． 【答案】 【解析】 　　由余弦定理，或（舍） 　　所以. 18.  设等差数列的公差为，且，. (1) 求数列的通项公式； 【答案】 【解析】 　　由题意等差数列的公差为，且，， 　　即，解得， 　　故， 　　即数列的通项公式为. (2) 设数列满足，求的前项和. 【答案】 【解析】 　　因为①， 　　则时，， 　　故当时，②， 　　①②可得，而也适合该式， 　　故，又，所以， 　　则数列是以为首项，公比为的等比数列， 　　故. 19.  四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面． 　　    (1) 证明：； 【答案】证明见解析 【解析】 　　由题设，为等边三角形，则， 　　又四边形为梯形，，则， 　　在中，，，所以， 　　即，则， 　　所以，即， 　　面面，面面，面， 　　则面， 　　又面，故． (2) 若，且三棱锥的体积为，点满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】 【解析】 　　若为中点，， 　　则，面面，面面，面， 　　则面， 　　连接，则，且面，故， 　　综上，，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴正方向的空间直角坐标系． 　　    　　所以，，，， 　　由三棱锥的体积为，则， 　　即，故． 　　则，则， 　　所以，，，， 　　若是面的一个法向量， 　　则，取，则，则． 　　若是面的一个法向量， 　　则，取，则，，则， 　　所以， 　　则锐二面角的余弦值为． 20.  近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2. (1) 顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率； 【答案】 【解析】 　　由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果， 　　甲购买一盒猕猴桃的概率. (2) 顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率 【答案】 【解析】 　　用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能： 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 √ √ √ √ √ √ ╳ √ √ √ √ √ ╳ √ √ √ ╳ √ ╳ √ √ √ √ ╳ √ 　　故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率. 21.  已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右顶点为，P(4，1)是C上一点，且直线PA1与PA2的斜率乘积为． (1) 求C的方程． 【答案】； 【解析】 　　由题意知，则，解得， 　　将P(4，1)代入得， 　　故双曲线方程为； (2) 设直线l与C交于点M，N，且PM⊥PN．证明：直线l过定点． 【答案】过定点，证明见解析. 【解析】 　　当直线斜率存在时， 　　设直线， 　　联立双曲线方程得：， 　　则要满足，且， 　　解得：且， 　　设，则，， 　　， 　　， 　　， 　　所以， 　　即， 　　整理得， 　　即， 　　即， 　　所以或， 　　当时，满足，此时直线方程为，直线恒过定点， 　　当时，此时直线方程为，直线恒过定点，舍去. 　　当直线斜率不存在时，设，则，且， 　　此时， 　　解得：或， 　　因为点和都异于点，故时不合要求，舍去， 　　故，此时直线经过点， 　　综上：直线过定点，定点坐标为. 22.  已知函数，为函数的导函数 (1) 讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 　　解：因为定义域为， 　　则，即， 　　所以， 　　当时恒成立，所以在上单调递增， 　　当时，令解得，令解得， 　　所以在上单调递增，在上单调递减， 　　综上可得，当时在上单调递增， 　　当时在上单调递增，在上单调递减. (2) 当时，，若，，且，证明：. 【答案】证明见解析 【解析】 　　证明：当时， 　　所以，， 　　所以， 　　令，则，所以当时，当时， 　　即在上单调递减，在上单调递增， 　　所以，即，所以在上单调递增， 　　不妨设，因为，所以有①或②两种情况， 　　当①时，因为在上单调递增， 　　所以，所以， 　　当②时，由，得，所以， 　　则， 　　由，所以， 　　令，， 　　则， 　　所以，即在上单调递减，且当趋向于1时趋向于0，则， 　　所以，则，即， 　　综上可得当，，且时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年高三同安一中10月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（       ） A． B． C． D． 2. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.  函数在上的图像大致为（       ） A． B． C． D． 4. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（       ） A. B. C. D. 5.  已知函数的最小正周期为，则错误的是（       ） A． B．直线是曲线的一条对称轴 C．点是曲线的一个对称中心 D．在区间内只有一个零点 6.（看不清） 7. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（       ） 　　 A． B． C． D． 8. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（       ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分． 9. 下列各命题为真命题的是（       ） A． B． C． D． 10. 下列命题中正确的是（       ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 11. 已知函数，则（       ） A．对任意正奇数n，为奇函数 B．对任意正整数n，的图像都关于直线对称 C．当时，在上的最小值 D．当时，的单调递增区间是 12.  已知实数a，b满足，则（       ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则  . 14. 函数的部分图象如图所示，如果、，且，则  . 　　 15. 已知函数则函数的所有零点构成的集合为  ． 16.  在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为  ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.  在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1) 求A； (2) 若，求的面积． 18.  设等差数列的公差为，且，. (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列满足，求的前项和. 19.  四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面． 　　    (1) 证明：； (2) 若，且三棱锥的体积为，点满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20.  近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2. (1) 顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率； (2) 顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率 21.  已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右顶点为，P(4，1)是C上一点，且直线PA1与PA2的斜率乘积为． (1) 求C的方程． (2) 设直线l与C交于点M，N，且PM⊥PN．证明：直线l过定点． 22.  已知函数，为函数的导函数 (1) 讨论的单调性； (2) 当时，，若，，且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $