1.10 有理数的乘方 课件-2025-2026学年 冀教版数学七年级上册

冀教（2024）版数学7年级上册 第一章 有理数 1.10 有理数的乘方 珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8 848米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？ 课堂导入 情景导入 问题1 如图，（1）一正方形的边长为2cm，则它的面积为________平方厘米； （2）一正方体的棱长为2cm， 则它的体积为___________立方厘米. 2×2×2 2×2 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 探究 新知探究 知识点1 乘方的意义 下面继续以幻灯片分页形式，为你梳理1.10有理数的乘方的核心内容，包含概念、运算法则、例题和易错点等，方便你系统掌握： # 幻灯片分页内容：1.10 有理数的乘方 ## 第1页：课题导入——情境引出新知 - 生活情境： 1. 细胞每30分钟分裂一次，1个细胞1小时分裂成2×2个，1.5小时分裂成2×2×2个，多次分裂后相同因数相乘的式子书写繁琐； 2. 棋盘放米问题：第1格放1粒米，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，这些数量可表示为1、2、2×2、2×2×2…… - 设问思考：像2×2×2这样3个相同因数相乘，有没有简便的书写和运算方式？ - 课题明确：本节课学习有理数的乘方，理解乘方的定义和各部分名称，掌握乘方的运算规则，能熟练进行有理数乘方运算。 ## 第2页：核心概念——乘方的定义与组成 1. **定义**：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。比如3个(-2)相乘，即(-2)×(-2)×(-2)，可通过乘方简化书写和运算。 2. **表示方法与各部分名称**： - 记作\(a^n\)，读作“a的n次方”或“a的n次幂”； - 其中a叫做底数，指相同的因数；n叫做指数，指相同因数的个数； - 特别说明：一个数可看作它本身的一次方，如5就是\(5^1\)，指数1通常省略不写；指数为2叫平方，指数为3叫立方。 3. **实例解析**： |乘方式子|底数|指数|表示意义| | ---- | ---- | ---- | ---- | |\(5^4\)|5|4|4个5相乘，即5×5×5×5| |\((-3)^2\)|-3|2|2个(-3)相乘，即(-3)×(-3)| |\(-3^2\)|3|2|2个3相乘的相反数，即-(3×3)| ## 第3页：关键法则——乘方的符号与特殊值运算 ### 1. 符号法则 - 正数的任何次幂都是正数，例如\(2^3 = 8\)，\((\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}\)； - 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数，例如\((-2)^3=-8\)，\((-2)^4 = 16\)； - 0的任何正整数次幂都是0，例如\(0^5 = 0\)，注意\(0^0\)没有意义。 ### 2. 特殊值的乘方规律 - 1的任何次幂都是1，如\(1^{100}=1\)； - -1的偶次幂是1，奇次幂是-1，如\((-1)^{2024}=1\)，\((-1)^{2025}=-1\)； - \(10^n\)（n为正整数）是1后面跟n个0，如\(10^4 = 10000\)。 ## 第4页：典例精析——基础与辨析题型 ### 1. 基础乘方计算 - 例1：计算下列各式 （1）\((+4)^2 = 4×4 = 16\)（正数的偶次幂为正，计算底数绝对值的乘方）； （2）\((-5)^3 = - (5×5×5) = -125\)（负数的奇次幂为负）； （3）\((-\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2})=\frac{1}{16}\)（负数的偶次幂为正）； （4）\(0^{12}=0\)（0的正整数次幂为0）。 ### 2. 易混淆式子辨析 - 例2：区分\((-3)^2\)和\(-3^2\)的不同 （1）\((-3)^2 = (-3)×(-3)=9\)，底数是-3，计算2个-3相乘； （2）\(-3^2 = - (3×3)= -9\)，底数是3，先算3的平方，再取相反数。 ## 第5页：进阶题型——乘方与混合运算 1. **运算优先级**：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的，同级运算从左到右进行。 2. **混合运算示例** - 例3：计算\(-1^4 + (-2)^3×3\) 解：先算乘方，\(-1^4=-1\)，\((-2)^3=-8\)；再算乘法，\(-8×3=-24\)；最后算加法，\(-1 + (-24)= -25\)。 - 例4：计算\((10 - (2 - 5)^2)÷(-3)\) 解：先算小括号里，\(2 - 5=-3\)；再算乘方，\((-3)^2 = 9\)；接着算括号内减法，\(10 - 9 = 1\)；最后算除法，\(1÷(-3)=-\frac{1}{3}\)。 ## 第6页：易错点警示——避开常见陷阱 1. **底数与符号混淆**：如误将\(-(\frac{2}{3})^3\)算成\((-\frac{2}{3})^3\)，前者底数是\(\frac{2}{3}\)，结果为\(-\frac{8}{27}\)；后者底数是\(-\frac{2}{3}\)，结果虽也为\(-\frac{8}{27}\)，但运算意义完全不同，换为偶次幂结果会不一样。 