1.8有理数的乘法（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

1.8有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 即： · 若(a>0)，(b>0)，则 · 若(a<0)，(b<0)，则 · 若(a>0)，(b<0)（或(a<0)，(b>0)），则 · 若或，则 2. 多个有理数相乘的符号法则 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 3. 有理数乘法的运算律 · 乘法交换律： · 乘法结合律： · 乘法分配律： 4. 倒数的概念 乘积是1的两个数互为倒数。即：若，则(a)与(b)互为倒数。0没有倒数。 型 习 练 题 两个有理数的乘法运算 1．如图是一个程序运算，若输入的为，则输出的的结果为（   ） A．10 B．16 C． D． 2．已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 4．已知a，b是有理数，且，，则a，b两个数的符号情况是（    ） A．同为正 B．同为负 C．一正一负 D．无法确定 5．已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么一定有(    ) A． B． C． D． 多个有理数的乘法运算 6．不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 7．在，，，，这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（  ） A． B． C． D． 8．若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．7 9．对于，若，则其结果为（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 10．4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 有理数乘法的实际应用 11．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，则攀登后，气温（   ） A．下降 B．下降 C．上升 D．上升 12．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是平方米，地垫的单价为元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（ ） A．，（元），准备796元就够了 B．，（元），准备760元就够了 C．，（元），准备800元就够了 D．，（元），准备820元就够了 13．我市某公司今年1月月平均每月亏损2.5万元，4月月平均每月盈利12万元，则该公司今年1月月共盈利（   ） A．万元 B．万元 C．36万元 D．万元 14．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“”的方式记录近视情况，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．现有6位同学的验光记录如下： ，，，，，． 通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正，在这6位同学中，有（    ）位同学需要持续佩戴眼镜． A．1 B．2 C．3 D．4 15．某食堂买了5袋白菜，以每袋20千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．98千克 D．102千克 倒数 16．若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 17．一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． 18．下列各数中，互为倒数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 19．下列说法正确的是（   ） A．的倒数是 B．若，则 C．是的相反数 D．一定是负数 20．的相反数是________；倒数是________；绝对值是________；（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 有理数乘法运算律 21．下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 22．观察图，它的计算过程可以解释的运算律是（   ） A．乘法分配律 B．加法交换律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 23．式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 24．下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 25．下列式子的计算结果与的结果相等的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.8有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 即： · 若(a>0)，(b>0)，则 · 若(a<0)，(b<0)，则 · 若(a>0)，(b<0)（或(a<0)，(b>0)），则 · 若或，则 2. 多个有理数相乘的符号法则 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 3. 有理数乘法的运算律 · 乘法交换律： · 乘法结合律： · 乘法分配律： 4. 倒数的概念 乘积是1的两个数互为倒数。即：若，则(a)与(b)互为倒数。0没有倒数。 型 习 练 题 两个有理数的乘法运算 1．如图是一个程序运算，若输入的为，则输出的的结果为（   ） A．10 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据程序运算的顺序计算即可得出答案 ． 【详解】解：根据题意把代入可得， ， ， ∴输出的的结果为 ． 故选： ． 2．已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数大小比较，解题的关键是确定两个因数． 