第4章 相交线与平行线 全章综合复习 课件 2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

章综合复习 第四章 相交线与平行线 数学华东师大版七年级上册 平行线的判定 对顶角相等 邻补角的概念 邻补角互补 对顶角的概念 垂直的概念及表示 基本事实 性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 同位角相等，两直线平行 用“⊥”表示 相交线 与平行线 平行线的性质 垂线段最短 平行线的表示 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 基本事实的推论 平行线的画法 平行线的定义 同位角、内错角、同旁内角 对顶角邻补角 垂直 本章知识结构 对顶角、邻补角 对顶角 有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角.(如图中∠1和∠2) 注意：(1)对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；(2)如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有 ∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. 对顶角的性质：对顶角相等. 知识要点提炼 对顶角、邻补角 邻补角 两条直线相交所形成的4个角中，有公共点且有一条公共边的两个角是邻补角(如图中∠1和∠2) 邻补角的性质：同角的补角相等. 1 2 4 3 如图，∠1和∠2互补， ∠1和∠4互补 所以∠2=∠4(同角的补角相等) 知识要点提炼 垂线 当两条直线所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 概念 表示方法 AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”， 也可记作：l⊥m (或 m⊥l ). A B C D O l m 知识要点提炼 垂线 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 基本事实 中垂线、点到直线的距离 ①垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 知识要点提炼 同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 结构特征 相同点 共同特征 同位角 截线:同侧 被截线:同旁 F 都在截线同侧 都没有公共顶点 同旁内角 截线:同侧 被截线:之间 U 都在 被截线 之间 内错角 截线:两侧 被截线:之间 Z 1 2 1 2 1 2 知识要点提炼 平行线 概念及表示 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. C B A D AB∥CD a b 读作：“AB 平行于 CD”　 读作：“a 平行于 b” 　 a∥b 注意：平行线的定义包含三层意思.(1)“在同一平面内”是前提条件；(2)“不相交”就是说两条直线没有交点；(3) 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段. 知识要点提炼 平行线 平行线的画法 1. 落：把三角尺的一边落在已知直线上. 2. 靠：用直尺紧靠三角尺的另一边. 3. 推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点. 4. 画：沿三角尺过已知点的边画直线. 知识要点提炼 平行线 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 基本事实 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 基本事实的推论 平行具有传递性，即如果 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c. 知识要点提炼 平行线的判定 判定 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简写成：同位角相等，两直线平行. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简写成：内错角相等，两直线平行. ③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简写成：同旁内角互补，两直线平行. 知识要点提炼 平行线的性质 性质 ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简写成：两直线平行，同位角相等. ②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简写成：两直线平行，内错角相等. ③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简写成：两直线平行，同旁内角互补. 知识要点提炼 如图，下列说法正确的是(　    ) A.∠1和∠B是同位角　      B.∠2和∠3是内错角 C.∠3和∠4是对顶角 D.∠B和∠4是同旁内角 　     　      解：A.∠1和∠B不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意； B.∠2和∠3是内错角，原说法正确，故此选项符合题意； C.∠3和∠4是邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意； D.∠B和∠4不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意. 故选B. 明确三线八角、对顶角及邻补角的定义是解决此题的关键. 方法总结 B 重点知识巩固 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=2∠AOC，若∠1=38°，则∠DOE等于(　    ) A.66°　    B.76°　    C.90°　    D.144° 解：由题图可得，∠1=∠AOC=38°. 因为∠AOE=2∠AOC，所以∠AOE=76°. 所以∠DOE=180°-∠AOC-∠AOE=180°-38°-76°=66°. 故选A. 解决这类角度计算问题，核心是明确对顶角、平角的定义，并结合倍数关系推导角度. 方法总结 A 重点知识巩固 如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1=108°，则∠2的度数为(　    ) A.52°　     B.62°　     C.72°　     D.82° 解：如图，∵CD∥EF，∴∠2+∠3=180°， ∵∠1=∠3，∴∠1+∠2=180°， ∵∠1=108°，∴∠2=72°，故选C. C 解决这类平行线相关的角度计算问题，核心是结合“平行线的性质”与“对顶角相等”的定义推导角度. 