2. **指数理解错误**：把乘方的指数当成倍数，比如将\((-2)^3\)误算为\(-2×3=-6\)，正确应为\((-2)×(-2)×(-2)=-8\)。 3. **0的乘方误区**：认为\(0^0 = 1\)，实际\(0^0\)无意义，只有0的正整数次幂才等于0。 4. **混合运算顺序错误**：计算时先算加减再算乘方，如计算\(2 + 3^2\)误得\(5^2 = 25\)，正确应先算\(3^2 = 9\)，再算\(2 + 9 = 11\)。 ## 第7页：课堂练习与课后任务 ### 课堂练习 1. 计算：\((-6)^2=\)______；\(-4^3=\)______；\((-\frac{1}{3})^3=\)______；（答案：36；-64；\(-\frac{1}{27}\)） 2. 比较大小：\((-2)^4\)______\(-2^4\)；\((-3)^3\)______\(-3^3\)；（答案：>；=） 3. 计算：\((-2)^2×3 - 4×(-3)\)；（答案：24） ### 课后作业 1. 计算：\(10^5\)；\(-(-5)^3\)；\((-\frac{2}{5})^2\)； 2. 已知\(a\)的平方是9，\(b\)的立方是-8，求\(a + b\)的值； 3. 某种细胞每30分钟分裂一次，由1个分裂成2个，经过4小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？（答案：256个） 探究新知 2个 2×2个 2×2×2个 2×2×2×2×2×2个 2×2×2×2个 21 22 23 24 26 2×2×2×……×2×2×2个 n个 2n 平方表示 立方表示 思考 这两个式子有什么相同点? 它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同. 问题2 相同因数的乘法如何简化? 新知探究 知识点1 乘方的意义 探究新知 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 a·a·a· ·a = an n个 … 例如：2×2×2×2 2×2×2×2×2×2 记作 记作 读作2的6次方(幂). 读作2的4次方(幂). 新知探究 知识点1 乘方的意义 探究新知 求n个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果an叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数. 特别地，a2通常读作a的平方，a3通常读作a的立方. 一个数可以看做这个数本身的一次方，通常指数为1时可省略不写. 幂（乘方的结果） 指数 因数的个数 底数 因数 新知探究 知识点1 乘方的意义 归纳 探究新知 （1）(－4)2表示－4的平方，－42表示4的平方的相反数. (－4)2与－42 互为相反数. 观察下面两个式子有什么不同？ （1）(－4)2与－42 ； （2） （2） 注意： 当底数是负数或分数时,底数一定要加上括号. 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知   －5 2 －5 －5 平方 6 6 6 底数 指数 填一填： 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知 问题3 利用乘方的意义计算： (3) 09=0.   思考：你发现正数的幂的正负有什么规律？0的幂呢？ 解：(1) 53=5×5×5=125； 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知 问题4 计算： 解： 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知 21 22 23 24 25 26 ⋯ ⋯ (-2)1 (-2)2 (-2)3 (-2)4 (-2)5 (-2)6 ⋯ ⋯ 1.计算，填写下表： 2 4 8 16 32 64 -2 4 -8 16 -32 64 你能得出什么结论？ 对照思考： 指数 奇数 偶数 奇数 偶数 奇数 偶数 … 幂的正负 负数 正数 负数 正数 负数 正数 … 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知 2.上表中计算结果的符号有什么规律？ 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 拓展 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知 ①任何数的偶次幂都是非负数； ②有理数的乘方运算与有理数的加减乘除一样，首先要确定积的符号，然后再计算幂的绝对值； ③由有理数的乘法法则可知：0的任何非零次幂等于0，10的几次幂等于1后面加几个0；1的任何次幂都得1. 问题5 计算: （1） （2）-23×(-32)（3）64÷(-2)5（4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4 （2）-23×(-32)=-8×(-9)=72； （3）64÷(-2)5=64÷(-32)=-2； （4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4=-64÷1+2×81=98 思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？ 