根据有理数乘法法则可知，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，即两个正数或两个负数，计算所有同号组合的积，并比较大小即可． 【详解】解：∵ 积最大需同号相乘， ∴ 正数组合：， 负数组合：， ∵， ∴ 最大积为． 故选：B． 3．若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法及加法运算，熟练掌握有理数的乘法及加法运算是解题的关键；由可知a、b异号，由可知正数的绝对值大于负数的绝对值，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b异号； ∵，∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值， 选项A：，，，不符合； 选项B：，，，不符合； 选项C：，，符合条件； 选项D：，，，不符合； 故选C． 4．已知a，b是有理数，且，，则a，b两个数的符号情况是（    ） A．同为正 B．同为负 C．一正一负 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和加法计算，由可知 a 与 b 同号；结合 可得答案． 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都是负数， 故选：B． 5．已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么一定有(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法．由题意知，，根据有理数乘法法则，异号两数相乘结果为负，故一定成立． 【详解】解：在原点右方， ； 在原点左方， ． ，， ． 故选：C． 多个有理数的乘法运算 6．不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法中的负号问题． 负数个数为奇数时，结果为负；偶数时为正，所有因数均非零，故结果不为零． 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 7．在，，，，这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘法，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．根据几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；所以根据题中的五个数，要找出三个数相乘，所得的积最大，需考虑选两个负数且绝对值较大的，再选正数里面绝对值较大的，进一步可得答案． 【详解】解：∵ 数字为，，，，，任取三个数相乘，所得的积最大， ∴选两个负数且绝对值较大的，再选正数里面绝对值较大的， ∴积最大为． 故选：C． 8．若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．7 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则，多个数相乘的积的符号由负因数的个数决定：当负因数个数为奇数时，积为负．已知为负，8为正，故a需为正数才能使积为负．本题主要考查了有理数乘法法则，熟练掌握多个数相乘的积的符号法则是解题的关键． 【详解】解：∵，8，a的积是一个负数， ∴， 符合条件的只有D选项． 故选D． 9．对于，若，则其结果为（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；多个负数相乘的结果取决于负因数的个数：奇数个负因数相乘结果为负，偶数个负因数相乘结果为正，由此问题可求解． 【详解】解：原式表示个相乘， 当时，，为奇数， ∴奇数个负数相乘结果为负数； 故选B． 10．4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，正确的推理是解题的关键． 根据有理数乘法法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数个数为奇数，则积为负数；若负因数个数为偶数，则积为正数。本题中积为负数，故负因数个数必为奇数． 【详解】∵ 4个非零有理数相乘，积为负数， ∴ 负因数的个数为奇数（即1或3）， 选项A：2个负数，负因数个数为偶数（2），积应为正数，不符合； 选项B：3个负数，负因数个数为奇数（3），积为负数，符合； 选项C：4个负数，负因数个数为偶数（4），积应为正数，不符合； 选项D：0个负数，负因数个数为偶数（0），积应为正数，不符合． 故选：B． 有理数乘法的实际应用 11．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，则攀登后，气温（   ） A．下降 B．下降 C．上升 D．上升 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 根据每登高气温下降，攀登后，气温下降，即可解答． 【详解】解：根据 “每登高气温的变化量为”知： 攀登后，气温变化量为： 变化量表示气温下降12． 故选：A． 12．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是平方米，地垫的单价为元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（ ） A．，（元），准备796元就够了 B．，（元），准备760元就够了 C．，（元），准备800元就够了 D．，（元），准备820元就够了 【答案】D 【分析】题目主要考查有理数的乘法及估算的应用，理解题意，根据选项计算判断即可． 为确保准备的钱足够覆盖实际成本，估算时应使总价略大于实际总价，因此需将面积和单价均向上取整． 【详解】解：实际总价约为元， ∵ 选项A：（估小），不变，，可能不足； 选项B：（估小），（估小），，可能不足； 选项C：（估小），（估大），，可能不足； 选项D：（估大），（估大），，足够覆盖； ∴ 选项D符合实际需要， 故选：D． 13．我市某公司今年1月月平均每月亏损2.5万元，4月月平均每月盈利12万元，则该公司今年1月月共盈利（   ） A．万元 B．万元 C．36万元 D．万元 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法与减法在实际盈利问题中的应用，解题的关键是明确亏损与盈利的数量关系，分别计算前3个月的总亏损和后3个月的总盈利，再通过差值求出总盈利． 