1.5 有理数的加法（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加法这一核心知识点，从定义出发，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、运算律（交换律、结合律）及运算步骤（定符号、算绝对值、写结果），构建从概念到方法的学习支架。 资料特色为分层设计（30分提至70分），含思维导图辅助知识梳理，通过生活情境题（如时差、盈利计算）培养应用意识，分模块练习题提升运算能力，课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

1.5有理数的加法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数加法的定义 有理数加法是指求两个有理数的和的运算。 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 · 若(a>0)，(b>0)，则 · 若(a<0)，(b<0)，则 2. 异号两数相加：绝对值相等时和为(0)；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 若，则 · 若(|a| > |b|)且(a>0)，则 · 若(|a| > |b|)且(a<0)，则 3. 一个数同0相加：仍得这个数，即 有理数加法的运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 有理数加法的步骤 1. 确定和的符号（根据加法法则判断） 2. 计算和的绝对值（根据符号相同或不同进行绝对值的加减运算） 3. 写出最终结果（符号与计算得到的绝对值组合） 型 习 练 题 有理数加法运算 1．定义新运算：若，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据题中新定义列算式，然后利用有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：由题意， ． 故选：B． 2．已知是整数，且，可以取的所有数的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键；根据找出所有整数x的值，并求和，然后问题可求解． 【详解】解：∵x是整数，且， ∴x可取， ∴和为； 故选C． 3．已知，且同号，则（   ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，根据绝对值的定义，那么，但由于同号，只需考虑同正或同负的情况，分别求和即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵同号， ∴或， 当时，； 当时，； 故， 故选：C． 4．若，，且，则的值是（    ） A．1 B． C．11 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、有理数的大小比较、有理数的加法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 先根据绝对值的性质可得，再根据可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故选：A． 5．若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，有理数的加法运算，根据互为相反数的两数之和为0，结合有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∴； 故选：C． 有理数加法运算律 6．能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数的定义． 相反数相加得0，求出的相反数即可． 【详解】解：，其相反数为． 故选：B． 7．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结合律改变分组． 【详解】解： ， 通过加法交换律，将 与 交换位置， 可得：原式， 再通过加法结合律，分组为 ， 该同学运用了加法交换律和结合律． 故选：C． 8．计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：原式先通过加法交换律改变顺序为，再通过加法结合律分组为，故依据是加法交换律和结合律， 故选：D． 9．如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） ① ② A．①②都是加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①是加法交换律，②是加法结合律 D．①是加法结合律，②是加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律和结合律的识别；加法交换律形式为；加法结合律形式为，据此判断所使用的运算律即可． 【详解】解：∵原式为，步骤①将其改写为， ∴将的位置从末尾调整到第二位，改变了加数的顺序， ∴应用了加法交换律， ∵步骤②将算式分为，通过添加括号将原式分组计算，改变了加法的运算顺序， ∴应用了加法结合律. ∴①是加法交换律，②是加法结合律． 故选：C． 10．下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 有理数加法中的符号问题 11．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 12．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 13．如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 14．如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点在数轴上的计算问题，根据a、b在数轴上的位置，可知，由此可对选项逐一进行判断． 【详解】解：A．由数轴图可知，故A选项错误，不符合题意； B．由数轴图可知，，故，故B选项正确，符合题意； C．由数轴图可知，故C选项错误，不符合题意； D．由B选项知，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 15．已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 有理数加法在生活中的应用 16．埃及与北京的时差小时（“+”表示同一时刻比北京时间早），当北京时间是2025年11月8日时，埃及实际时间是（    ） A．11月9日01：00 B．11月9日13：00 C．11月8日01：00 D．11月8日13：00 【答案】D 【分析】埃及时间比北京时间晚6小时，得，解答即可． 本题考查了正数和负数． 【详解】解：∵时差为小时，表示埃及比北京时间晚6小时， ∴埃及时间 = 北京时间 小时 = 2025年11月8日， 即 2025年11月8日13:00． 故选：D． 17．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，一横表示，一竖表示，白色为正，黑色为负， ∴图表示：， 故选：D． 18．下面不能用算式“”解释的是（   ） A．