新知探究 知识点2 有理数的乘方运算 探究新知 运算顺序为先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算. 1.下列关于-74的说法正确的是( ) A.底数是-7 B.表示4个-7相乘 C.表示4个7相乘的相反数 D.表示7个-4相乘 C 随堂练习 考试考法 C 2.下列幂中为负数的是( ) A.43 B.(-4)2 C.(-4)5 D.0100 3.计算（-3）2的结果等于（ ） A.5 B.-5 C.9 D.-9 C 随堂练习 考试考法 4.下列各组数中，互为相反数的是( ) A.-23与(-2)3 B.｜-22｜与-(-22) C.-34与(-3)4 D.102与210 C 随堂练习 考试考法 5.填空： （1）-(-3)2= ；（2）-32= ； （3）(-3)3= ；（4）0.13= ； （5）(-1)9= ； （6）(-1)12= ； （7）(-1)2n= ； （8）(-1)2n+1= ； （9）(-1)n= . -9 -9 -125 0.001 -1 1 1 -1 （当n为奇数时）， （当n为偶数时） 随堂练习 考试考法 　 6.计算：0.1252016×82017 解:原式= 随堂练习 考试考法 7. 有一种纸的厚度是0.1毫米，若拿两张重叠在 一起，将它们对折1次后，厚度为4×0.1毫米. (1)对折2次后，厚度为多少毫米? (2)对折6次后，厚度为多少毫米? 解：(1)2×22×0.1＝0.8(毫米)，即对折2次后，厚 度为0.8毫米. (2)2×26×0.1＝12.8(毫米)，即对折6次后， 厚度为12.8毫米. 随堂练习 考试考法 知识点1 乘方的意义 1.［2025秦皇岛期末］数学上一般把 记为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 2.下列关于 的说法中，错误的是( ) A A.表示3个相加 B.底数是 C.表示3个 相乘 D.指数是3 返回 考试考法 22 3.将 写成幂的形式是_______，读作_______ _______________. 负三 分之二的四次方 返回 考试考法 23 4.填表. 乘方 底数 ___ ___ ______ ___ 指数 _ ___ ___ ___ ___ 4 5 4 3 6 2 返回 考试考法 24 知识点2 乘方运算 5.计算 的结果等于( ) C A.1 B.2 C.4 D.8 返回 考试考法 25 6.［2025承德期末］下列各组数中，运算后结果相等的是( ) B A.和 B.和 C.和 D.和 返回 考试考法 26 7.下列各数：，，， 中，负数的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 考试考法 27 8.（20分）［教材 例题变式］计算： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . （4）为正整数 ； 解： . 考试考法 28 （5）为正整数 . 解： . 返回 考试考法 29 知识点3 乘方的应用 9.你知道拉面是怎样做的吗？一根拉一次对折变成2根，再拉一次对折 变成4根，照这样做下去，那么拉10次后，师傅手中的拉面有( ) B A.20根 B.根 C.18根 D. 根 返回 考试考法 30 10. 某种细菌1分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在 培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶.若将4个这种细菌放入同一个培养 瓶中，分裂满一瓶的时间是( ) D A.16分钟 B.32分钟 C.52分钟 D.62分钟 返回 考试考法 31 11.［2025邯郸期末］以下是嘉淇同学的练习题，她最后得分是( ) 姓名：嘉淇 得分： 填空题（评分标准：每道题5分） （1）;（2）;（3） ;（4） 0. C A.20分 B.15分 C.10分 D.5分 . . . . . . 返回 考试考法 32 12.［2025唐山期末］淇淇在计算的平方时，误算成 与2的积， 求得的答案比正确答案( ) B A.小3 B.小15 C.大3 D.大15 返回 考试考法 33 13. 《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完.若 按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 34 14.（8分） 当你把一张纸对折一次时，就得到2层，当 对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）. （1）当你对折6次时，层数是多少？ 解：一张纸对折一次时，就得到2层，即 层； 当对折两次时，就得到4层，即 层； 当对折三次时，就得到8层，即 层；… 易得当折纸的次数是时，得到的层数是且为正整数 .所以当 对折6次时，层数是64. 考试考法 35 （2）如果一张纸的厚度是 ，求对折7次时，总厚度是多少. 解： ， 所以对折7次时，总厚度是 . 返回 考试考法 36 有理数的乘方 乘方的意义 乘方的计算 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 2.正数的任何次幂都是正数， 0的任何正整数次幂都是0. 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 课堂小结 谢谢观看！ $