先根据“总盈亏月均盈亏月数”分别算出1月月的总亏损和4月月的总盈利，再用总盈利减去总亏损得到1月月的总盈利，对应选项得出答案． 【详解】解：1月月共3个月，总亏损为万元； 4月月共3个月，总盈利为万元； 该公司1月月共盈利为万元． 故选：B． 14．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“”的方式记录近视情况，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．现有6位同学的验光记录如下： ，，，，，． 通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正，在这6位同学中，有（    ）位同学需要持续佩戴眼镜． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的应用，有理数乘法的应用，根据题意，近视度数等于验光记录D值的绝对值乘以100．计算每位同学的近视度数，并统计超过200度的人数． 【详解】解：∵近视度数， ∴对于，度数为度度； 对于，度数为度度； 对于，度数为度度； 对于 ，度数为度度； 对于，度数为度 度； 对于，度数为度度． ∴超过200度的同学有2位， 故选B． 15．某食堂买了5袋白菜，以每袋20千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．98千克 D．102千克 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，通过计算标准总质量和记录的总和得出实际总质量即可 【详解】解：标准总质量千克， 记录总和千克， 实际总质量千克， 故选：C 倒数 16．若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数与倒数的判断，掌握相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数是解题的关键． 根据相反数与倒数的定义判断即可． 【详解】解：∵a的相反数是2026， ∴， ∴a的倒数是． 故选：D． 17．一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数和相反数的定义．熟练掌握倒数和相反数的定义是解题的关键． 根据倒数的定义，先求出原数，再求其相反数． 【详解】解：∵该有理数的倒数为， ∴该有理数为， ∴该有理数的相反数为． 故选：D． 18．下列各数中，互为倒数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义，解题的关键是明确“两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，且0没有倒数”． 根据倒数的定义，依次判断每个选项中两个数的乘积是否为1，从而确定互为倒数的数． 【详解】根据倒数的定义：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数． A、，不是互为倒数； B、，不是互为倒数； C、，是互为倒数； D、0没有倒数，不符合要求． 故选：C 19．下列说法正确的是（   ） A．的倒数是 B．若，则 C．是的相反数 D．一定是负数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的倒数，相反数，绝对值等知识，理解相关概念和性质是解题的关键．根据有理数的倒数，绝对值的性质，多重符号化简进行逐一计算判断即可． 【详解】解：A.的倒数为，此选项错误不符合题意； B.若，则，此选项错误不符合题意； C.因为，所以是的相反数，此选项正确符合题意； D.不一定为负数，比如：当时，不是负数，此选项不符合题意； 故选：C． 20．的相反数是________；倒数是________；绝对值是________；（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数、倒数和绝对值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先计算原式的值，再求其相反数、倒数和绝对值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原数为， ∴的相反数为，的倒数为，的绝对值为， 故选：D． 有理数乘法运算律 21．下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算及乘法分配律的应用，解题的关键是正确运用乘法分配律计算． 嘉淇将带分数拆分为整数与分数的差，运用了乘法分配律，但第二步计算时符号出现错误，导致结果错误． 【详解】解：第一步：将写成，这一步是正确的，利用了带分数的拆分，为后续用乘法分配律计算做准备， 第二步：根据乘法分配律，正确计算应为： 但嘉淇计算成了，所以从第二步开始出错． 故选：C． 22．观察图，它的计算过程可以解释的运算律是（   ） A．乘法分配律 B．加法交换律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律，理解乘法分配律、交换律、结合律是解题的关键． 根据图形得出，据此即可解答． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：A． 23．式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律的应用，区分交换律（改变顺序）和结合律（改变分组）是关键；等式右边通过改变因数的顺序和分组方式进行计算，使用了乘法的交换律和结合律，没有涉及分配律． 【详解】解：∵ 原式 中，将 与 3 交换位置，使 2 和 相邻，再分组为 ， ∴ 使用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：A． 24．下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：，运用了加法的交换律和结合律（将减法视为加负数后重组），正确； B：，运用了乘法的交换律，正确； C：，运用了乘法的结合律，正确； D：分配律应为，此处，右边应为，但原式右边为，缺少乘数，运用分配律不正确． 故选：D． 25．下列式子的计算结果与的结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，将变形为，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $