重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学练习（十三）

重庆南开中学高2027级高二（上)数学练习（十三) 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知实数1，a,2,b,c成等比数列，则a=() A.±V2 B.√2 c.-√2 D.±4 2.已知等比数列{an}满足43=6，a=24,则a+a2+a4+a4+a5=() 人 42 B.9 2 D.±3 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若2Sn=3an-2(n∈N,则a4=() A.162 B.54 C.32 D.16 4.景德镇"玲珑瓷”工匠在雕刻多层透光瓷孔时，采用元代数学家朱世杰《四元玉鉴》记载的"堆积 招差"术，使每层瓷孔数形成等差数列已知第三层有12个瓷孔，第七层有28个瓷孔，且总瓷孔数为 312个，那么这个玲珑瓷共有（)层. A.15 B.14 C.12 D.10 5.在等比数列{a,}中，4,4，是方程x-33x+64=0的两个根，则40=(） as A.4 B.±4 C.8 D.±8 6.椭圆兰+上=1的离心率的范围为 则实数k的取值范围是( ) 4 A.0,3) B. c. D.ou+） 7利用数学归纳法证明不等式1++号+…+z是<n0n之2m∈N~)的过程中，由m=kn=k+1 1 2 时，左边增加了（) A.2k-1项 B.2项 C.k项 D.项 2n-51 8.已知某数列的通项a,=2m-52n≠26 ,则a+a2+…+a51=(） 1,n=26 h,48 B.49 C.50 b.51 试卷第1页，共8页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设数列{a},{b,}均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（) A.a-b B.{a2n) C.(ab) D.gla, 10.伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘 积的元倍，这种方法己具有积分计算的雏形已知椭圆C的面积为3√5元，离心率为6 E,E是椭圆C的 两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是() A.椭圆C的标准方程可以为二+上=】 93 B.若∠RPR,=行，则S版=55 C.有且仅有一个点P,使得∠PR=月 D.IPRI-PE 的最大值为4 11.已知数列{a.}满足4=2，a1=a,2，记数列 an -1 的前n项和为Sn,则() A.{1gan}是等比数列 B.1g(gan乃是等差数列 品 D S,<1 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应 位置（只填结果，不写过程） 12.用数学归纳法证明不等式：1+1 龙+十%中2+十n十>是，从n=k到n=k+1时，不等式左边需要增 加的项为 13.已知数列{a,}(n∈N)满足41=3，a2=7,且an2总等于a,a1的个位数字，则a2m4a22s的值 为一一 试卷第2页，共8页 14.已东知在数列a}中，a=2,4,1二2+a，6,=2n+1)a,a数列6，}的前n项和为S., 则S1=一一一 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文 字说明、演算步骤或推理过程) 15.用数学归纳法证明不等式2”>n(n+1)对n≥5(n∈N)成立. 16.已知数列{an}满足a=2,a1=2a.+n-3. (1)求{a}的通项公式； (2)求{an}的前n项和S I7.已知数列{an}满足41=2，an+1=3an+2m (1)求{an}的通项公式； ②记数列6，=器，求c}路就有5 试卷第3页，共8页 18.“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何 体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥.如图，四边形ABCD是边长 为2的正方形，PA=4,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD (1)求证：四棱锥P-ABCD是“阳马”； (2)点M在正方形ABCD内（包括边界）.满足平面PAM⊥平面PDM, 描述点M的轨迹，并求M点轨迹的长度 19.记数列{a}的前n项和为S,若对任意neN*,44,≤an≤4a,则称{a.}是“H数列， (1)若8=3m+5,判断{a,}是否是“H数列，并说明理由； 2 (2)若{an}是首项为1，公比为9≠1的等比数列，且数列{an}和{Sn}均是“H数列， (i)若0<q<1,求9的取值范围. (i)若9>1，求9的取值范围； 试卷第4页，共8页 重庆南开中学高2027级高二（上)数学练习（十三) 参考答案 题号 3 6 10 11 答案 B D B D BC AD ABD 1 1 400 12.2k+12(k+ 13.7 14. 