方法总结 3 重点知识巩固 如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，则下列结论正确的是(　    ) ①线段BP的长度是点P到直线l的距离； ②线段AP是A点到直线PC的距离； ③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短； ④线段PC的长度是点P到直线l的距离. A.①②③　    B.③④　    C.①③　    D.①②③④ 重点知识巩固 解：∵PB⊥l于点B， ∴线段BP的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误； ∵∠APC=90°， ∴线段AP的长度是A点到直线PC的距离，故②错误； 在PA，PB，PC三条线段中，根据垂线段最短可知，PB最短，故③正确.故选C. 解决这类点到直线的距离及线段长短问题，核心是明确“点到直线的距离”的定义和“垂线段最短”的性质. 方法总结 重点知识巩固 小明同学在体育课上跳远后留下的脚印如图所示，为了测量他的跳远成绩，测量了脚印上最后的点P到起跳线l的距离，应该选择线段___的长度作为小明的跳远成绩． 解：小明同学在体育课上跳远后留下的脚印如图所 示，为了测量他的跳远成绩，测量了脚印上最后的点P到起跳线l的距离，应该选择线段PC的长度作为小明的跳远成绩． 故答案为：PC． PC 此类题是点到直线的距离的实际应用，依据“点到直线的距离”的定义即可解决. 方法总结 重点知识巩固 有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象.如图，水面EF与底面GH平行，光线AB从空气射入水中时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，若∠1=42°，∠2=60°，则∠CBD的度数为______. 解：如图， ∵EF∥GH，∴∠PBF=∠2=60°， ∵∠1=42°，∴∠PBA=∠PBF-∠1=18°， ∴∠CBD=∠PBA=18°，故答案为18°. 18° P 重点知识巩固 方法总结 此类题是平行线性质的应用，根据平行线的性质、对顶角的性质及角的和差关系进行求解. 重点知识巩固 如图，已知∠2=∠3，∠1=60°，要使a∥b，则∠4=______. 解：如图，延长AE交直线b于点B， ∵∠2=∠3，∴AB∥CD， 假设a∥b，则∠1=∠5=60°， ∵AB∥CD，∴∠5+∠4=180°， ∴∠4=180°-∠5=180°-60°=120°. 解决这类平行线的拐点问题，核心是结合“平行线的判定与性质”，通过构造辅助线建立角的关联. 方法总结 120° 重点知识巩固 如图，点B在点A北偏东40°方向，点C在点B北偏西50°方向，BC=10m，则点C到直线AB的距离为_____m. 解：如图所示，∵AE∥BD ∴∠BAE+∠ABD=180°， 又∵∠BAE=40°，∠DBC=50°， ∴∠ABC=90°，∴CB⊥AB， ∴点C到直线AB的距离为BC的长，即10m， 故答案为：10． 解决这类方位角与点到直线距离的问题，核心是利用平行线性质推导垂直关系，结合点到直线距离的定义求解. 方法总结 10 E D 重点知识巩固 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置(其中A点位置始终不变)， 当∠BAD=____________时，CD/​/AB． 解：如图①所示：当CD/​/AB时，∠BAD=∠D=30°； 如图②所示，当AB/​/CD时，∠C=∠BAC=60°， ∴∠BAD=60°+90°=150°． 故答案为：150°或30°． 150°或30° 解决这类三角板叠放与平行线结合的问题，核心是分情况讨论平行线的位置，结合平行线的性质推导角度. 方法总结 综合能力提升 如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，如果∠ABC=120°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数是______． 解：过C作MN//AB，∵AB//DE，∴MN/​/DE， ∴∠2+∠CDE=180°，∵∠CDE=140°，∴∠2=40°， ∵MN/​/AB，∴∠1+∠ABC=180°， ∵∠ABC=120°，∴∠1=60°， ∴∠BCD=180°−∠1−∠2=180°−60°−40°=80°． 80° 综合能力提升 方法总结 解决这类平行线与折线结合的角度计算问题，核心是构造辅助平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质拆分角度. 综合能力提升 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB. (1)若∠1=40°，∠2=30°，求∠NOD的度数. (2)若ON与CD互相垂直，那么∠1=∠2吗?请说明理由. 解：(1)∵OM⊥AB，∴∠AOM=90°，∵∠1=40°， ∴∠AOC=∠AOM-∠1=90°-40°=50°， ∴∠NOD=180°-∠AOC-∠2=180°-50°-30°=100°. (2)∠1=∠2.理由：若ON与CD互相垂直，则∠CON=90°，∴∠COA+∠2=90°，∵∠AOM=90°，∴∠COA+∠1=90°， ∴∠1=∠2. 综合能力提升 方法总结 解决这类与垂直、相交线相关的角度计算问题，核心是利用“垂直的定义(夹角为 90°)”“平角的性质(和为180°)”及“同角的余角相等”推导角度. 综合能力提升 如图，已知∠DEB=100°，∠BAC=80°. (1)判断DF与AC的位置关系，并说明理由. (2)若∠ADF=∠C，∠DAC=120°，求∠B的度数. 解：(1)DF∥AC. 理由：∵∠DEB=100°，∴∠AEF=∠DEB=100°， ∵∠BAC=80°，∴∠AEF+∠BAC=180°， ∴DF∥AC. 综合能力提升 如图，已知∠DEB=100°，∠BAC=80°. (1)判断DF与AC的位置关系，并说明理由. (2)若∠ADF=∠C，∠DAC=120°，求∠B的度数. 解：(2)∵DF∥AC，∴∠BFD=∠C， ∵∠ADF=∠C，∴∠BFD=∠ADF， ∴AD∥BC，∴∠B=∠BAD， ∵∠DAC=120°，∠BAC=80°， ∴∠BAD=∠DAC-∠BAC=120°-80°=40°， ∴∠B=40°. 综合能力提升 方法总结 平行线判定与角度计算的易错点有： ①误将“由平行推角”和“由角推平行”混用，比如看到内错角就直接说平行，忽略前提； ②计算时漏看对顶角相等、邻补角互补的关系，导致角度传递错误； ③折线类题目未作辅助平行线，无法拆分角度；或作辅助线后未结合平行性质推导； ④分情况讨论缺失：三角板、动态平行题中，漏考虑平行线的不同位置，导致漏解. 综合能力提升 $