1.10有理数的乘方（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“有理数的乘方”核心知识点，系统梳理乘方的定义（求n个相同因数a的积的运算）、意义（表示n个a相乘）、符号法则（正数任何次幂为正，负数奇次幂负偶次幂正，0的正整数次幂0）、运算步骤（先定符号再算绝对值）及注意事项（底数为负或分数时需加括号），并配有思维导图辅助构建知识脉络。 该资料通过分层练习题（概念理解、运算、符号规律、应用、逆运算）设计，结合计算机二进制、细菌分裂及《庄子》“一尺之棰”等实例，培养学生抽象能力（数学眼光）、运算能力（数学思维）与应用意识（数学语言），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，实现基础巩固与能力提升。

1.10有理数的乘方 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 乘方的定义 求( n )个相同因数( a )的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：，读作“( a )的( n )次方”或“( a )的( n )次幂”。其中，( a )叫做底数，( n )叫做指数。 2. 乘方的意义 表示( n )个( a )相乘，即：。 3. 乘方运算的符号法则 · 正数的任何次幂都是正数。 · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 · 0的任何正整数次幂都是0。 4. 有理数乘方的运算步骤 先确定幂的符号（根据符号法则），再计算幂的绝对值（即底数绝对值的乘方）。 5. 注意事项 · 乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法）。 · 当底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起来，例如：，，以避免与“负的乘方”混淆。例如：表示的相反数，即；而表示3个( -2 )相乘，即（虽然结果相同，但意义不同）。 型 习 练 题 有理数幂的概念理解 1．下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查幂运算中底数和指数的概念，以及绝对值的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，底数是，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项不符合题意； C、在中，指数是8，故该选项符合题意； D、若，则或，故该选项不符合题意； 故选：C 2．下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，幂的定义，熟练掌握有理数乘方运算法则，是解题的关键．根据幂的定义，有理数乘方运算法则，进行求解即可． 【详解】解：表示，而非， ，，因此， 的底数为2，指数为4，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 3．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个3相加 C．的指数是3 D．与意义相同 【答案】C 【分析】本题考查“有理数的乘方的概念”，掌握有理数的乘方的各部分数的含义和名称是解题关键． 根据有理数的乘方的概念，逐项判断即可． 【详解】A选项： 的底数是3，不是，∴ A错误； B选项： 表示3个3相乘，不是相加，∴ B错误； C选项： 的指数是3，∴ C正确； D.选项： 表示三个相乘， 表示三个3相乘的相反数，意义不同，∴ D错误， 故选：C． 4．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的概念，乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．利用乘法的定义得，利用乘方的定义得，进而得解． 【详解】解：由题意得，原式． 故选：C． 5．对于算式，正确的说法是（   ） A．2是底数，3是指数 B．是底数，3是幂 C．2是底数，3是幂 D．是底数，3是指数 【答案】A 【分析】本题考查乘方表达式中底数、指数和幂的概念。在算式 中，负号不是底数的一部分，指数运算优先于负号，因此底数是2，指数是3． 【详解】解：∵， ∴ 底数是2，指数是3， 故选：A． 有理数的乘方运算 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的基本运算，包括减法、加法、乘除法和乘方．需根据运算法则逐一验证选项． 【详解】解：A：，该选项计算正确； B：，该选项计算错误； C：，该选项计算错误； D：，该选项计算错误． ∴ 正确的是A． 故选：A． 7．在，，，0，中，负数的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算、化简多重符号、绝对值的意义及负数定义，熟练掌握有理数的乘方运算、化简多重符号、绝对值的意义及负数定义是解题的关键；因此此题可逐个判断每个数是否为负数（小于零的数）即可． 【详解】解：∵，是负数； ∵，不是负数； ∵，是负数； ∵既不是正数也不是负数； ∵，不是负数； ∴负数的个数有2个； 故选C． 8．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的运算法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，正确； 故选：C． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．任何一个有理数都有倒数 B．有理数的相反数一定是负数 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．一个有理数的平方一定是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数、绝对值和平方的性质．据此相关性质内容进行逐一判断各选项的正误，即可作答． 【详解】解：A、0是有理数，但0没有倒数，则任何一个有理数都有倒数是错误的，故该选项不符合题意； B、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0，则有理数的相反数一定是负数是错误的，故该选项不符合题意； C、互为相反数的两个数绝对值相等是正确的，故该选项符合题意； D、0的平方是0，0不是正数，则一个有理数的平方一定是正数是错误的，故该选项不符合题意； 故选：C 10．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个等式的左右两边的数值，判断是否相等． 【详解】解：A：∵ ，，∴ ，正确； B：∵ ，，∴ ，错误； C：∵ ，，∴ ，错误； D：∵ ，，∴ ，错误． 故选：A． 乘方运算的符号规律 11．已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，即几个非负数的和为零，则每个非负数均为零．也考查了有理数的加法． 根据非负数的性质，平方和绝对值均非负，它们的和为零，则每个部分必为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，即， ∴，即， ∴． 故选B． 12．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数求解即可． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数，几次幂就是几个数相乘，例如2的3次幂就是3个2相乘，8的5次幂就是5个8相乘…都是正数相乘，结果肯定是正数．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．