一个点从数轴的原点出发，先向右移动5个单位长度，又向左移动3个单位长度，最后这个点在数轴上对应的数为2 B．某店1月份盈利5万元，2月份亏损3万元，两个月的总利润为2万元 C．根据天气预报，某天气温中午比早晨升高，下午6点比中午下降，6点时和早晨相比，气温一共升高 D．某人向一个空的泳池内注水，先注水5吨，又向内注水3吨，此时泳池内的水有8吨 【答案】D 【分析】本题考查正负数的实际意义和有理数加法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据每个选项中情况进行列式，再与算式“”进行分析对比，即可作答． 【详解】解：A、向右移动5个单位记为，向左移动3个单位记为，最终位置为，故该选项不符合题意； B、盈利5万元记为，亏损3万元记为，总利润为（万元），故该选项不符合题意； C、升高记为，下降记为，净变化为，故该选项不符合题意； D、注水5吨记为，又注水3吨记为，总水量为（吨），不符合算式“”，故该选项符合题意； 故选：D 19．手机移动支付给生活带来了便捷，如图是吴老师2025年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元，截图已隐去“零钱余额”），则吴老师当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入20元 B．收入7元 C．支出8元 D．支出13元 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．根据有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：（元）． 即吴老师当天微信收支的最终结果是收入7元． 故选：B． 20．下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．数轴上表示与10的两个点之间的距离 B．某日最低气温为，温差为，求该日的最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．水位先下降，再上升后的水位变化情况 【答案】A 【分析】根据问题情境依次列出每个问题的算式即可得出正确答案． 本题考查正负数的意义，以及有理数加法的实际应用．根据问题情境，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】A.数轴上表示 与 的两个点之间的距离为，不能用加法算式表示，符合题意； B. 某日最低气温为，温差为，该日最高气温可以表示为，不符合题意； C. 用10元纸币购买2元文具后找回的零钱可以表示为，不符合题意； D. 水位先下降，再上升后的水位变化情况可以表示为，不符合题意； 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5有理数的加法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数加法的定义 有理数加法是指求两个有理数的和的运算。 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 · 若(a>0)，(b>0)，则 · 若(a<0)，(b<0)，则 2. 异号两数相加：绝对值相等时和为(0)；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 若，则 · 若(|a| > |b|)且(a>0)，则 · 若(|a| > |b|)且(a<0)，则 3. 一个数同0相加：仍得这个数，即 有理数加法的运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 有理数加法的步骤 1. 确定和的符号（根据加法法则判断） 2. 计算和的绝对值（根据符号相同或不同进行绝对值的加减运算） 3. 写出最终结果（符号与计算得到的绝对值组合） 型 习 练 题 有理数加法运算 1．定义新运算：若，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 2．已知是整数，且，可以取的所有数的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，且同号，则（   ） A．7 B． C． D．6 4．若，，且，则的值是（    ） A．1 B． C．11 D． 5．若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 有理数加法运算律 6．能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 7．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 8．计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 9．如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） ① ② A．①②都是加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①是加法交换律，②是加法结合律 D．①是加法结合律，②是加法交换律 10．下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 有理数加法中的符号问题 11．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 12．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 13．如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 有理数加法在生活中的应用 16．埃及与北京的时差小时（“+”表示同一时刻比北京时间早），当北京时间是2025年11月8日时，埃及实际时间是（    ） A．11月9日01：00 B．11月9日13：00 C．11月8日01：00 D．11月8日13：00 17．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 18．下面不能用算式“”解释的是（   ） A．一个点从数轴的原点出发，先向右移动5个单位长度，又向左移动3个单位长度，最后这个点在数轴上对应的数为2 B．某店1月份盈利5万元，2月份亏损3万元，两个月的总利润为2万元 C．根据天气预报，某天气温中午比早晨升高，下午6点比中午下降，6点时和早晨相比，气温一共升高 D．某人向一个空的泳池内注水，先注水5吨，又向内注水3吨，此时泳池内的水有8吨 19．手机移动支付给生活带来了便捷，如图是吴老师2025年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元，截图已隐去“零钱余额”），则吴老师当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入20元 B．收入7元 C．支出8元 D．支出13元 20．下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．数轴上表示与10的两个点之间的距离 B．某日最低气温为，温差为，求该日的最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．水位先下降，再上升后的水位变化情况 学科网（北京）股份有限公司 $