101 15.当n=5时，2=32>5.6成立 假设当=k时，原命题成立(k≥5).即2>k(k+1): 则当n=k+1,要证：2*1>(k+1)(k+2) 由归纳假设，2+=2·2>2k(k+1).故只需2k(k+1)>(k+1)(k+2) 上式台(k+1)(k-2)>0,在k≥5成立.即当n=k+1时原命题成立 综上，由数学归纳法，原命题成立。 16.由题意，a1+(n+1)-2=2(a.+n-2),令bn=an+n-2,则6=4+1-2=1. 上式即b+1=2b.,故{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，故bn=2-1.则an=2--n+2 (2)Sn=(2°-1+2)+(2-2+2)+…+(2--n+2) =(2°+2+…+2-）-(1+2+…+m）+2n =(2-1)-an+l+2n 2 =2-+3-1 2 2 17.(1)由题意， 则当m22,么=a-6+4-b++a-+4-()+图)+…+图号 试卷第5页，共8页 4 a的-2无6-写】 学--】4=2-2 ac0g到-小- s- +2++n+2*+网 其*起=1+2++n,测-+2)++)湘减精 gg前g里gr [8-38+ 即=(-6( +6.数双=g-+2+月-(-o nn++6 18.(1)因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以BALDA,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面 PABO平面ABCD=BA,DAc平面ABCD,所以DA⊥平面PAB,又PAC平面PAB,所以DA⊥PA; 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=DA,BAC面ABCD,所以BA⊥平面PAD,又 PAc平面PAD,所以BA⊥PA. 因为BA∩DA=A,BA,DAc平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD,所以四棱锥P-ABCD是“阳马”. (2)如图，以DA为直径在平面ABCD上作一个半圆，在该半圆周上任取点M,连接AM、DM、PM, 则AM⊥DM,又由(1)知PA⊥平面ABCD,而DMC平面ABCD,所以PA⊥DM,又 试卷第6页，共8页 PA∩AM=A,PA,AMC平面PAM, 故DM⊥平面PAM,又DMc平面PDM,故平面PAM⊥平面PDM.故该半圆周上的点满足要求， 下面证明，不在这个半圆弧上的点不满足要求.反证法，若存在不在这个半圆弧上的点M满足要求，即 平面PAM⊥平面PDM. 设直线AM与半圆弧交于点N,则由前面的证明，平面PAWN⊥平面PDN,而平面PAN即为平面 PAM,故平面PAM⊥平面PDN与平面PAM⊥平面PDM同时成立. 即，过直线PD可作出两个不同平面PDM、PDN同时垂直于已知平面PAM,矛盾. 故不在这个半圆弧上的点不满足要求。 综上，点M的轨迹为以AD为直径的圆在正方形ABCD内的半圆弧，其周长 =号2= 19.（①a}是H数理由如下：因8，=3如+5，则4，=代1 「4，n=1 2 s-9n≥2→a,=3m+l,n≥2 又4=3×1+1=4，则an=3n+1,故a1=3n+4.则a+1-4an=3n+4-4(3n+1)=-9n<0，即an+1<4a.; -,=3加+43+)-婴+草>0，即a>和则a}满足，5a≤4a,即a,}是H数 1 列”； (2)a,}是首项为1，公比为9≠1的等比数列，则a,=q3.=1二4 1-q an≤an+1≤4an 因数列{an}和{Sn}均是“H数列”，则 4 4,≤Sm≤48 而4.≤a≤4a,→1q≤g≤4，由g>0,知}5q<1或1<g54: (i)当0<q<1时，则有4g<1. 此时s8s8“}写s作》 试卷第7页，共8页 [g-4g+3≥0 g(q-4)+3≥0 -s-"40--9-20月 恒成立. 当g=时，函数A=(g-4到+3=-（得+3eN单调道增，要使 gg-4+3≥0恒成立，则4（回）=A0=3完>0，此时女g-)-子0，则g=满足条作： 当9<1时，函数f)=9(g-4+3m∈N单调道增，8（间=q(q-)-子aeN单调递减。 g(q-4)+3≥0 [f(m)=f=(g-3(g-1)20 则要使 gg-s0▣成立.瑞满足{g回=0=e-e+引s0 解得：子9s1,则片<q<1满足条作、综上，}q<1 (i)当q>1时，则有1<q≤4， 球88s8-周}君哥 o咖r-r-0 )g(q-4)+3≤0 恒成立. 当9=4时，注意到q(9-4)+3=3>0,则9=4不满足条件； 当1<g<4时，函数f(问=g(g-4+3,AeN单调滤减，8间)=gg-)子AeN单调道增， g(q-4)+3≤0 [f(m）x=f()=(9-3)(g-)s0 则要使 g-引》0恒立质满是{o=刊=g-+引0 解得1<9≤3.综上，1<q≤3. 试卷第8页，共8页