因为负负得正，所以两个负数相乘等于正数，负数的奇次幂两两配对后，还多一个负数，所以结果就是负数， 故选：B． 13．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 14．如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了非负数．熟练掌握有理数平方的非负性是解题的关键． 根据即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 15．当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 乘方的应用 16．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字88是二进制下的（    ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 【答案】C 【分析】本题考查了进制问题． 将88分解为2的幂次之和，最高次幂为，因此二进制数有7位． 【详解】解：∵， ∴二进制表示为1011000，是7位数． 故选：C． 17．某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 细菌每隔分钟分裂一次，每次分裂数量翻倍．3小时共分钟，计算分裂次数，再求2的幂次． 【详解】解：∵3小时分钟， 分裂间隔为分钟， ∴分裂次数次． ∵开始时细菌数量为1，每次分裂数量翻倍， ∴经过9次分裂后，细菌数量为． 故选：C． 18．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么，第6天截取后木棒剩余的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次求出每一次剩余木棒的长度，得到第n次截取后木棒剩余的长度，即可解答． 【详解】解：第1天截取后剩：（尺）； 第2天截取后剩：（尺）； 第3天截取后剩：（尺）； 第4天截取后剩：（尺）； …… ∴第n天截取后剩余尺； ∴第6天截取后剩余尺． 故选A． 19．有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用． 每次截取后剩余长度减半，进行六次截取，剩余长度为初始长度乘以． 【详解】解：∵初始长度米，每次截去一半，剩余长度变为前一次的， ∴经过次截取后，剩余长度， 当时，剩余长度米， ∴第六次截去后剩余长度为米． 故选：C． 20．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，通过连乘计算总鸟巢数即可． 【详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 有理数乘方逆运算 21．已知a、b互为倒数，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 22．若，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 23．的值为 ． 【答案】243 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则，结合乘法运算律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：243． 24．如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 25．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.10有理数的乘方 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 乘方的定义 求( n )个相同因数( a )的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：，读作“( a )的( n )次方”或“( a )的( n )次幂”。其中，( a )叫做底数，( n )叫做指数。 2. 乘方的意义 表示( n )个( a )相乘，即：。 3. 乘方运算的符号法则 · 正数的任何次幂都是正数。 · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 · 0的任何正整数次幂都是0。 4. 有理数乘方的运算步骤 先确定幂的符号（根据符号法则），再计算幂的绝对值（即底数绝对值的乘方）。 5. 注意事项 · 乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法）。 · 当底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起来，例如：，，以避免与“负的乘方”混淆。例如：表示的相反数，即；而表示3个( -2 )相乘，即（虽然结果相同，但意义不同）。 型 习 练 题 有理数幂的概念理解 1．下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 2．下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 3．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个3相加 C．的指数是3 D．与意义相同 4．计算（   ） A． B． C． D． 5．对于算式，正确的说法是（   ） A．2是底数，3是指数 B．是底数，3是幂 C．2是底数，3是幂 D．是底数，3是指数 有理数的乘方运算 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．在，，，0，中，负数的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．任何一个有理数都有倒数 B．有理数的相反数一定是负数 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．一个有理数的平方一定是正数 10．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 乘方运算的符号规律 11．已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 12．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 13．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 15．当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 乘方的应用 16．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字88是二进制下的（    ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 17．某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 18．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么，第6天截取后木棒剩余的长度是（   ） A． B． C． D． 19．有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 有理数乘方逆运算 21．已知a、b互为倒数，化简： ． 22．若，则 ． 23．的值为 ． 24．如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 25．若，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $